Bakı Avrasiya Universiteti Fənn: Xətti cəbr və riyazi analiz Fənnin kodu: S22-Ceb282/Q11

Teorem 5(Funksionalsıranınhədbəhəddiferensial­lan­ması).

Əgərhərbirf_n funksiyası parçasındadiferensiallananolub, funksionalsırası[a,b] parçasındamüntəzəmyığılan, isə[a,b] parçasınınheçolmazsa, birnöqtəsindəyığılandırsa, onda sırası parçasındamüntəzəmyığılır, həmdə sırasınıncəmi sırasınıncəminintörəməsinəbərabərdir, yənibusıranıhədbəhəddiferensiallamaqolar.

Misal 6. funk­sionalsırasınıhədbəhəddiferensiallamaqolarmı?

Həlli:Verilmişfunksionalsıranı -inistənilənqiymətindəyığılan

sırası ilə müqayisə edək:

x olduğundan

Müqayisə əlamətinə görə alınır ki, verilmiş sıra yığılır.

Verilmiş sıranın ümumi həddinin törəməsini tapaq:

hədlərin törəmələrindən düzəldilmiş sıra

şəklinə düşür. Bu sıranın majorantı olan

sırası yığılan olduğundan Veyerştrass teoreminə görə hədlərin törəmələrindən düzəldilmiş sıra intervalında müntəzəm yığılır. Ona görə də 5-ci teoremə əsasən verilmiş sıranı hədbəhəd diferensiallamaq olar.

2. Qüvvət sırası

Qüvvət sırası funksional sıranın ən sadə növüdür.

(3.29)

şəklində olan funksional sıraya qüvvət sırası deyilir. Burada və sabitədədlərdir. ədəd­lərinəqüvvətsırasınınəmsallarıdeyilir.

(3.29) şəklindəkiqüvvətsırası nöqtəsindəyığılırvəcəmiC₀ədədinəbərabərdir. əvəzləməsiniapardıqda (3.29) qüvvətsırası

(3.30)

şəklində yazılır. Bu şəkildə olan bütün qüvvət sıraları x=0 nöqtəsində yığılır.

Bundan sonra ancaq (3.30) şəklindəki qüvvət sıralarının yığılması tədqiq edilir.

Teorem (Abel).Əgər qüvvət sırası x₀ nöqtəsində yığılandırsa, onda x-in bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində mütləq yığılandır.

Nəticə.Hər hansı nöqtəsində dağılan (3.30) qüvvət sırası münasibətini ödəyən hər bir x nöqtəsində də dağılandır.

Qüvvət sıraları üçün aşağıdakı üç haldan biri ola bilər:

1.Qüvvət sırası istənilən sonlu nöqtəsində yığılır.

2.Qüvvət sırası istənilən sonlu nöqtəsində dağılandır.

3. Qüvvət sırası üçün elə ədədi vardır ki, (-R; R) intervalı daxilindəki bütün nöqtələrdə qüvvət sırası yığılır, bu interval xaricindəki hər bir nöqtədə isə dağılır.

Üçüncü halda R-ə qüvvət sırasının yığılma radiusu, intervalına isə yığılma intervalı deyilir.

Yığılma intervalının –R və R uclarında qüvvət sırasının yığılıb-dağılan olmasını söyləmək olmaz. Hər bir sıranın uclarda yığılan olub-olmaması ayrıca tədqiq olunmalıdır.

Birinci halda R= və ikinci halda isə R=0 götürülür. Qüvvət sırasının yığılma radiusu

və ya

düsturlarından biri ilə təyin olunur.