Dərslik kimi təsdiq edilmişdir. Baki 2012 2 uot 006
Yüklə 6,92 Mb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 2.9.4. Dolayısı ilə ölçmə
- Məsələ 2.8.
- Misal 2.9.
- 2.9.5. Müştərək (birgə) və birləşmiş ölçmələr.
|
Misal 2.7. R=4om çıxış müqavimətində V-0,9V gərginliyinin birdəfəlik ölçülməsinin nəticəsinin xətasını qiymətləndirmək lazımdır. Ölçmə dəqiqlik sinfi 0,5, ölçmə diapozonunun yuxarı həddi U=1,5 V olan və R v =1000om müqavimətə malik voltmetrlə ö lçülmüşdür. Məlumdur ki, maqnit sahəsinin və temperaturun təsirindən yaranan ölçmə vasitələrinin göstəricilərinin əlavə xətası 𝜎 𝑚∙𝑠 = ±0,75% -dir və 𝜎 𝑇 = ±0,3% buraxıla bilən hədd xətasını keçmir. Həlli. 1.Voltmetrin 0,9 V qiymətində buraxıla bilən nisbi xətanın həddi
𝛿
= 𝛿 öv 𝑈 ℎ 𝑈 = 0,5
1,5 0,9 = 0,83% .
𝑥 , R v müqavi- mətinin iştirak etməsi nəticəsində dəyişəcək və
𝑈 𝑣 = 𝑅 𝑅 + 𝑅 𝑣 𝑈 𝑥
olacaqdır. 𝑅 𝑣
nin sonuncu qiyməti ilə şərtləndirilən metodiki xəta nisbi formada aşağıdakı kimi göstəriləcəkdir.
𝛿
= 𝑈 𝑣 − 𝑈 𝑥 𝑈 𝑥 100 = −
𝑅 𝑅 + 𝑅
𝑣 100 =
4 ∙ 100 1004 = −0,4%
88
Şəkil 2.10. Gərginliyin ölçmə sxemi
3. Alınan metodiki xəta ölçmənin sistematik xətasıdır və nə- tic əyə 𝑞 = −𝛿 𝑚 = 0,4% şəklində düzəliş kimi daxil edilməli, yaxud mütləq formada voltmetrin 0,9 V qiymətində nəzərə alınmalıdır.
𝑞 𝑎 = 𝑈 𝑞 100 = 0,9 ∙ 0,4 ∙ 10 −2 = 0,004 𝑉 Onda ö lçmənin nəticəsi düzəliş nəzərə alınmaqla aşağıdakı kimi olacaqdır
𝑥̅ = 0,900 + 0,004 = 0,904 𝑉 . 4. Əsas və əlavə xətalar özlərinin sərhəd qiymətləri ilə verildik- lərindən, onlara ləğv edilməmiş sistematik xətalar kimi baxıla bilər.
inanma ehtimalında (2.10) düsturuna görə ləğv edilməmiş sistematik xətanın inanma sərhəddi aşağıdakı kimi təyin edilir
𝛿 𝑠 = 1,1 �0,83 2 + 0,75
2 + 0,3
2 = 1,1 ∙ 1,16 ± 1,3% 89
mütləq formada ∆= 𝛿 𝑠 𝑈 100 ± 1,3 ∙ 0,9 ∙ 10 −2 = ±0,012 𝑉
5.
