U dalaboyev vektor va tenzor

1.3. Yo‘nalish bo‘yicha hosila
Uch o'lchovli fazoning biror 
G
qismida 
u = u(x.y,:) = u(P)
skalyar
maydon berilgan boMsin. Maydonda 
joylashgan biror 
F\(x,v,:)
nuqtani 
olamiz va bu nuqtadan chiqadigan 
!: = {(,,,(y, t ,}
vektorni qaraymiz. 
!
yo‘nalishda 
skalyar 
maydonning 
o‘zgarishini 
aniqlaymiz. 
Buning 
uchun 
!
yo‘nalishda ikkinchi 
P2
O + A
a
-, y + Ay, r + Ar) 
nuqtani
olamiz. 
1\P2
vektor uzunligini Af 
bilan 
belgilayntiz 
(1.5- 
rasni): 
A
C =
1
1\P
21 = 
\J
ax
2
+ Ay2 +Ar2. Maydon funksiyasining ortirmasi
A 
u
= 
u(P2) - u(Px)
= 
m
(.
x
+ Ax,y + Ay,r + Ar) -
u(x,y,:)
=
j 
. 
. 
. 
5// A 
3u A 
3u
. 
n . .
= 
du
+ f,Ax + 
en&y
+ 
s
2A:
= — Av + — Av + — Ar + 
0(M).
cx 
3y ' 
8:
Bu yerda 0(Af) Af ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor, 
va Ar,Ay,Ar -+ 0 da 
£x,£2,s y ^
0 boMadi. 
~ ^ ~ Vo
miqdor 
u(P)
skalyar 
funksiyaning 
1
vektor yo‘nalishidagi o‘rtacha o‘zgarish tezligini beradi.
Ai/ 
8u
Ar 
cu
Ar 
Ar 
Av
A
- = ------ + +-------
+ £.
--- + £, — + f , --- .
Af 
cxM
8: Af
A( 
A(
Af
Bu tenglikda limitga o‘tamiz: Af -»0, 
(P2-*P{):
A 
u du 
3u 
„ 3u
lim — = — cosa + — cosp+— cosy. 
m
-*
o
AC 8
x
 
ci' 
c:
Bu yerda cosa, cos/3, cosy lar 
1]P2
vektorning vo‘naltiruvchi 
kosinuslari. 
P^P2
va 
!
vektor parallel boMganligi uchun ularning 
yo‘naltiruvchi kosinuslari mos tushadi. f = 
t j
+ f 
J
+ 
t,k
boMgani uchun
cosa = - |,c o s /? = -^ .c o sy = -j|.
boMadi.
11
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Ta'rif. Agar 
mavjud b o ‘lsa, bu limitga u{x,y,s) skalyar
maydonning Px{x,y,z) nuqtadagi 
1 vektor yo'nalishidagi hosilasi
deyiladi va u
du
A u cu
— = lim — = — 
dt Ai-to At 3x
3u 
„ 3u
cosor + — cos 
p +
— 
3y 
8z
cos 
y,
formuladan topiladi.
Yo‘nalish bo‘yicha hosilaning xossalari:
l)t/(P) funksiyaning P
nuqtadagi 1
vektor yo‘nalishi bo‘yicha
o'zgarish tezligi ~ ^ p -  ga teng.
2) 
u{P)
maydon
P
nuqtada C
yo'nalish bo'yicha o'sishi uchun
31
3) 
u(P)
maydon 
8u(P)
8C
-50.
P
nuqtada 
£
yo'nalish bo'yicha kamayishi uchun
Haqiqatan ham, 1) A
u(Px)
miqdor 
u(P)
funksiyaning 
P{P2
kesmadagi
o'zgarishidir. — miqdor 
u(P)
skalyar funksiyaning 
1
vektor 
A C
^ 
*
yo‘nalishidagi o‘rtacha o'zgarish tezligini aniqlaydi. 
= lim 
esa,
u(P)
skalyar funksiyaning 
C
vektor yo'nalishidagi o‘zgarish tezligini 
beradi.
2) 
1
yo'nalishda 
u(P)
o'suvchi »
3) bu xossa ham 2) xossa kabi tekshiriladi.
Agar 
1
yo‘nalish koordinatalar o‘qining yo‘nalishlaridan biri bilan 
bir xil bo‘lsa, u holda bu yo‘nalish bo‘yicha hosila tegishli xususiy 
hosilaga teng, shuning uchun, masalan, 
£ 
Ox
o ‘qi bilan mos tushsa
cosar = 1, cos/? = 0, cosy = 0 va — = — boMadi.
8C 8x
12
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Yo‘nalish bo'yicha hosila tushunchasini biror egri chiziq yo'nalishi 
bo'yicha umumlashtirish ham mumkin. Bu holda yo‘naltiruvchi kosi- 
nuslar sifatida egri chiziqqa urinma vektori yo'nalishining yo‘naltiruvchi 
kosinuslari olinadi.
1- 
misol. 
u = xyz funksiyaning 
M{-
1
,
2
,4) nuqtada, shu nuqtadan
a
/, (-3,4,5) nuqtaga tomon yo'nalishdagi hosilasini toping.
[> 
MMX
vektomi topamiz.
MMX 
= (-3 + 1)/ 
+ 
(4 - 2)7
+
(5 
-
4
)k = -2 1
+2
] + k  
va unga mos birlik
vektomi topamiz:
- 
MMt 
-2i + 2 j + k
tifM] y ji- lf +2r +
1J
2-
- 1
+
3
Shunday qilib, 
C0
vektor quyidagi yo‘naltiruvchi kosinuslarga ega
2
 
