SəRBƏst iŞ TƏLƏBƏ: qafarova gülnar faküLTƏ:İQTİsadiyyat və İdarəetmə

Tərif 3. Verilmiş a ədədini daxilində saxlayan aralığına a-nın ətrafı deyilir.

Tərif 3'. Xüsusi halda ε>0 ədədi üçün bütün tipli intervallara a nöqtəsinin simmetrik ətrafı və ya ε-ətrafı, ε-na isə onun radiusu deyilir.

Ətraf anlayışından istifadə edərək ardıcıllığın tərifini aşağıdakı hissələrə ayırmaq olar.

Tərif 2'. Sonlu sayda hədləri müstəsna olmaqla ardıcıllığın təxminən bütün hədləri hər hansı a ədədinin istənilən ətrafında yerləşərsə, onda a ədədi ardıcıllığının limiti adlanır.

Misal 1. ardıcıllığı yığılır və limiti var və o, sıfra bərabərdir. Əslində Arximed teoreminə görə istənilən ε>0 üçün həmişə elə ədədi var ki, . Elə buna görə də istənilən üçün

bərabərsizliyi doğrudur. Bunun da mənası deməkdir.

Misal 2. ardıcıllığı isə dağılandır. Doğrudan da, elə a ədədi tapmaq olmaz ki, onun istənilən ε-ətrafında(məsələn 0<ε<1 olduqda) verilmiş ardıcıllığın sonsuz sayda elementləri yerləşsin və a həmin ardıcıllığın limiti olsun.

Tərif 4. Əgər elə ε>0 ədədi varsa ki, istənilən n natural ədədi üçün bərabərsizliyini ödəyən elə natural ədədi tapmaq mümkün olsun və bərabərsizliyi ödənsin, onda a ədədi ardıcıllığının limiti olmur.

Teorem 1. Ədədi ardıcıllığın birdən artıq limiti ola bilməz.

İ s b a t ı. Əksini fərz edək. Fərz edək ki, ardıcıllığının heç olmasa iki müxtəlif limiti var: a və b. Tutaq ki, a>b. Onda ε>0 ədədini elə seçək ki, O(a, ε) və O(b, ε) ətrafları kəsişməsinlər(şəkil 1).

Şəkil 1.
Məsələn götürmək olar. Elə nömrəsi var ki, bütün -lər üçün və elə nömrəsi var ki, bütün -lər üçün . ilə və nömrələrinin böyüyünü işarə edək. Onda istənilən üçün və , onda ola bilməz ki, göstərilən ətraflar kəsişməsinlər. Alınan ziddiyyət teoremin doğruluğunu göstərir.

Yığılan ardıcıllıqlar üçün aşağıdakı xassələri qeyd edək.

1. Əgər

, n=1,2,...,

və



ödənərsə, onda ardıcıllığı yığılır və .

İ s b a t ı. Tutaq ki, ε>0 qeyd edilmişdir. Elə və var ki,

üçün

,

üçün isə

.

ilə və nömrələrindən ən böyüyünü işarə edək. Onda bütün

-lər üçün

.

Buradan və (n=1,2,...) şərtindən alarıq ki, üçün,

bərabərsizliyi doğrudur. Bu da elə deməkdir.

2.1. Əgər və olarsa, onda elə var ki, üçün bərabərsizliyi doğrudur.

Uyğun olaraq aşağıdakı hökmü də verək: