14-ma’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba’zi bir teoremalar. Lopital qoidasi. Teylor va Makloren formulalari
Yüklə 84,46 Kb.
|
|
2-Teorema (Roll). Agar
funksiya kesmada uzluksiz, oraliqda differensiallanuvchi va kesmaning chetki nuqtalarida teng qiymatlarni qabul qilsa, u holda oraliqda kamida bitta shunday nuqta topilib, bu nuqta uchun tenglik o„rinli bo„ladi. ► funksiya kesmada uzluksiz bo„lganligi uchun Veyyershtrassning
1.
, ya‟ni funksiya oraliqda o„zgarmas qiymatni qabul qiladi, shuning uchun barcha nuqtalarda bo„ladi. Bu holda sifatida oraliqning ixtiyoriy nuqtasini olish mumkin. 2. Teorema shartiga ko„ra , shuning uchun funksiya va qiymatlardan birini oraliqning ichki nuqtasida qabul qiladi. U holda Ferma teoremasiga ko„ra bu nuqtada tenglik o„rinli bo„ladi. ◄ Xususiy holda bo„lganda quyidagi natija o„rinli. Natija. Differensiallanuvchi funksiyaning ikkita noli oralig„ida uning hosilasining noli yotadi. Roll teoremasi quyidagi geometrik talqinga ega: agar uzluksiz egri chiziq kesmaning chetlarida o„zaro teng ordinatalrga ega va kesmaning barcha ichki nuqtalarida novertikal urinmaga ega bo„lsa, u holda egri chiziqda urinmasi o„qqa parallel bo„lgan kamida bitta nuqta mavjud (3-rasmda oraliqning va nuqtalariga mos keluvchi va nuqtalar). 2-Teoremaning barcha shartlari muhim. Masalan, | | funksiya kesmada uzluksiz, kesmaning chetlarida teng qiymatlarni qabul qiladi, ammo kesmaning ichki nuqtasida differensiallanuvchi emas. Teoremaning ikkinchi sharti bajarilmayapti, shu sababli oraliqda hosila nolga aylanadigan nuqta yo„q. 1-Misol. √ funksiya kesmada uzluksiz, kesmaning chetki nuqtalarida teng qiymatlarni qabul qiladi, √ hosila
oraliqning nuqtasidan boshqa barcha nuqtalarda chekli qiymatni qabul qiladi. Shunday qilib, Roll teoremasining bitta sharti bajarilmayapti, shu sababli teoremani mazkur funksiyaga qo„llab bo„lmaydi (4-rasm). 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 𝑎 𝑐 𝑏
𝑥
𝑀 3-rasm 𝑂 Roll teoremasi yetarlilik xususiyatiga ega, ya‟ni barcha shartlar bajarilgandagina teoremaning tasdig„i o„rinli, ammo hatto bitta sharti bajarilmay qolsa ham qaralayotgan funksiya hosilasining nollari mavjudligi haqida aniq bir tasdiqni aytish mumkin bo„lmay qoladi. 5-rasmda funksiya kesmada uzluksiz, kesmaning chetlarida teng qiymatlarga erishadi, ammo ichki nuqtada differensiallanuvchi emas. Shunga qaramasdan oraliqda bo„ladigan nuqta mavjud (mos nuqtada funksiya grafigiga o„tkazilgan urinma o„qqa parallel). Yüklə 84,46 Kb. Dostları ilə paylaş:
|