∆≻ 𝑞 olduğunu bilərək ölçmənin axırıncı nəticəsi aşağıdakı kimi yazılacaqdır
𝑥̅ = 0,90 𝑉; ∆= ±0,01 𝑉; 𝑃 = 0,95 2.9.4. Dolayısı ilə ölçmə Dolayısı ilə ölçmə funksional əlaqənin olmasını nəzərdə tutur
𝑌 = 𝑓(𝑥
1 , 𝑥
3 , … , 𝑥
𝑛 ) (2.15)
Burada
𝑥 1 , 𝑥 3 , … , 𝑥
𝑛 𝑌 funksiyasının birbaşa ölçməyə uğradılmalı arqumentləridir. Aydındır ki, Y - in qiymətləndirmə xətası, arqumentlərin ö lçülməsində yaranan xətalardan asılıdır. Bu halda iki hal ola bilər: arqumentlər qarşılıqlı asılı deyillər və qarşılıqlı asılıdırlar. Asılı olmayan arqumentlər üçün mütləq xəta ∆𝑦
∆𝑦 = ��
𝑑𝑓 𝑑𝑥 1 � 2 ∙ ∆𝑥 1 2 + � 𝜕𝑓 𝑑𝑥 2 � 2 ∆𝑥 2 2 + ⋯ + � 𝜕𝑓 𝑑𝑥 𝑛 � 2 ∆𝑥 𝑛 2 , nisbi x
əta 𝛿
𝛿 = ∆𝑦 𝑦 =
�� 𝜕𝑙𝑛𝑓
𝑑𝑥 1 � 2 ∆𝑥 1 2 + �
𝜕𝑙𝑛𝑓 𝑑𝑥 1 � 2 ∆𝑥 2 2 + ⋯ + � 𝜕𝑙𝑛𝑓 𝑑𝑥 𝑛 � 2 ∆𝑥 𝑛 2
və funksiyanın orta kvadratik sapması 𝛿 𝑦
90
𝛿 𝑦 = ��
𝜕𝑓 𝜕𝑥�
2 𝜎𝑥 1 2 + �
𝜕𝑓 𝜕𝑥 2 � 2 𝜎𝑥 2 2 + ⋯ + � 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑛 � 2 𝜎𝑥 𝑛 2
düsturları ilə ifadə edilir. Burada xüsusi tö rəmələr
, 1
df
, 2 dx df
, 2 1
x =
1 1
x =
də hesab
lanır, , 1 x ∆
... 2
∆ isə inanma ehtimalının eyni bir qiymətin- də Styudent əmsallarının köməyi ilə müəyyənləşdirilir. x arqumentinin mütləq təsir əmsalı − =
dx dy bi ni, y funksiya sına daxil edərkən, onun mütləq xətası aşağıdakı kimi olacaqdır: ∆ 𝑦 = �𝑏 1 2 ∆𝑥 1 2 + 𝑏 2 2 ∆𝑥 2 2 + ⋯ + 𝑏 𝑛 2 ∆𝑥 𝑛 2 . (2.16)
Onda nisbi xəta 𝜎 𝛾 = ��(𝐵 𝑖 𝛿 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1
(2.17)
kimi təyin ediləcəkdir. Bunda
𝐵 1 = 𝜕𝑦 𝑑𝑥 1 ∙ 𝑥 𝑖 𝑦
nisbi təsir əmsalıdır. Əgər ölçmənin dəqiqlik meyarı kimi orta kvadratik sapma çıxış edirsə, onda
91
𝛿 𝑦 = ��(𝑏
𝑖 𝜎 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1 (2.18)
Əgər şəkil 2.15-də analitik funksional əlaqə təyin edilməyibsə, onda ö
lçmənin yerinə yetirilməsi metodunu şləyərkən 𝑏� 𝑖
və 𝐵� 𝑖 -nin təcrübi qiymətlərindən istifadə etmək olar
𝑏� 𝑖 = ∆𝑦 ∆𝑥 𝑖 yaxud 𝐵� 𝑖 = ∆𝑦 ∆𝑥 𝑖 ∙ 𝑥̅ 𝑖 𝑦 (2.19) Burada
∆𝑦, ∆𝑥 𝑖 arqumentinin dəyişməsi nəticəsində funksiyanın dəyişməsi; 𝑦� və 𝑥̅ 𝑖
funksiyanın və arqumentin orta (hesabi, yaxud nominal) qiymətləridir. Sonuncu n əticə P ehtimalında 𝑦 = 𝑦� ± ∆𝑦 şəklində yazılır. Təcrübi məsləhətlər kimi aşağıdakı müddəaları əsas götürmək olar:
* Əgər təsir əmsalları 0,001(0,1%) dən azdırsa, onda bu parametrləri nəzərə almamaq olar; * 0,001... 0,050 (0,1...5%) hədlərində olan təsir əmsalları üçün ö lçməyə verilən dəqiqlik tələbləri böyük deyil (2...5%); * Əgər təsir əmsalları 0,05 (5%)-dən çoxdursa ,onda məlumat- ların dəqiqliyinə verilən tələbatlar 1% və daha çox artır. Arqumentlərin qarşılıqlı asılılığı olduqda, korrelyasiyanın qoşa əmsallarını tapırlar.
xk xi n i k k i i x x n x x x x k i σ σ ρ ∑ = − − = 1 ) )( ( . (2.20)
𝜌-qiyməti −1 ≺ 𝜌 ≺ +1 hədlərində yerləşir. 𝜌 = 0 olduqda kəmiyyətlər qarşılıqlı asılı deyil. Lakin 𝜌 = 0 olduqda bu 92
kəmiyyətlərin əhəmiyyətliliyini yoxlamaq lazımdır. Bunun üçün t meyarından istifadə edirlər.
𝑡 = (1 − 𝜌
2 ) √𝑛 (2.21)
Əgər (2.21) düsturuna görə hesablanmış 3𝑡 ≤ 𝜌 olarsa, onda parametrl ər arasındakı qarşılıqlı əlaqəni nəzərə almaq lazımdır. Əgər 𝜌 ≺ 0,2, … ,0,25 olarsa, onda korrelyasiya əlaqəsini əhəmiyyətsiz hesab edirlər. 𝑥 𝑖 və 𝑥 𝑗
arasında qarşılıqlı əlaqə olduqda, (2.16), (2.17) ifadələrini nəzərə almaqla yaza bilərik
𝜎
= ��(𝑏 𝑖 𝛿 𝑖 ) 2 + 2 � 𝑏 𝑙 𝑏 𝑘 𝜌 𝑥 1 𝑥 𝑘 𝜎 𝑥 𝑖 𝜎 𝑥 𝑘 𝑛 𝑖=1
. (2.22)
Burada
𝑖 = 1,2, … , 𝑖, … , 𝑘, … , 𝑛
Qarşılıqlı asılı arqumentlərin sayı ikidən artıq olduqda, əlaqənin sıxlığını xüsusi, yaxud ümumi korrelyasiya əmsalları ilə qiymətləndirirlər. Hesablamanın əsasını isə korrelyasiyanın qoşa əmsallarının qiymətləri təşkil edir. Məsələn: üç - x, y və z arqument- ləri üçün
𝑅 𝑧,𝑥,𝑦 = �
𝜌 𝑥𝑦 2 + 𝜌 𝑦𝑧 − 2𝜌 𝑥𝑧 𝜌 𝑦𝑧 𝜌 𝑥𝑦 1 − 𝜌 𝑥𝑦 2
R əmsalı həmişə müsbətdir və 0-la 1 arasında yerləşdirilmişdir. Məsələn: əgər x qiyməti x və y-dən z=ax+by+c kimi asılıdırsa, onda
kəmiyyətinin z-in dəyişməsinə təsiri xüsusi korrelyasiya əmsalı ilə qiymətləndirilir
93
𝜌 𝑦 (𝑧, 𝑥) =
𝜌 𝑥𝑧 − 𝜌 𝑦𝑧 𝜌 𝑥𝑦 �(1 − 𝜌 𝑥𝑦 2 ) ∙ (1 − 𝜌 𝑥𝑦 2 ) .
Analoji olaraq 𝜌 𝑦 (𝑧, 𝑥) müəyyənləşdirilir. Korrelyasiyanın xüsusi əmsallarının xassələri, xətti korrelyasi- ya əmsallarının malik olduğu xassələrlə eynidir. Dolayısı ilə ölçmənin nəticələrinin emalının alqoritmi aşağı- dakı mərhələlərdən ibarətdir: 1. x arqumentlərinin birbaşa ölçmələrinin nəticələri üçün seçmə orta
1 𝑛 𝑖 � 𝑥 𝑖,𝑘
𝑛 𝑘=1
qiymətini və seçmə standart sapmaları 𝜎 𝑥𝑖 = � 1 𝑛 𝑖 (𝑛 𝑖 − 1) �(𝑥 𝑖.𝑘
− 𝑥̅ 1 ) 2 𝑛 𝑖 𝑘−1 𝑖=1
hesablayırlar. 2. Hər bir arqument üçün orta kvadratik sapma şəklində ümumi sistematik xətanı seçirlər.