n 
2
1
cosa = — . cos p = —, cos r = —
3 
3 
3
Endi 
u = xyz
funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz:
8u 
8u 
ou
— = v r,—
= xz,
— 
= xy
8x 
8y 
8=
va ulami A/(-l,2,4) nuqtada hisoblaymiz
^ = 8. L 2 ] _ 4 . 2 _ 2 . I = 1 (_8_ 4_ 1) = _26 
8C
v 3 /
3 
3 3 v 
3
«-» ishora berilgan yo‘nalishda 
u 
= xyz 
funksiyaning kamayishini 
ko'rsatadi.-^
2-misol. u = x:2 + 2yz funksiyaning M0(l,0,2) nuqtadagi
jc
= 1 +
c o s
< 
y = s i n / - l ■
: = 2
aylana bo'ylab olingan yo‘nalish bo‘yicha 
hosilasini toping.
D> Aylananing vektor tenglamasi 
ko‘rinishi
r(t) = xi + y j + :k
= (l + cos/)i + (sin f-l)y ' 
+ 2k
Ixtiyoriy 
M
nuqtadagi f umnma vektorini 
topamiz (1.6- rasm)
- dF 
. 
-
r = — =-sinf i +cosf• j
dt 
J
berilgan 
Mo(l,0,2)
nuqta 
xOz
tekisligida birinchi oktantada 
joylashganligi uchun 
t=n/2.
Bu nuqtada f ning qiymati
13
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

n
?
n
~
r 
=-sin —•/ +cos— / = -/
I.W
o 
2 
2
Bundan 
ko‘rinib 
turibdiki 
yo‘naltiruvchi 
kosinuslar 
cosor = - l , cos/? = 0, cosy=0 
ga teng. Berilgan 
M({ \fi,2 )
nuqtada 
xususiy hosilalami topamiz
du
cx
du
dz
.21 
_ 4 
Su
iM
o 
’ 
fiy
=
2
- ' L = 4 >
= f2jr- + 2 
v )L = 4
Demak
c«
8u
8t
= 4-(-l) + 4 0 + 4-0 = -4 ◄
3- 
misol.
Ushbu 
u = Jx* +
y2 ska- 
lyar maydonning M,(l,l)nuqtadagi y = jr2 
egri chiziq bo‘yicha ;W,(l,l) nuqtadan A/2(2,4) nuqtaga yo‘nalgan 
hosilasini toping (1 .7 - rasm).
t
>y
= 
x'
parabolaga o'tkazilgan birlik urinma f° vektomi topamiz. 
Urinmaning burchak koeffitsiyentini topamiz.
v’ = 2
jt
, 
k = 2x\^=2.
Urinma to‘g‘ri chiziq A/,(l,l) nuqtadan o ‘tadi va uning burchak 
koeffitsiyenti 
k=2
ga teng. Demak, 
v-1 =2(
jc
- 1). Bu to‘g‘i chiziq
x —\ 
v —
 1
tenglamasini kanonik ko‘rinishda yozamiz: 
f(i,2) vektor
urinmaning yo‘naltiruvchi vektoridir va uning yo‘nalishi A/,(l,l) nuq- 
tadan A/,(2,4) nuqtaga qarab yo‘nalgandir. U holda f" = -^=+-JLj birlik
vektorboMadi. Demak, yo‘naltiruvchi kosinuslar cos
a = -j=, cos/3 =
Endi xususiy hosilalami topamiz 
— = ■, 
x
™-, — = , + . .
& 
4 7 7 7 &
V r + y
Demak, yo‘nalish bo‘yicha hosila
OM _ 
Jt 
1 ^ 
2 _ 3VI0
ko‘rinishda bo‘ladi. ◄
14
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

