H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

2.  Manrisin  ranqi-  xətti  aslı  olmayan  sətirlərinin  və  ya  sütunlarının 

sayı.Başqa tərif: determinantı sıfra bərabər olmayan ən böyük minorun tərtibi- 

rank(A). 

 

 

Bu halda birinci üç vektor üçün  

 

172 

 

























































































0

0

0

1

8

3

1

3

2

1

2

1

3

2

1

c

c

c

 

münasibətini ödəyən c

i

-lər mövcud olduğundan (vektorların əttilik xassəsi) A 

matrisinin birinci üç sütunu xətti asılıdır. Doğrudan da bu tənliklər sistemini 

vektor şəkildə deyil, koordinat formasında yazsaq alariq: 

.

0

,

0

8

3

2

,

0

3

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1





















c

c

c

c

c

c

c

c

c

 

      Həll: c

1

=c

2

 +c

3

, c

2

=-2c

3

. Bu səbəbdən sistemin sonsuz həlli mövcuddur. 

Onlardan buru:

 

c

1

=1, c

2

=2, c

3

=-1. 

Sonuncu sütun isə bunların istənilən biri ilə xətti asılı olmadığından 

matrisin ranqı 2-yə bərabərdir: 

3.Matrisin xarakteristik çoxhədlisi (polinomu), 







)

det(

A

I

p



, 

poly(A). D=λI-A matrisi xarakteristik matris adlanır. 

 

     

 

 

     Nəticədə  xarakteristik  polinomun  əmsalları  alınır.Polinomun  özü  isə

.

21

4

8

2

3















p

Və ya 

 

 

 

4.Matrisin məxsusi ədədləri (xarakteristik tənliyin kökləri), λ

i

- eig(A). 

egi- alman sözü “ eigen” olub “məxsusi” deməkdir. 

 

173 

 

     

 

      Burada  λ

1

=-21.68,  λ

2

=10.92,  λ

3,4

=-1.62±1.15i.  Re(λ

i

)<0  şərti  ödənilən 

matris  Hurvis  matrisi  adlanır  və  əks  əlaqəli  idarəetmə  sistemlərinin 

dayanıqlığını təyin etmək üçün istifadə olunur. 

     Məxsusi  ədədlərin  məcmusu  matrisin  spektri  adlanır.Adətən  məxsusi 

ədədlər diaqonal matris formasında təqdim edilir: S=diag(λ

1

,..., λ

n

). 

5.Matrisin  məxsusi  vektorlaru  v

i

-    məxsusi  λ

i

  ədədinə  uyğun  gələn  və 

aşağıdakı tənliyi ödəyən məxsusi v

i 

vektorudur: 

                                        Av

i

=λ

i

 v

i

.                     i=1,2,...,n 

     Və ya  

D

i

v

i

=0.                                              (7.1)  

     Burada  

D

i

=λ

i

İ-A,  v

i

= (v

i1

, v

i2

,..., v

in

)

T 

– məxsusi vektor, İ-n×n ölçülü vahid matrisdir. 

     (7.1) tənliklər sisteminin determinantı detD

i

=0 olduğundan tənliklərdən biri 

digərilərinin  xətti  kombinasiyasıdır.  Bu  “artıq”  tənliyi  nəzərdən  atsaq  v

i

 

vektoru sərbəst əmsal dəqiqliyində tapılır.Matlabda bu sabil hər bir v

i

 üçün elə 

seçilir ki, onun uzunluğu vahidə bərabər olsun, yəni 

.

1

)

(

2

/

1

2







j

ij

i

v

v

 

     Fərz edək ki, 

.

2

3

2

1















A

 

 

     Bu matrisin məxsusi əddləri :  λ

1

=-1,  λ

2

=4.    

     Birinci v

1

 məxsi vektoru  təyin etmək üçün (7.1) matris tənliyi: 

 

174 

 

.

0

0

3

3

2

2

12

11







































v

v

 

 

      Buradan 

.

