O p e n ac c e s s r e c e I v e d

 1, it is therefore necessary to have large Lorentz-factors, γ  1, for the
magnitude of the radiation damping force to be appreciable in comparison with the Lorentz force, that is,
to achieve a non-negligible η.
Strong-field laser experiments offer a very clean interaction compared to crystals, but the technical
difficulties of overlapping an electron beam with an ultra short, intense laser pulse, which has an inherent
pulse-to-pulse instability, imply that the exact conditions of the interaction are not as well known. Let us
relate the parameters defined above to those used in the laser community to compare typical experimental
values. Crystalline fields are by nature static and cannot be changed arbitrarily, one can only change the
orientation and the target material. Using lasers, instead of crystals, has the advantage of controlling the
electric field. The electric field strength of a laser is often described by the gauge- and Lorentz invariant
classical non-linearity parameter [
33
,
34
]
a
0
=
eE/(ωm)
≈ 6.0 μm
−1
λ

2I
× 10
−20
W
−1
cm
2
.
(4)
Here, ω = 2π/λ is the characteristic angular frequency of the laser, E denotes its sub-cycle peak electric field
strength, and I = 
0
E
2
(t)

cycle
is the peak intensity. The classical non-linearity parameter indicates the
threshold for which the interaction between a charged particle and the laser becomes non-perturbative
(multi-photon absorption from the laser field becomes non-negligible), which happens for a
0
>
1 [
33
]. For
a head-on collision between an electron and a laser, we can relate χ, known in the laser community as the
quantum non-linearity parameter, and a
0
as
χ =
2ωmγa
0
eE
0
≈ 2.9 × 10
−5
γ

2I
× 10
−20
cm
2
W
−1
,
(5)
where half the contribution is due to the magnetic field (B). For a laser we can write the ratio η in terms of
a
0
and the laser intensity as
η = α
2ωmγ
2
a
0
eE
0
≈ 2.1 × 10
−7
γ
2

2I
× 10
−20
cm
2
W
−1
.
(6)
The initial goal of the upcoming E-320 experiment at SLAC is to operate in the non-perturbative regime
with a
0
≈ 1 and χ ≈ 0.15 with 13 GeV electrons which corresponds to a value η ≈ 29. In this paper, the
crystal experiment has a value of ¯
χ
≈ 0.06 for axially aligned 80 GeV electrons, resulting in a value of
η
≈ 69. By comparing these two experiments, it is evident that the γ
2
scaling on η benefits the crystal
experiments significantly, when studying classical radiation reaction, due to the higher electron energies and
lower fields. Another consideration to take into account when comparing the two strong-field experiments,
is the spacial extension of the fields. If one seeks to measure the energy loss of, for example, an electron, it
generally has to be comparable to the initial energy of the particle. For low values of χ a particle has to
spend a significant amount of time in the strong field to lose a measurable amount of energy. Laser
experiments achieve strong fields by tightly focusing short laser pulses, meaning that the dimension of the
fields are on the micron scale [
35
,
36
]. Crystal fields are on the mm to cm scale and span the entire crystal
length which in principle can be arbitrarily long, but in practice are limited by dechanneling from multiple
Coulomb scattering on crystal nuclei and valence electrons. On the other hand, as already mentioned,
laser-electron interactions are in principle a much cleaner environment for the study of fundamental
processes.
In this paper we summarize an experimental verification of the validity of the LL equation by utilizing
the strong fields of an aligned single crystal experienced by penetrating high-energy electrons and positrons.
The experimental data is compared to simulations based on the LL equation, and for all targets, energies,
and crystal orientations tested a remarkable agreement is found between data and simulations. The positron
data presented here has been published previously [
37
] without addressing the LL equation. The electron
data has also been published, in [
1
], where both the positron and electron data were analyzed with the aim
of testing the LL equation. While the main conclusions are unchanged, the emphasis in the presentation
here is slightly different in view of the expected readership of the special issue. In the experiment 50 GeV
positrons cross silicon single crystals in directions close to (110) planes and 40 GeV and 80 GeV electrons
cross diamond single crystals in directions close to the
100 axis. Under our experimental conditions we
have χ
 0.1, but values as high as χ  7 have been achieved using crystals. With η attaining values roughly
in the range of 10–100, the radiation-reaction force dominates the dynamics of the particles while χ is on
3

---

New J. Phys. 23 (2021) 085001
C F Nielsen et al