𝜎
= �𝜎 ö𝑣𝑖
2 + 𝜎
𝑠𝑢𝑏𝑖 2 + 𝜎 𝑦𝑢𝑣𝑖 2 + ⋯ , Burada
𝜎 𝑠𝑢𝑏
, 𝜎 𝑦𝑢𝑣 subyektiv səbəblərə, yuvarlaqlamağa və s. gö rə nəticələrin səpələnməsini xarakterizə edir. 3. Təsir əmsalını nəzərə almaqla m
arqumentlərə görə funksiyanın seçmə orta qiymətlərini tapırlar 94
𝑦 = � 𝑏 𝑖 𝑥̅ 𝑖 𝑚 𝑖=1
.
4. Funksiyanın təsadüfi və sistematik xətalarının standart sapmalarını hesablayırlar
𝜎 𝑣� °∆ = ��(𝑏
𝑖 𝜎 𝑥𝑖 ) 2 𝑚 𝑖=1 ; 𝜎
𝑣�∆ = ��(𝑏
𝑖 𝜎 𝑥𝑖 ) 2 𝑚 𝑖=1 .
5.
0 ∆
σ
∆ y σ - nı müqayisə edirlər: a)
Əgər ∆ ∆ y y σ σ 0 olarsa, onda P ehtimalında nəticəni s y y ∆ + =
şəklində yazırlar. Burada P ehtimalını nəzərə almaqla yarım intervalı s ∆ Çebışev əmsalının k ö məyi ilə (2.12) düsturundan tapırlar.
∆ 𝑠 = 𝑦
𝑝 𝜎 𝑦�∆ ;
b) Əgər ∆ ∆ y y σ σ 0 olarsa, onda 𝑃 = 𝑎 və 0 ∆ y σ
- da n əticəni
𝑦 = 𝑦� şəklində yazırlar; v) Əgər 0 ∆
σ
və ∆ y σ
müqayis ə olunandırlarsa, onda nəticə 𝑦 = 𝑦�; ; 0 ∆ y σ
∆ y σ
şəklində verilir. Dolayısı ilə ölçmənin nəticələrinin inanma sərhədlərini (2.13), (2.14) düsturlarına oxşar olan düsturlarla qiymətləndirmək olar. Bunun üçün dolayısı ilə ölçmənin ləğv edilməmiş sistematik xətasını ayrı-ayrılıqda, hər bir arqumentə görə, həm də bütövlükdə funksiyaya gö rə qabaqcadan qiymətləndirmək lazımdır.
95
Mürəkkəb funksiyanın nisbi xətasının 𝛿 =
∆𝑦 𝑦 = ±𝑑
[𝑙𝑛𝑦]
şəklində verilməsi, funksiyanın xətasını arqumentərin məlum xətaları ilə hesablamaq imkanı verir ( düz məsələ); ümumi xəta verilmiş qiyməti keçmədikdə, arqumentlərin buraxıla bilən xətalarının qiymətləndirilməsi (tərs məsələ) ümumi xətanı əsaslandırılmış şəkildə minimumlaşdırmaqla, ölçmənin dəqiqli-yinə tələbləri əvvəlcədən təyin etməklə, uyğun cihazları seçmək-lə ölçmə şəraitini optimal
laşdırmaq olar. Məsələ 2.8. Yanacağın xüsusi effektivli sərfinin g e
təyin edilməsi xətasına təsir edən faktorlara baxaq. g e -
birbaşa metodla ö lçülən kəmiyyətlərin funksiyası şəklində verilə bilər g 𝑒 = 716,2 𝐺𝜏 𝑛 𝑀 𝑒 𝑛 𝜏 𝜏 .
