Mühazirəçi: baş müəllim G. N. Əliyeva Ədəbiyyat

Mövzu21

Çoxdəyişənli funksiya anlayışı və onun həndəsi mənası. Çoxdəyişənli funksiyanın limiti və kəsilməzliyi. Çoxdəyişənli funksiyanın xüsusi törəmələri

1. Çoxdəyişənli funksiya anlayışı və onun həndəsi mənası

2. Çoxdəyişənli funksiyanın limiti və kəsilməzliyi.

3. Çoxdəyişənli funksiyanın xüsusi törəmələri

Həndəsənin bir çox məsələlərində,təbiət hadisələri və s.iki,üç və s.dəyişənlərdən asılı funksiyalardan istifadə etmək lazım gəlir.

Misal1. Üçbucağın sahəsi oturacaq, y-hündürlük 2 dəyışəndən asılıdır.

Misal 2. Sferanın tənliyini ə görə həll edərək alırıq:

Z=;x burada z, x və y-dən aslıdır.

Misal3. Kəsik konusun həcmi 3 dəyişəndən asılıdır.

Misal 4. Silindrin tam səthinin sahəsi 2 dəyişəndən asılıdır.

Tərif 1. Əgər D dəyişmə oblastından götürülmüş bir-birindən asılı olmayan iki x və y dəyişən kəmiyyətinin hər bir (x, y) qiymətlər cütünə z kəmiyyətin müəyyən bir qiyməti uyğun olarsa onda deyirik ki, z kəmiyyəti və sərbəst dəyişənlərinin funksiyasıdır və D oblastında təyin olunmuşdur.

İki dəyişənin funksiyası simvolik olaraq belə işarə olunur:

, və s.

İkidəyişənli funksiya cədvəl vasitəsi ilə və ya analitik şəkildə – düstur vasitəsi ilə verilə bilər. Birdəyişənli funksiyada olduğu kimi, ikidəyişənli funksiya da x və y arqumentlərinin, ümumiyyətlə, bütün qiymətlərində təyin olunmur.

Tərif 2. x və y dəyişənlərinin funksiyasının təyin olunduğu qiymətlər cütünün çoxluğuna bu funksiyanın təyin oblastı və ya varlıq oblastı deyilir.

Funksiyanın təyin oblastı həndəsi olaraq belə təsvir edilə bilər. Əgərxvəy dəyişənlərinin hər bir qiymətlər cütünü OXY müstəvisi üzərində M (x, y) nöqtəsi kimi göstərsək, onda funksiyanın təyin oblastı müstəvi nöqtələlrinin müəyyən bir çoxluğu əmələ gətirər. Həmin bu nöqtələr çoxluğuna funksiyanın təyin oblastı deyəcəyik. Hər hansı oblastı hüdudlandıran xətt həmin oblastın sərhədi adlanır. Oblastın sərhədi üzərində yerləşməyən nöqtələrinə onun daxili nöqtələri deyilir.

İkidəyişənli funksiyanın tərifini üç və daha çox dəyişənin funk­siyası üçün də asanlıqla ümumiləşdirmək olar.

Tərif 3. Əgər dəyişənlərinin baxılan hər bir qiymətlər çoxluğuna y dəyişəninin müəyyən bir qiyməti uyğun olarsa, onda y kəmiyyətinə dəyişənlərinin funksiyası deyilir və , yaxud və s. kimi işarə edilir.

İkidəyişənli funksiyada olduğu kimi, üç, dörd və daha çox dəyi­şənli funksiyaların da təyin oblastından danışmaq olar. Məsələn, üçdəyişənli funksiyanın təyin oblastı ədədlər üçlüyünün müəyyən çoxluğu olur. Qeyd edək ki, ədədlərin hər bir üçlüyü OXYZ fəzasının bir nöqtəsini təyin edir.

İkidəyişənli funksiyanın həndəsi təsviri.OXY müstəvisində yerləşən G oblastında təyin olunmuş

(1)

funksiyasını və OXYZ düzbucaqlı Dekart koordiniat sistemi götürək. G təyin oblastının hər bir (x, y) nöqtəsində OXY müstəvisinə qaldırılmış perpendikulyar üzərində f(x, y) ədədinə bərabər parça ayıraq. Onda biz fəzada koordinatları x, y, olan P nöqtəsini alarıq (şəkil ).

Koordinatları (1) tənliyini ödəyən P nöqtələrinin həndəsi yerinə ikidəyişənli funksiyanın qrafiki deyilir. (1) tənliyi fəzada müəyyən bir səthi təyin edir. Beləliklə, ikidəyişənli funksiyanın qrafiki səthdən ibarətdir, bu səthin OXY müstəvisi üzərindəki proeksiyası funksiyanın G təyin oblastı olur.

Üç və daha çox arqumetli funksiyaların fəzada qrafiklərini əyani təsvir etmək mümkün deyil.