0

3

3

,

0

2

2

12

11

12

11









v

v

v

v

 

 

     Bu  tənliklər  yalnız  sabit  vuruq  ilə  fərqlənirlər.Ekvivalent  tənlik 

.

0

12

11





v

v

v

11

=1 qəbul etsək v

12

=-1 alarıq. Beləliklə v

1

=(1 -1)

T

. 

     Analoji  olaraq  v

2

  =(v

21

,  v

22

)

T

  vektoru  üşün  v

21

=2  qəbul  etsək  v

22

=3 

alarıq.Bu halda v

2

=(2  3)

T

. Və ya normallaşdırma aparsaq v

2

=(1   3/2)

T

. 

      Bu məsələni Matlabda həll edək. 

      Eyni  zamanda  bütün  məxsusi  vektorları  (V  matrisinin  v

i

  sütunları  )və 

məxsusi  ədədləri  (S-diaqonal  matris  şəklində)  hesablamaq  üçün  iki  giriş 

arqumentli 

[V,S]=eig(A)  funksiyasından istifadə olunur. 

 

     

 

 

     Burada  V=  [v

1

  v

2

]-məxsusi  vektorlar  matrisi  (

1

,

1

2

1





v

v

),  S-məxsusi 

ədədlərdən ibarət olan diaqonal matrisdir (matrisin spektri). 

6. Matrisin izi-matrisin diaqonal elementlərinin cəmi,Tr(A) (və ya Sp(A)).  

Trace(A)=a

11

+a

22

+...+a

nn 

 

     Sintaksis:  

tr=sum(diag(A)). 

 

175 

 

 

 

7. Matrisin sinqulyar (baş) ədədləri- A

*

A və AA

*

 matrislərinin ortaq 

məxsusi λ

i

 ədədlərinin kvadrat kökünün qiymətləridir,





|

|

i

i





  σ

i

=svd(A). 

     Normal    matrislər  üçün  AA

*

  =  A

*

A  və  təbii  ki,bu  matrislərin  məxsusi 

ədədləri eyni olur.  

 

     

 

 

176 

 

     

 

      Göründüyü kimi, C1=AA* və C2=A*A matriclərinin  müxtəlif olmalarına 

baxmayaraq  məxsusi  ədədləri  eynidir:  Lyamda1=Lyamda2.  Sinqulyar  ədədlər 

isə bunlardan kv. kök alınıb azalma sırasına gərə düzülməklə əldə edilmişdir. 

Sinqulyar ədədlərin hasili matrisin determinantının moduluna bərabərdir: 

|det(A)|=σ

1

 σ

2

...σ

n

. 

8.  Matrisin  şərtləşmə  ədədi-  µ.Cəçri  Ax=b  tənliyjnjn  həll  etdikdə  həllin 

birqiymətli olması və A, b parametrlərinin kiçik dəyişmələrinə həssas olmaması 

(dayanıqlı olması)praktiki məsələlərin həlli zamanı çox önəmlidir.Həllin (yəni 

x-in)  hesablama  korrektliyi  A  matrisinin  şərtləşmə  ədədindən  asılıdır.Bu  ədəd 

həllin  həssaslığını  təyin  edir  və  dayanıqlıq  göstəricisidir.Şərtləşmə  ədədi  A 

matrisinin cırlaşan matrisə 

0

)

det(



A

 yaxınlığını da xarakterizı edir. 

     Misal 6.3. Aşağıdakı xətti cıbri tənliklər cicteminə baxaq: 

 

.

999

.

7

4

999

.

3

2

2

1







































y

x

 

 

177 

 

     

Həll 

.

1

2



























y

x

 

     

Sistemin sağ tərəfinə (b-yə)azacıq dəyişiklik edək: 

 

.

998

.

7

001

.

4

999

.

3

2

2

1







































y

x

 

     Yeni həll: 

.

000

.

4

999

.

3



























y

x

 

 

     

İndi sistemin əmsallarına (A-ya) azacıq dəyişiklik edək: 

 

.

