H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

Şəkil 4.9. Qeyri-xətti 

)

t

(

y

Q

 və xətti 

)

t

(

y

x

 sistemin çıxışları 

 

Şəkildən  göründüyü  kimi,  giriş  siqnalı 

2

u

s



  işçi  qiymətindən  fərq-

ləndikcə  xəttiləşdirmə  xətası  artır.  Başlanğıc  şərt 

5

.

1

y

0



  qərarlaşmış 

777

.

1

y

s



 qiymətindən bilərəkdən bir qədər fərqli götürülmüşdür. 

 

4.3.2. Vəziyyət modeli formasında olan dinamika 

          

tənliklərinin  xəttiləşdirilməsi. Yakobi matrisi. 

 

Müasir tənzimləmə nəzəriyyəsində dinamika tənliyi tənliklər sistemi (Koşi 

forması) şəklində yazılır: 

.

,

dt

d

f)

u,

g(x,

y

f)

u,

(x,

x



 

                                        (4.12)               

Burada 

т

n

2

1

)

x

,

,

x

,

x

(





x



  vəziyyət  vektoru; 

т

m

2

1

)

u

,

,

u

,

u

(





u



 

idarə  vektoru; 

т

r

2

1

)

f

,

,

f

,

f

(





f

 



  həyəcan  vektoru; 

т

n

2

1

)

,

,

,

(













, 

т

m

2

1

)

g

,

,

g

,

g

(





g

 



  qeyri-xətti  vektor  funksiyalar; 

т

2

1

)

y

,

,

y

,

y

(







y

 



 

obyektin müşahidə olunan çıxışıdır. 

 Bu  halda 

s

s

s

f

,

u

,

x

  tarazlıq  nöqtələrinin  koordinatları 

0



x

  halında 

statika tənliyindən (stasionarlıq şərti) təyin edilir: 

0



f)

u,

(x,



.                                            (4.13)                

Çıxışın 

s

y  işçi qiyməti isə 

)

,

,

(

s

s

s

s

f

u

x

g

y



. 

Tənlik  (4.13)  qeyri-xətti  cəbri  tənliklər  sistemidir.  Dəyişənin  sayını  tən-

liklərin  sayına  bərabər  etmək  məqsədi  ilə  (birqiymətli  həll  almaq  üçün)  artıq 

 

86 

 

qalan  dəyişənlərin  qiymətini  vermək  lazımdır.  Bir  neçə  tarazlıq  nöqtəsi 

mövcud olarsa, onlardan ən effektivlisini seçmək lazımdır. 

Vəziyyətlər fəzasında (4.12) yazılış formasına uyğun gələn xəttiləşdirilmiş 

tənlik: 

.

f

u

x

C

y

,

f

u

x

A

x





























G

D

M

B



                                  (4.14)             

Burada   

s

x

x

x







;  

s

u

u

u







; 

s

f

f

f







; 

s

y

y

y







. 

 



A



















s

x



s

s

s

f

f

u

u

x

x































































n

n

1

n

n

1

1

1

x

x

........

..........

x

x





,   



B



















s

u



s

s

s

f

f

u

u

x

x































































m

n

1

n

m

1

1

1

u

u

........

..........

u

u





,   (4.15) 

 



M



















s

f



s

s

s

f

f

u

u

x

x































































r

n

1

n

r

1

1

1

f

f

........

..........

f

f





,    



C



















s

x

g

s

s

s

f

f

u

u

x

x























































n

n

1

n

n

1

1

1

x

g

x

g

........

..........

x

g

x

g





, 



D



















s

u

g

s

s

s

f

f

u

u

x

x























































m

n

1

n

m

1

1

1

u

g

u

g

........

..........

u

g

u

g





,   



G



















s

f

g

s

s

s

f

f

u

u

x

x























































r

n

1

n

r

1

1

1

f

g

f

g

........

..........

f

g

f

g





. 

(4.15) tipli matrislər Yakobi matrisi və ya Yakobian adlanır.   

İdarəetmə  nəzəriyyəsinin  modellərində  sadəlik  üçün  dəyişənlərin 

qarşısında olan 



 işarəsi nəzərdən atılır. Lakin hesab olunur ki, xətti tənliklər 

əslində xəttiləşdirilmiş tənliklərdir. 

Misal 4.12. Obyektin vəziyyət dəyişənlərində tənliyi 

 

87 

 

   

1

2

1

1

1

u

2

/dt

d









x

x

x

 ,                                        (4.16)           

2

2

2

2

1

2

u

4

2

/dt

d









x

x

x

x

 . 

Tarazlıq nöqtəsinin koordinatlarını aşağıdakı statika tənliyindən tapırıq: 





1

0

u

x

2

x

1

2

1

1









 , 

              





2

0

u

x

4

x

x

2

2

2

2

2

1









 .  

Bu  tənliklər  sistemi  iki  tərtibli  olduğundan 

1

x   və 

2

x   dəyişənlərinin  iki 

kökü mövcuddur.  Bu  səbəbdən baxılan obyektin iki tarazlıq nöqtəsi mövcud-

dur.  

