1. Matrislər üzərində elementar çevirmələr. Matrisin ranqı, tərs matris və onların hesablanması. Matrislər cəbri

Vektorların skalyar hasili

Tərif. və vektorlarının uzunluqları ilə aralarındakı bucağın kosinusu hasi­linə onların skalyar hasili deyilir və , və ya simvollarından biri ilə işarə edilir:

, . (1)
İki vektorun kalyar hasili həqiqi ədəddir.
Skalyar hasilin (1) ifadəsini vektorunun vektoru üzərinə (və ya tərsinə) proyeksiyalarının düsturlarından istifadə etməklə,
və ya
kimi də yazmaq olar.
Skalyar hasilin aşağıdakı xassələri vardır:
. (skalyar hasilin yerdəyişmə xassəsi).
. (skalyar hasilin paylanma xassəsi).
. (skalyar vuruğu skalyar hasil işarəsi qarşısına çıxarmaq olar).
. Əgər olarsa, onda skalyar hasil şəklinə düşər və o vekto­runun skalyar kvadratı adlanır və kimi işarə olunur. Aydındır ki, bu halda
.
İki vektorun skalyar hasilinin sıfra bərabər olması üçün onların bir-birinə perpendikulyar olması zəruri və kafidir:
Üç vektorun qarışıq hasili

Tərif. vektorunun vektoruna vektorial hasilinin vektoruna skalyar hasili hə­min vektorların qarışıq hasili adlanır və kimi işarə edilir:

Teorem. Komplanar olmayan və vektorlarının qarışıq hasilinin mütləq qiyməti həndəsi olaraq həmin vektorlar üzərində qurulan paralelepipedin həcminə bərabərdir:

İsbatı. Bildiyimizə görə ifadəsi və vektorları üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsinə bərabərdir. Onda qarışıq hasilin tərifinə görə yaza bilərik:
. (1)
Digər tərəfdən bu paralelepipedin həcmi onun oturacağının sahəsi ilə H hün­dür­lüyünün hasilinə bərabərdir, beləki , onda
(2)

1. 
   və (2)-ni müqayisə etsək, alarıq:
   

(3)
(1) düsturundan görünür ki, üç vektorun qarışıq hasili -nin ışarəsi ilə eynidir. Beləki sağ üçlük olduqda sol üçlük olduqda isə olur.
Qarışıq hasilin aşağıdakı xassələri vardır:
Vektorların dairəvi yerdəyişməsində ( vektorlarının dairəvi qanun­la yerini dəyişmək -nı ilə, -ni ilə və -ni ilə əvəz etmək deməkdir) qarışıq hasil dəyişmir:
.
Vektorların dairəvi olmayan yerdəyişməsində qarışıq hasilin yalnız işarəsi dəyişir (istənilən iki hasil vektor yerini dəyişdikdə):

vektorlarının komplanar olması üçün bərabərliyinin ödə­nil­məsi zəruri və kafi şərtdir.
Koordinatları ilə verilmiş və vektorlarının qarışıq hasilini

düsturu vasitəsilə tapmaq olar.

düsturu vasitəsilə tapmaq olar.

8.Düz xəttin bucaq əmsallı tənliyi.
Tutaq ki, düz xətt oxunu


nöq­təsində kəsir və oxu ilə bucağı əmələ gətirir. Bu düz xətt üzərində nöqtəsi götü­rək. Onda düz xəttin meyl bucağının tangen­sini düzbucaqlı üçbucağından tapa bilə­rik:
. (5)

Düz xəttin absis oxuna meyl bucağının tangensinə onun bucaq əmsalı deyilir və ilə işarə olunur: . Absis oxuna paralel olan düz xəttin bucaq əmsalı sıfra bərabərdir. Ordinat oxuna paralel olan düz xəttin meyl bucağı olduğun­dan -nın mənası yoxdur və buna görə də belə düz xətlərin bucaq əmsalından danışmaq olmaz.

Beləliklə, (5)-dən

və ya Asanlıqla göstər­mək olar ki, (6) düs­tu­ru olan hal­da da doğrudur.
Beləliklə, biz göstərdik ki, düz xətt üzərində olan istənilən nöqtənin koor­di­nat­ları (6) tənliyini ödəyir və düz xətt üzərində olmayan nöqtənin koordinatları isə bu tənliyi ödəmir.
(6) tənliyi düz xəttin bucaq əmsallı tənliyi adlanır.Bu tənliyinin xüsusi halla-
na baxaq.