999

.

7

4

998

.

3

001

.

2

001

.

2

001

.

1







































y

x

 

     

Həll: 

.

001388

.

0

994

.

3



























y

x

 

 

Görqndqyü kimi, sistemin əmsallarının və sağ tərəfinin azacıq dəyişməsi həldə 

böyük  dəyişiklərə  səbəb  olur.Buna  səbəb  sistemin  “pis  şərtləşməsidir”.  p=2 

evklid norması üçün A-nın şərtləşmə ədədi 

 

     

 

     Şərtləşmə  ədədinin 

1

24992







olması  sistemin,yəni  A  matrisinin,  “pis 

şərtləşmiş”  olmasını  göstərir. 

001

.

0

)

det(





A

olduğundan  A  cırlaşan  matrisə 

 

178 

 

çox  yaxındır.  Lakin  bu  göstərici  sistemin  “pis  şərtləşən”  olmasını  tam 

xarakterizə etmir. 

     Pis  şərtləşmiş  matrisə  aid  Hilbert  matrisini  göstərmək  olar.  Bu  matris  belə 

təyin olunur:H(i,j)=1/(i+j-1). 

     Misal. 

 

     Göründüyü  kimi,  şərtləşmə  ədədi  µ=4.766*10

5

  çox  böyük  olduğundan 

Hilbert matrisi pis şərtləşmiş matrisdir. 

     Adətən  adaptiv  (özü  sazlanan)  sistemlərdə  cari  informasiya  əsasında  A 

parametrini  qiymətləndirdikdə  müxtəlif  təsadüfi  küylərin  mövcud  olması 

səbəbindən tapılmış A matrisi “pis şərtləçən “ olur. 

     Həllin  A  və  b  parametrlərinin  kiçik  dəyişmələrinə  qarşı  həssaslığını  

azaltmaq üçün “requlyarizasiya” üsüllarından istifadə olunur. 

      Ümumi  şəkildə  cırlaşan  olmayan  kvadratik  A  matrisinin  şərtləşmə  ədədi 

aşağıdakı şəkildə təyin olunur: 

.

1







A

A



 

Burada 



A

matrisin  verilmiş  normasıdır.  Əgər



A

spektral  norma 

şəklində verilərsə istənilən kvadratik matris üçün şərtləşmə dərəcəsi: 

.

min

max









 

Burada λ

max 

və λ

min

 A matrisinin ən böyük və ən kicik məxsusi ədədləridir. 

Simmetrik matris üçün 

.

|

|

max

i







 

 

179 

 

Xatırladaq ki, spektral norma

),

max(

)

max(

i

i

A









 yəni matrisin ən 

böyük  sinqulyar  ədədinə  bərabərdir.  Matlabda  matrisin  şərtləşmə  ədədini 

təyin etmək üçün µ=cond (A,p) funkciyasıdan istifadə olunur.Burada p ədədi 

mtrisin normasının tipini göstərir, p=1,2, inf və s. verilə bilər.p yazılmayanda 

avtomatik olaraq p=2, yəni evkilid norması götürülür. 

 

9. Matrisin normaları . 

 

Düzbucaqlı  n×m  ölçülü    matrislərüşün  aşağıdakı  normalardan  geniş 

istifadə olunur.  

9.1.p=1,1-norma-hər-bir  sütunun  elementlərinin  modullarının  cımi 

içərisində ən ən böyük (max) olanı: 

;

max

1

1

1











n

i

ij

m

j

a

A

 

A1=max(sum(abs(A),1)). 

 

9.2. p=2, evklid norması-bütün elementlerin kvadratları cəminin kv. Kökü: 

;

)

(

2

/

1

1

1

2

2





















 

n

i

m

j

ij

a

A

 

A2=sqrt(sum(sum(A.^2))). 

 

9.3.  p=∞,  ∞-norma-hər-bir  sətrin  elementlərinin  modullarının  cəmi 

içərisində ən böyük (max) olanı: 

;

max

1

1













m

j

ij

n

i

a

A

 

Ainf=max(sum(abs(A),2)). 

