14-ma’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba’zi bir teoremalar. Lopital qoidasi. Teylor va Makloren formulalari

Aniqmasliklarni ochishning Lopitall qoidasi 
va funksiyalar nuqtaning biror atrofida aniqlangan va
bo„lsin. U holda

nisbat 
nuqtada ma‟noga ega bo„lamydi. Biroq

bu nisbatning 
nuqtada limiti mavjud bo„lishi mumkin.
limitni topish bu 
holda

ko„rinishdagi aniqmaslikni ochish deb ataladi.

va
bo„lganda

limitni topish 

ko„rinishdagi aniqmaslikni ochish degani.

ko„rinishdagi aniqmaslikni ochish deganda

va

shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyalar uchun

ko„rinishdagi

limitni topish tushuniladi. 
holda bu tushunchalar xuddi shu singari izohlanadi. 

5-Teorema (Lopitall qoidasi). 
va funksiyalar nuqtaning biror ̇

o„yiq atrofida

va

hosilalrga ega va bu atrofda va

funksiyalar 

nolga aylanmasin. Agar

va

---

---

va hosilalarning

nisbati 
nuqtada chekli yoki cheksiz limitga ega bo„lsa, u

holda bu funksiaylarning nisbati ham bu nuqtada limitga ega va
(7)

tenglik o„rinli bo„ladi.

(7) tenglik Lopitall qoidasini ifodalaydi. Bu qoidaga ko„ra funksiyalar nisbatning 

limitini (ma‟lum shartlar o„rinli bo„lganda) bu funksiyalar hosilalari nisbatining limiti

bilan almashtirish mumkin. 


2-Misol. Limitni hisoblang:
1-Mulohaza. Agar teoremaning sharti faqat
yoki oraliqda o„rinli 
bo„lsa, (7) formulani

yoki
limitni hisoblashga qo„llash mumkin. 

2-Mulohaza. Agar Lopital teoremasining shartini
va funksiyalargina emas, 
balki ularning

va
hosilalari ham qanoatlantirsa, u holda

limitni 
hisoblash uchun Lopital qoidasini ketm-ket ikiki marta qo„llash mumkin. Agar keyingi
tartibli hosilalar ham teorema shartini qanoatlantirsa ularga ham Lopital qoidasini 
qo„llash mumkin.