Burada G v ə 𝜏 yanacağın miqdarı və onun sərf edilməsi vaxtı; 𝑛 𝜏 = 𝜏 ölçmə zamanında mühərrikin valının sabit fırlanma tezliyi; 𝑀 𝑒 - mühərrikin valındakı fırlanma momentidir. Həlli: Xəta aşağıdakı düsturla təyin edilir
𝛿 g 𝑒 = ±(𝑙𝑛716,2 + 𝑙𝑛𝐺 + 𝑙𝑛𝜏 𝑛 + 𝑙𝑛𝑀
𝑒 + 𝑙𝑛𝑛
𝜏 + 𝑙𝑛𝜏) = = ±(𝛿𝐺 + 𝛿𝜏 𝑛 + 𝛿𝑛 𝜏 + 𝛿𝜏) .
No
𝑒
kəmiyyəti 1% -ə qədər dəqiq- liklə ölçülməlidir. Hər bir arqumentin ümumi xətaya eyni cür təsir etdiyini nəzərə alsaq, onda yaza bilərik
𝛿𝐺 = 𝛿𝜏
𝑛 = 𝛿𝑀
𝑒 = 𝛿𝑛
𝜀 = 𝛿
𝜏 = ±
1 5 = ±0,2% .
𝑒 -ni
±0,5% -dən, G-ni ±0,2% -dən artıq dəqiqliklə ölçməyə imkan vermir. Eyni zamanda firlanma 96
tezliyini və vaxt intervallarını daha dəqiq, ±0,1% nisbi xəta ilə ölç- mək mümkündür. Beləliklə hal-hazırdakı ölçmə vasitələrindən isti- fadə edərkən xətaların cəmi ±(0,5 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1) = ±1% - ə bərabər olacaqdır. Bu da standartların tələblərini tam ödəyir. Gətirilmiş misal göstərir ki, dolayısı ilə ölçmənin dəqiqliyini ar tırmaq üçün, birinci növbədə ayrı-ayrı arqumentlə-rin ən böyük xə- ta larını aşağı salmağa çalışmaq lazımdır. Dolayısı ilə ölçmənin əsas məsələlərinin həllinin ənənəvi mi- sal
ları (dolayısı ilə ölçmənin nəticələrinin qiymətləndirilməsi və onun xətalarının təyin edilməsi) aşağıdakılardan ibarətdir: - hesab edi lir ki, (2.15) funksiyası kifayət qədər səlisdir; - bu funksiyanı 𝑥 𝑖 arqumentinin ətrafında Teylor sıraları-na ayırırlar; - arqumentin qiymətləndirilməsi xətalarının çox kiçik olduğunu qəbul edərək, Teylor sırasının atılan qalıq həddinin əhəmiyyətliliyini tədqiq edirlər. Burada arqumen tin xətalarının paylanması qanunu haqqında məlumatın olması vacibdir. Texniki ö lçmələr üçün daha sadə, eyni zamanda kifayət qədər dəqiq olan riyazi proqramlaşdırma üsulu təklif edilmişdir. Bu üsulun məğzini analitik məsələni hesablama məsələsinə gətirmək təşkil edir [14].
Bu halda arqumentin paylanması qanunu haqqında məlumatın olması vacib deyildir. 𝑦�-qiymətləndirilməsi kimi, y funksiyasının maksimum və minimum qiymətlərinin cəminin yarısı, mütləq xətanın qiymətləndi- rilməsi kimi isə, bu qiymətlərin fərqinin yarısı götürülür.