 

Misal 6.4. A matrisinin ∞- normasını hesablayaq: 

 

.

5

1

5

6

1

.

2

3

0

7

10





























A

 

.

17

]

11

,

1

.

11

,

17

max[

)]

5

1

5

(

),

6

1

.

2

3

(

),

0

7

10

max[(





























A

 

9.4. spektral (sinqulyar) norma- matrisin ən böyük sinqulyar ədədi                     

 

180 

 

);

max(

)

max(

i

i

s

A









 

As=max(eig (A)). 

 

Aşağıda verilmiş A matrisi üçün iki yol ilə şərtləşmə ədədini hesablayaq. 

p=∞ (p=inf) normasından istifadə edəcəyik. 

 

 

 

 

 

 

181 

 

 

Göründüyü  kimi,  ümumi 

1







A

A



  ifadəsi  və  c=cond(A,p)  Matlab 

funksiyasının köməyi ilə alnmış nəticələr eynidir. 

Deyd  edək  ki,  həmişə 

1





. 

100

1







intervalında  olarsa  matris  yaxşı 

şərtləşmiş hesab olunur.  

Matlabda  matrisin  normasını  hesablamaq  üçün  xüsusi  N=norm(A,p) 

funksiyası da mövcuddur. Məsələn, 

 

 

 

10. Vektorun norması. 

)

,...,

,

(

2

1

n

x









(vektor sətir) üşün norma: 

 

1

;

/

1

1

























p

x

p

n

k

p

k

p



 

 

Bu norma p göstəricisi ilə Helder norması adlanır.Helder normalarının ən 

geniş yayılmış formaları p=1, p=2, p=∞ qiymətləri üçün nəzərdə tutulmuşdur: 

 

.

max

;

;

1

2

/

1

1

2

2

1

1

k

n

k

n

k

k

n

k

k

x

x

x











































 

 

p=2 qiymətinə uyğun gələn norma evklid norması adlanır və bəzi hallarda 

E

x

kimi işarə olunur. 

 

 

Matlabda realizasiya 

 

 

182 

 

 

 

Matlabda xüsusi n=norm(x,p) funksiyası da mövcuddur.Məsələn, 

 

 

  11. Matrisin diaqonal formaya gətirilməsi. İdarəetmə nəzəriyyəsində və 

başqa sahələrdə  matrisin diaqonal şəklə gətirilmısi bir-şox riyazi əməliyyatları, 

məsələn, əvvəldə baxdığımız keçid matrisinin hesablanmasını, aslaşdırır. 

     Kvadratik  A  matrisi  üçün  elə  başqa  kvadratyik  P  matrisi  tapmaq  tələb 

olunur ki, aşağıdakı matris tənliyi ödənilsin: 

.

1







AP

P

 

Burada  Λ  diaqonal  matrisdir:  Λ=diag(λ

1

,λ

2

,  ...,λ

n

).  λ

i

-  A  matrisinin  məxsusi 

ədədləridir. P matrisinin sütunları isə A matrisinin məxsusi vektorlarıdır. 

     Misal 6.5. Fərz edək ki, 

 

183 

 

.

7

14

8

1

0

0

0

1

0





























A

 

Xarakteristik tənlik: 

.

0

8

14

7

)

det(

2

3





















A

I

 

Buradan məxsusi ədədlər: 

.

4

,

2

,

1

3

2

1



















 

Məxsusi  v

i

 vektorları aşağıdakı tənliklər sisteminin həllindən tapmaq olar: 

.

3

,

2

,

1

,

v

v





i

A

i

i

i



 

Bu tənliklər sistemini birləşdirib aşağıdakı matris tənliyinə gətirmək olar: 

 

.

V

)

(

V



D

A



 

 

).

(

)

(

,

,...,

,...,

]

v

...

v

v

[

V

3

2

1

1

1

11

2

1









diag

D

v

v

v

v

nn

n

n

n

































