14-ma’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba’zi bir teoremalar. Lopital qoidasi. Teylor va Makloren formulalari

8-Misol. 

►

◄

Teylor formulasi 
Bu formula matematik tahlilning asosiy formulalaridan biri hisoblanadi va u ko„p 

tadbiqlarga ega. U murakkab analitik ifoda bilan berilgan funksiyani tahlil qilishga oson

bo„lgan ko„phad bilan almashtirish imkonini beradi. 


Differensiallanuvchi funksiya uchun Teylor formulasi. 
funksiya nuqtada
marta differensiallanuvchi bo„lsin. Bu, funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan
va bu atrofda 
–tartibli va ungacha bo„lgan barcha tartibli hosilalarga ega va
bundan tashqari bu nuqtaning o„zida tartibli
hosila mavjud degan ma‟noni 

anglatadi.

tartibli 

(8) 

ko„phadni tuzamiz. Ko„rinib turibdiki, bu ko„phad, uning
tartibli va ungacha 
bo„lgan barcha tartibli hosilalari
nuqtada funksiya bilan bir xil qiymat qabul 
qiladi.
(8) ko„phad Teylor ko‘phadi, uning koeffisiyentlari esa Teylor koeffisiyentlari deb 

ataladi.

Teylor ko„phadi 

nuqtaning atrofida funksiyaga taqribiy

yaqinlashishni beradi, ya‟ni 

Bu taqribiy yaqinlashishdagi xatolikni, ya‟ni

ayirmani
orqali 

belgilaymiz. U holda bu tenglik va belgilashlardan

---

---

∑
(9)

Teylor formulasini hosil qilamiz. Bunda

Teylor formulasining qoldiq hadi deb

ataladi.


9-Misol. 
funksiyani maxraji va birinchi hadi bo„lgan cheksiz 
kamayuvchi geometrik progressiyaning yig„indisi sifatida qarash mumkin, ya‟ni

(10)
bunda qoldiq had 

ko„rinishda bo„ladi. 

Endi
funksiyaning Teylor koeffisiyentlarini hisoblaymiz:
va demak, barcha 

̅̅̅̅̅ uchun

bo„ladi. Shunday qilib (11) formula 

funksiyaning Teylor yoyilmasi ekan, ◄

Quyidagi ko„rinishdagi qoldiq hadni 
(11)

Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq had deb ataymiz. (9) va (11) formulalarni birlashtirib
(
bo„lganda) 

∑

(12)

Lagranj shaklidagi qoldiq hadli

tartibli Teylor formulasini hosil qildik.