Fizika matematika fakulteti

 
 
 

---

1. Maydon tushunchasi. 
1.1. Maydonlarning ta‟riflari. 
Klassik ta'rif
Bir 
maydon 
bir 
emas 
majmui 
F ikki 
birgalikda 
ikkilik 
operatsiyalar
 to'g'risidagi F chaqirdi qo'shimcha va ayirish . 
[1]
 o'zaro 
bir 
operatsiya F bir xaritalash bo'lgan F × F → F , deb, bir yozishmalar bu elementlarning 
har buyurdi juft bilan Associates F bir noyob belgilangan element F . 
[2] [3]
 Bundan 
tashqari natijasi bir va b yig'indisi deb ataladi bir va b , va ifodalanadi A+ b . Xuddi 
shunday, 
ko'paytirish 
natijasida bir va b mahsuli 
deb 
ataladi bir va b , 
va 
ifodalanadi Evropa Ittifoqi yoki bir 
⋅ b . Bu operatsiyalar deb ataladi quyidagi 
xususiyatlarga, qondirish uchun zarur bo'lgan 
maydon o'zgarish
 (bu o'zgarish, 
ham bir , b , va c o'zboshimchalik bo'lgan 
elementlar
 maydon F ): 

Qo'shish va ko'paytirishning 
assotsiativligi
 : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c va a · 
( b · c ) = ( a · b ) · c . 

Qo'shish va ko'paytirishning 
kommutativligi
 : a + b = b + a va a · b = b · a . 

 
Qo'shimcha
 va 
multiplikativ identifikatsiya
 : F da ikkita turli xil elementlar 
mavjud 0 va 1 , shuning uchun a + 0 = a va a · 1 = a . 

 
Qo'shimcha 
inverses
 : 
har 
bir 
uchun A yilda F , 
bir 
elementi 
mavjud F belgilanadi, - bir , deb nomlangan qo'shimcha teskari bir bir , shunday bir + 
(- a ) = 0 . 

 
Ayirish inverses
 : har bir uchun A ≠ 0 yilda F , bir elementi mavjud F tomonidan 
belgilanadi, bir 
-1
yoki 1 / a chaqirib, ayirish teskari bir bir , shunday bir · bir 
-1
= 1 . 

Ko'paytirishning qo'shimcha ustiga 
taqsimlanishi
 : a · ( b + c ) = ( a · b ) + 
( a · c ) . 
Buni quyidagicha ifodalash mumkin: maydonda ikkita operatsiya mavjud, ular 
qo'shish va ko'paytirish deb nomlanadi; bu qo'shimchali identifikator sifatida 0 bilan 
qo'shilgan 
abeliya guruhi
 ; nolga teng bo'lmagan elementlar ko'paytiriladigan abeliya 
guruhi bo'lib, ko'paytma identifikatori sifatida 1 ga teng; va ko'paytma qo'shimcha 
ustiga taqsimlaydi. 

---

Hatto yanada umumlashtirilishi: dala bir emas 
kommutativ halqa
 qaerda
va 
nolga teng bo'lmagan barcha elementlar teskari. 
Muqobil ta'rif 
Maydonlarni turli xil, ammo ularga teng keladigan usullar bilan aniqlash 
mumkin. Shu bilan bir qatorda maydonni to'rtta ikkilik operatsiya (qo'shish, ayirish, 
ko'paytirish va bo'lish) va ularning zaruriy xususiyatlari bilan belgilash 
mumkin. 
Nolga 
bo'linish
 , 
ta'rifga 
ko'ra, 
chiqarib 
tashlangan. 
[4]
 Ekzistensial 
kvantatorlardan
 qochish uchun maydonlarni ikkita ikkilik operatsiya (qo'shish va 
ko'paytirish), ikkita unary operatsiyalar (mos ravishda qo'shimchalar va multiplikativ 
inversiyalar hosil qiladi) va ikkita 
nollar
 amallar (doimiylar 0 va 1 ) bilan aniqlash 
mumkin. Keyinchalik 
ushbu 
operatsiyalar 
yuqoridagi 
shartlarga 
bo'ysunadi. Ekzistensial 
miqdorlarni 
oldini 
olish 
konstruktiv 
matematikada
 va
hisoblash
 . 
[5]
 Ekvivalent ravishda maydonni bir xil ikkita ikkilik 
operatsiya, bitta unar operatsiya (multiplikativ teskari) va ikkita doimiy 1 va -1 bilan 
belgilash mumkin , chunki 0 = 1 + (-1) va - a = (-1) a . 
Ratsional raqamlar
Ratsional sonlar maydon kontseptsiyasi ishlab chiqilishidan ancha oldin keng 
qo'llanilgan. Ular 
yozilgan 
bo'lishi 
mumkin 
sonlar 
kasrlar 
bir / b , a va b bo'lgan 
natural son
 , va b ≠ 0 . Bunday qismning teskari 
qo'shimchasi - a / b va multiplikativ teskari ( a- 0 bo'lishi sharti bilan ) b / a bo'lsa , 
buni quyidagicha ko'rish mumkin: 
Abstrakt ravishda talab qilinadigan maydon aksiomalari ratsional sonlarning standart 
xususiyatlariga kamayadi. Masalan, tarqatish qonunini quyidagicha isbotlash mumkin: 

---

Haqiqiy va murakkab sonlar 
Asosiy maqolalar: 
Haqiqiy raqam
 va 
Kompleks raqam
 
Real raqamlari