O p e n ac c e s s r e c e I v e d

3. Radiation reaction
Radiation reaction is traditionally described by the Lorentz–Abraham–Dirac (LAD) equation in classical
electrodynamics [
2
–
4
]. The LAD equation, however, has unphysical (‘runaway’) solutions with, for
example, the acceleration of the radiating particle increasing exponentially even if no external field is
present. Such features have rendered the LAD equation one of the most controversial equations in physics.
Provided the radiation-reaction force on an electron is much smaller than the Lorentz force in the
instantaneous rest frame of the radiating particle, a ‘reduction of order’ (a perturbation approach) may be
applied with the electron’s four-acceleration in the radiation-reaction four-force replaced by the Lorentz
four-force divided by the electron mass [
30
]. This results in the Landau–Lifshitz (LL) equation [
30
],
m
du
μ
ds
=
eF
μν
u
ν
+
2
3
e
2

e
m
(∂
α
F
μν
)u
α
u
ν
+
e
2
m
2
F
μν
F
να
u
α
+
e
2
m
2
(F
αν
u
ν
)(F
αλ
u
λ
)u
μ

,
(1)
where e < 0 and m denote the electron charge and mass, respectively, F
μν
is the external electromagnetic
field tensor, u
μ
is the four-velocity of the electron, and s its proper time in units with c = 1. See also [
1
,
equation (1)]. The LL equation is free of the physical inconsistencies of the LAD equation, and it has been
shown to feature all the physical solutions of the LAD equation [
31
].
The dynamics of the particles, and the emitted radiation, is sensitive to the magnitude of the strong-field
parameter χ defined as
χ
2
=
(F
μν
u
ν
)
2
/
E
2
0
,
E
0
=
m
2
/
e
,
(2)
where the critical field assumes a value of E
0
 1.32 × 10
16
V cm
−1
[
32
]. For an electron moving in a
constant magnetic field, it is essentially
 times the characteristic frequency for classical synchrotron
radiation divided by the electron energy implying that quantum effects are decisive for χ approaching 1 and
above. For an electron or a positron moving in a field that is purely electric (E) in the laboratory and
essentially transverse to the direction of motion, as in the case of an aligned crystal, χ reduces to γE/E
0
,
where γ is its Lorentz factor (total energy in units of m).
2

---

New J. Phys. 23 (2021) 085001
C F Nielsen et al
The ratio of damping force to external force is given by the classical parameter η expressible as
η = αγ
2
E/E
0
= αγχ
,
(3)
where α = e
2
/
  1/137 is the fine-structure constant. For experimental investigations approaching the
classical regime, i.e. for χ