𝑦� = 𝑦 𝑚𝑎𝑥
+ 𝑦 𝑚𝑖𝑛
2 ; ∆𝑦� =
𝑦 𝑚𝑎𝑥
− 𝑦 𝑚𝑖𝑛
2 (2.23)
Onda nisbi xəta
𝛿 𝑦� = 𝑦 𝑚𝑎𝑥 − 𝑦
𝑚𝑖𝑛 𝑦 𝑚𝑎𝑥 + 𝑦 𝑚𝑖𝑛
100% (2.24)
97
olur. Misal 2.9. P gücünün 𝑅 = 1000 𝑜𝑚 ± 5 𝑜𝑚 müqavimətli aktiv yükl əmədə ölçülməsi dəqiqlik sinfi 𝛾 = 1,5, ölçmə həddi
300
= olan voltmetrin kö məyi ilə yerinə yetirilir. Əgər cihazın göstəricisi 𝑈 𝑐 = 240 𝑉 olarsa ölçmənin gücünü və xətanı qiymətləndirin. Həlli: 1. Voltmetrin mütləq xətasının həddi bərabərdir
∆𝑈 = 𝑈
ℎ 𝛾 = 300 ∙ 1,5 ∙ 10 −2 = 4,5 𝑣. 2. U və R-in nisbi xətası bərabərdir
𝛿 𝑢 = ∆𝑦 𝑈 𝑐 ∙ 100% = 4,5 240 ∙ 100 = 1,9%;
𝑅 = ∆𝑅 𝑅 ∙ 100% = 5 100 ∙ 100 = 5%.
3. Dolayısı ilə ölçmə tənliyindən 𝑃 = 𝑈 2 𝑅
tapırıq 𝑃 𝑚𝑎𝑥 = 𝑈 𝑚𝑎𝑥 2 𝑅 𝑚𝑖𝑛 = (240 + 4,5) 2 95
𝑃 𝑚𝑖𝑛 = 𝑈 𝑚𝑖𝑛 2 𝑅 𝑚𝑎𝑥 = (240 + 4,5) 2 105
= 528 𝑉𝑡;
4. (2.23), (2. 24) düsturlarına görə qiymətləndirmələri tapırıq.
𝑃� = (629 + 528) 2 ⁄ = 579 𝑉𝑡 ;
𝑃� = (624 − 528) 2 ⁄ = 51 𝑉𝑡 ; 98
𝛿𝑃� = 51/579 = 8,8 . 2.9.5. Müştərək (birgə) və birləşmiş ölçmələr. İki və daha artıq kəmiyyətlərin eyni zamanda ölçülməsi müştərək ölçmə adlanır. Bu o hal üçün doğrudur ki, bu kəmiyyətlərin ölçülməsi üçün nəzərdə tutulmuş tənliklər xətti sərbəst tənliklər sistemi təşkil edə bilsin. Məsələn: iki x və y ölçülən kəmiyyətləri üçün aşağıdakı tənlikləri göstərə bilərik:
𝑓
(𝑥 1 , 𝑦; 𝜕 1 , 𝛽
1 , … ; 𝑎
1 , 𝑏
1 ; … ) = 0 ;
𝑓
(𝑥, 𝑦; 𝛼 2 , 𝛽 2 ; 𝑎
1 , 𝑏
1 ; … ) = 0 ;
Burada
𝑎 1 , 𝛽 1 ; … ; 𝛼
2 , 𝛽
2 - birbaşa, yaxud dolayısı ilə ölçmələrin nəticələri; 𝑎 1 , 𝛽 1 ; … ; 𝛼
2 , 𝛽
2
fiziki konstantlar (sabit kəmiyyətlər) yaxud ö lçmə vasitələrinin daimi sabitləridir. Əgər tənliklərin sayı məchulların sayından artıqdırsa, onda alınan sistemi ən kiçik kvadratlar metodu ilə həll edir, x,y-i və onların orta kvadratik sapmasını təyin edirlər. x və y-in əsl qiymətləri üçün Styudent paylanmasına görə inanma intervallarını qururlar. Birləşmiş ölçmələr müştərək ölçmələrdən onunla fərqlənir ki, birləşmiş ölçmələrdə eyni zamanda bir neçə eyni adlı kəmiyyətləri, müştərək ölçmələrdə isə müxtəlif adlı kəmiyyətləri ölçürlər. Ölçülən kəmiyyətlərin xarakterini nəzərə alaraq müştərək ölçmələrə ümumiləşdirilmiş dolayısı ilə ölçmələr kimi, birləşmiş ölçmələrə isə ümu
miləşdirilmiş birbaşa ölçmələr kimi baxmaq olar.
Yüklə 6,92 Mb. Dostları ilə paylaş:
|