Çoxdəyişənli funksiyanın xüsusi törəmələri

Tutaq ki, ikidəyişənli funksiyası verilmişdir. OXY müstəvisinə paralel olan müstəvisinin səthini kəsdiyi PS xəttinə baxaq (şəkil ). Bu müstəvi üzərində y qiymətini sabit saxladığı üçün, PS xətti boyunca -in dəyişməsi ancaq x-in dəyişməsindən asılı olar. x sərbəst dəyişəninə x artımı versək onda uyğun artım alar. Bu artıma funksiyasının x arqumentinə görə xüsusi artımı deyilir və ilə işarə edilir, belə ki,

. (1)

Analoji olaraq, x-in qiyməti sabit qalmaqla y dəyişərsə, onda z funksiyanın aldığı artıma funksiyanın y arqumentinə görə xüsusi artımı deyilir. Bu artımı simvolu ilə işarə edirlər:

. (2)

Funksiya öz xüsusi artımını səthi ilə OYZ müstəvisinə paralel olan x₌const müstəvisinin kəsişdiyi “xətt boyunca” alır.

Nəhayət, x arqumentinə x artımını, y arqumentinə isə y artımını verməklə z üçün yeni artımını alarıq. Bu artım funksiyanın tam artımı adlanır və

(3)

bərabərliyi ilə təyin olunur.

Ümumiyyətlə, tam artım xüsusi artımların cəminə bərabər deyil, yəni

Misal. 2-dən 2,2-yə qədər , y: - 1-dən 0,9-a qədər qiymət aldıqda

funksiyasının tam artımını tapın.

İstənilən sayda dəyişən kəmiyyətin funksiyasının xüsusi və tam artımları oxşar qayda ilə təyin olunur.

Çox mühüm olan köməkçi bir anlayışı – nöqtənin ətrafı anlayışı verək. Mərkəzi nöqtəsində olan r radiuslu dairənin daxilində yerləşən bütün nöqtələr çoxluğuna nöqtəsinin r radiuslu ətrafı deyilir.

Tərif 1. Əgər ədədi üçün ədədi tapmaq olarsa ki, bərabərsizliyinin ödəndiyi bütün nöqtələri üçün



bərabərsizliyi doğru olsun, onda ədədinə nöqtəsi nöqtəsinə yaxınlaşdıqda funksiyasının limiti deyilir və belə işarə edilir:



Tərif 2. Tutaq ki, nöqtəsi funksiyasının təyin oblastına daxildir. Əgər nöqtəsi istənilən qayda ilə nöqtəsinə yaxınlaşdıqda



olarsa, onda funksiyasına nöqtəsində kəsilməz funksiya deyilir.

Oblastın bütün nöqtələrində kəsilməz funksiyaya həmin oblastda kəsilməz funksiya deyilir.

Tərif. funksiyasının x-ə görə xüsusi artımının Dx artımına nisbətini tərtib edək . Dx sıfra yaxınlaşdıqda bu nisbətin limitinə həmin funksiyanın x-ə nəzərən xüsusi törəməsi deyilir. funksiyanın x-ə nəzərən xüsusi törəməsini

simvollarından biri ilə işarə etmək olar. Beləliklə, tərifə əsasən

Oxşar qayda ilə xüsusi artımının -ə nisbətinin sıfra yaxınlaşdıqda limitinə funksiyasının y-ə nəzərən xüsusi törəməsi deyilir və

simvollarından biri ilə işarə edilir. Beləliklə,

artımını hesablayarkən y-in, -i hesablayarkən isə x-in sabit saxlandığını nəzərə alaraq, xüsusi törəmələrin tərifini belə ver­mək olar:

funksiyasında y-i sabit fərz edərək, x-ə nəzərən hesablanmış törəməyə x-ə nəzərən xüsusi törəmə deyilir. funk­siyasında x-i sabit fərz edərək y-ə nəzərən hesablanmış törəməyə y-ə nəzərən xüsusi törəmə deyilir.

Bu qaydadan aydındır ki, çoxdəyişənli funksiyanın xüsusi törəmələrinin tapılması birdəyişənli funksiyanın törəməsinin tapılması qaydası kimidir, yalnız yadda saxlamaq lazımdır ki, hansı dəyişənə nəzərən törəmə alınır.

Tutaq ki, ikidəyişənli funksiyası verilmişdir. Ümumiy­yətlə desək, və xüsusi törəmələri x və y kəmiyyətlərinin funksiyalarıdır. Ona görə də onlardan yenidən xüsusi törəmələr almaq olar. Deməli, ikidəyişənli funksiyanın ikitərtibli xüsusi törəmələrinin sayı dörddür, çünki və funksiyalarından hər birini həm x və həm də y arqumetlərinə nəzərən diferensiallamaq olar:;; İkitərtibli törəmələri də yenə həm x, həm də y-ə nəzərən diferensiallamaq olar. Onda üçtərtibli xüsusi törəmələr alarıq. Bunların sayı səkkiz olar: İstənilən n tərtibli törəmə tərtibli törəmənin birinci törəməsidir.

Misal 1. funksiyasının xüsusi törəmələrinin tapın.

Həlli.

Misal 2.

Həlli.