1.4. Skalyar maydon gradienti
u = u(x,y,z)
skalyar tnaydon berilgan boMsin.
Ta'rif. Skalyar maydonning beril-
’ t
gan M nuqtadagi gradienti deb,
gradw
I 
y 
simvol orqali belgilanadigan va quyi-
dagi tenglikdan aniqlanadigan vektorga
aytiladi.
, 
du- du - 8 u
.- 
/I i\
gradu = — t +— j + — k .
(1.1)
cx 
cy 
cz
Sath sirtda 
M
nuqtadan o‘tuvchi 
ixtiyoriy biror 
L
chiziq joylashgan bo'lib 
uning 
parametrik 
tenglamasi 
r(t) = x(tji
+ 
y(t)j
+ 
z(t)k
ko‘rinishda 
bo'lsin. Radius vektor differensiali 
dr(t) = ?(t
+ 
dt)-r(t) L
chiziq bo'ylab cheksiz kichik siljishni aniqlaydi. 
Sathsirtda 
du =
0 boMganligidan
8u , 
du , 
8u , 
.
. 
.
— dx
+ 
— dy
+ 
— dz =
(grad«,dr) = 0. 
cx 
8y 
8z
Bundan grad« 1 
dF
kelib chiqadi. 
L
chiziqning ixtiyoriyligidan 
M
nuqta- 
dagi gradient sath sirtga ortogonal ekanligi kelib chiqadi (1.8 - rasm).
Yo‘nalish bo‘yicha hosila bilan gradient orasidagi bogManish. 
Yo‘nalish bo‘yicha hosilani gradt/ orqali quyidagicha yozishimiz mumkin
=
( grad 
u,
?') = jgrad «| cos 

(
1
.
2
)
bunda f" vektor f yo'nalishidagi birlik vektor boMib u quytdagiga teng
f 
-
f" =7^77 = / coscr + 
j cosp + k
cos
y
I 
(\

gradu va f° vektor orasidagi burchak (1.9 - rasm). Dernak, biror nuq- 
tada olingan yo‘natish bo‘yicha hosila gradientning shu yo‘nalishdagi 
proyeksiyasiga teng ekan.
Agar grad« = 0 boMsa ^ - = 0 boMadi. Agar grad«#0 boMsa. gradient
yo‘nalishi bilan mos kelmagan barcha vektorlar uchun 
^<\gradu\
ekanligi kelib chiqadi.
15
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

M (xa,
;-0,r0) nuqtadagi urinma tekislik tenglamasi gradu va 
r - r 0 = (x-x„)7+ ( y - y n)] 
+ 
( z - : n)ic
vektorlaming perpendikulyarligidan 
kelib chiqadi:
(gradu,F-Fo) = 0,
yoki
, 
. 8
u
du
( x - x n) + —
• ( y - ; '0) + —
r0 
oy
y*
&
Gradientning xossalari:
1) 
u(
A/)‘ skalyar maydon biror A/0 nuq- 
tada eng tez o‘sadigan yo‘nalishi gradu(M0) 
yo'nalishi bilan mos keladi va u |gradufA/0)|
ga teng.
2) 
u(M)
skalyar maydon biror 
M0
nuqtada eng tez kamayadigan 
yo‘nalishi grad«(A/0) yo‘nalishiga teskari yo‘nalish bilan mos keladi va 
bu kamayish tezligi |gradw(A/0)| ga teng.
3) grad«(A/0) 
u(M )
maydonning A/0 nuqtasidan o'tadigan sath sirtga 
o'tkazilgan normal bo'ylab yo‘nalgan.
Bu xossalami tekshiramiz.
1 . Agar cosp = l bo‘lsa, (1.2) formuladan 
ning qiymati
8(
|grad«(A/0)| ga tengligi kelib chiqadi. Ya'ni grad«(A/0) va 
1
vektor ora- 
sidagi burchak nolga teng.
2. - H^ ° - ning eng kichik qiymatiga cosp = - l bo'lganda erishadi.
Ya’ni 

boMadi va grad«(A/0) bilan 
1
vektor parallel boMib qarama - 
qarshi yo‘nalgan boMadi.
3. Biz yuqorida bu xossani isbot qildik.
1 - 3 xossalar gradientning invariantlik (koordinatalar sistemasiga 
bogMiq boMmagan) ta'rifini beradi. Ya’ni koordinatalar sistemasining 
qanday boMishidan qatiy nazar, gradient skalyar maydonning eng tez
o‘sadigan yo'nalishini vamiqdorini aniqlaydi: |gradw| = m a x ^ |jj.
Shuni aytib o‘tish kerakki gradient vektor funksiya boMib u faqat 
skalyar funksiyadan olinadi.
16
www.ziyouz.com kutubxonasi

---