Bu  tənliklər  sistemində 

1

u

s

1



, 

5

.

4

u

s

2



  qəbul  edib  onu  həll  etsək, 

vəziyyət  dəyişənlərinin  tarazlıq  (qərarlaşmış)  qiymətlərini  taparıq  (sıfırdan 

böyük köklər götürülmüşdür): 

1s

х =0.5, 

2s

х =1. 

1

1

1

x

x

u

2

2

1











, 

2

2

2

1

u

x

4

x

x

2

2

2











  olduğunu  nəzərə  alsaq 

taparıq: 





















s

x









































3

2

0

3

x

2

1

x

4

0

x

4

1

s

2

/

1

2

1

1

,  





















s

u









1

  

0

0

   

1

. 

 

Xəttiləşdirilmiş tənlik: 

 

 





























































2

1

Δu

u

  

1

   

0

0

   

1

x

x

  

3

    

2

  

0

      

3

2

1

x

Δ

 .                         (4.17)             

Burada 



















2s

2

1s

1

x

x

x

x









x

Δ

.   

0

x

x

2s

1s









 olduğundan 















2

1

x

x





x

Δ

. 

Yakobi matrisinin MATLAB

da təyin olunması 

 

İfadə (4.14)-dən  göründüyü kimi,  vəziyyət  dəyişənlərində verilmiş (4.12) 

qeyri-xətti tənliklər sisteminin xəttiləşdirilməsinin əsas əməliyyatı A, B, M, C, 

D, G Yakobi matrislərinin təyin olunmasıdır. 

Matlabda uyğun sintaksis:       R=jacobian (F,x). 

 

Bu funksiya verilmiş F = [ f

1

(x), f

2

(x),…, f

n

(x) ]  



 vektor-funksifasından 

x=(x

1

, x

1

,…, x

m

)  



 vektoruna nəzərən törəmə alır. Məlum olduğu kimi, vekto-

run    vektora  görə  törəməsi 

m

n



  ölçülü  matris  verir  ki,  bu  da  Yakobian 

adlanır: 

 

 

88 

 

                           

.

...

...

...

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1





















































































m

n

n

n

m

m

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

d

d

J



















x

F

 

Əgər  qeyri-xətti  diferensial  tənlik 



giriş-çıxış



  (4.9)  şəklində  verilərsə, 

onda   

)

(

F

f

1







F

.  Bu  halda 

1

n



  olduğu  üçün  Yakobi  matrisinin  ölçüsü 

m

1



. Deməli, Yakobian bir sətirdən ibarət olacaqdır. 

Əməliyyatları asanlaşdırmaq üçün dəyişənləri birləşdirərək xəttiləşdirilmiş 

(4.14) tənliyini aşağıdakı şəkildə yazaq:                     

X

x







]

M

B

А

[







,  































f

u

x

X

. 

Burada 

)

n

n

(

A





 ölçülü, 

)

m

n

(

B





 ölçülü, 

)

r

n

(

M





 ölçülü axtarılan 

Yakobi matrisləridir.  

Matlabda realizə vaxtı asılı olmayan dəyişənləri bir sətirdə 

)

fr

,

,

2

f

,

1

f

,

um

,

,

2

u

,

1

u

,

xn

,

,

2

x

,

1

x

(









X

, 

qeyri-xətti funksiyan isə növbəti sətirdə aşağıdakı kimi  

]

;

;

;

[

Fi

n

2

1











, 

daxil etmək olar. 

Tənlik (4.14) şəklində verilərsə,  

)

f

,

1

f

,

,

fr

,

u

,

1

u

,

,

um

,

y

,

1

y

,

,

yn

(

X









, 

)]

(

F

[

F

i





 

daxil etmək olar. Burada 

    

)

n

(

y

yn



,



,

y

1

y





, 

)

m

(

u

um



,



,

u

1

u





, 

)

r

(

f

fr



,



,

f

1

f





. 

Bu  halda  dəyişənlərin  birləşdirilməsi  zamanı  xəttiləşdirilmiş  tənlik  qeyri-

aşkar şəkildə yazılır: 

0





























f

u

y

H

 . 

Axtarılan Yakobi matrisi bir sətirdən ibarət olur: 

]

m

,

,

m

,

m

b

,

,

b

,

b

a

,

,

a

,

a

[

]

m

b

a

[

r

1

0

m

1

0

n

1

0



















H

. 

 

89 

 









































y

  

y

y

)

1

n

(

)

n

(



y

, 









































u

  

u

u

)

1

m

(

)

m

(



u

, 









































f

  

f

f

)

1

r

(

)

r

(



f

 . 

 

Matrislər  A,B,M  və  ya  vektor  a,b,m-i  təyin  etdikdən  sonra  stasionarlıq 

0





f)

u,

(x,

 və ya 

0

)

f

,

u

,

y

(

F



 şərtlərindən tapılmış 

s

s

s