MühaziRƏ -1-2 Ardıcıllıq və onun limiti

MÜHAZİRƏ-4
Funksiyanın törəməsi və diferensialı.


1. Funksiyanın törəməsi
Tutaq ki, funksiyası intervalında təyin olunmuşdur və bu intervalın qeyd olunmuş nöqtəsidir. Arqumentin nöqtəsində aldığı artımına uyğun , olar. fərqinə funksiyanın artımı,
(1)
nisbətinə isə funksiya artımının arqument artımına nisbəti deyirlər
Tərif. Arqumentin artımı istənilən qayda ilə sıfra yaxınlaşdıqda (1) nisbətinin sonlu limiti varsa, onda həmin limitə verilmiş funksiyanın törəməsi deyilir və ilə işarə olunur.
Tərifdən alırıq ki,


.

Verilmiş nöqtəsində törəməsi olan funksiyaya həmin nöqtədə diferensiallanan funksiya deyilir. intervalının hər bir nöqtəsində törəməsi olan funksiya həmin intervalda diferensiallanan funksiya adlanır.

2. Törəmənin həndəsi və mexaniki mənasıMəlumdur ki, düz xəttin, absis oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə həmin düz xəttin bucaq əmsalı deyilir.
tənliyi ilə verilmiş əyrisinin nöq­təsində toxunanının bu­caq əmsalını tapaq: nöqtəsinin absisi , nöqtəsinin absisi isə olsun. Onda:
,
olduğundan və ya olar. Buradan .

Aydındır ki, nöqtəsi əyri boyunca nöqtəsinə yaxınlaşdıqda artımı sıfra yaxınlaşır: . Onda

Deməli, nöqtəsi əyri üzrə nöqtəsinə yaxınlaşdıqda kəsəni toxunanına yaxınlaşır və bu toxunanın bucaq əmsalı

bərabərliyi ilə təyin olunur. Buradan törəmənin həndəsi mənası alınır. funksiyasının nöqtəsində törəməsi funksiyanın qrafiki olan əyriyə nöqtəsində çəkilmiş toxunanın bucaq əmsalına bərabərdir:

İndi verilmiş əyriyə nöqtəsində çəkilmiş toxunanının tənliyini yazaq. Düz xətlər nəzəriyyəsindən məlumdur ki, nöqtəsindən keçən və bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyi
(2)
şəklindədir. olduğundan

alınır.
Məlumdur ki, hərəkət edən nöqtənin getdiyi yol zamandan asılıdır: . Bu funksiya cismin hərəkət qanunu adlanır. Nöqtənin zamanda getdiyi yol zamanda getdiyi yol olarsa, onda nöqtə zamanda məsafəsini getmiş olar.
Bu halda nisbəti, nöqtənin anından anına qədər müddətdəki hərəkətinin orta sürətinə bərabər olar. zaman fasiləsini çox kiçik götürsək, orta sürət anındakı sürətə çox yaxın olar. Ona görə də
və ya .
Buradan törəmənin mexaniki mənası alınır: hərəkət edən nöqtənin surəti gedilən məsafənin zamana görə törəməsinə bərabərdir.