U dalaboyev vektor va tenzor

1.2. Maydonlarning sath, sirt va chiziqlari.
Biz doimo 
u = it(x,y,:)
funksiyani bir qiymatli va uchala erkli 
o‘zgaruvchi bo‘yicha uzluksiz hosilalarga ega deb faraz qilamiz. Agar 
bu hosilalar bir paytda nolga aylanmasa
u(x,y,z) = C,
(C = const)
tengiama biror (maxsus nuqtalari boMmagan) sirtni aniqlaydi.
Ta'rif. Maydon skalyari bir xil qiymatlarga erishadigan maydon
nuqtalari to ‘plamiga shu maydonning sath sirtlari (yoki ekvipotentsial
sirtlar) deyiladi.
u = tt(x,y,z)
funksiya bir qiymatli boMganligi uchun har xil C larga 
mos kelgan sath chiziqlari o ‘zaro kesishmaydi.
Sath sirti
deb ataluvchi bu sirt nuqtalarida 
u
o‘zgarmas qiymatni 
saqlaydi.
Fizik nuqtau nazardan maydonning sath sirtlari maydonning fizik 
hodisa bir xil sodir boMadigan nuqtalarining geometrik o'rnini bildiradi.
Xususan, yassi skalyar maydon qaralayotgan boMsa, «sath sirtlari» 
deyish o‘rniga «sath chiziqlari» degan ibora ishlatiladi. Masalan, 
sinoptik kartalarda belgilanadigan izobaralar (teng bosim chiziqlari) va
8
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

izotermalar (teng temperatura chiziqlari) mos ravishda bosimlar 
maydonni va temperaturalar maydoninig sath chiziqlarini lfodalaydi.
l-misol. t/ = x! +
v' + 2v yassi skalyar maydonning sath chiziqlarini 
toping.
t> Maydonning sath chiziqlarini 
x! +y! + 2y=c
tenglama orqali 
it'odalanadi. Chap tomondan to‘liq kvadrat ajratib *!+0'+1)2=C+
i
tenglamaga kelamiz. Demak, sath chiziqlar 0 - 1 shartlar uchun 
markazi (0,-1) nuqtada joylashgan konsentristik aylanalar oilasidan 
iborat boMadi (1.1-rasm). ^
2-misol.
u
= arcsm
V*2+
j
;2
skalyar maydonning sath sirtlarini 
toping.
[> Berilgan skalyar 
maydonning aniqlanish sohasi
I
< 1 tengsizlikdan
Jx
1
 + y
1
aniqlanadi. Bundan,
0 < 
: 2 < x 1 + y 2.
Demak, berilgan 
skalyar maydon
G
= 
{(x,y,z)
* 0
:x2 + y2> :2}
sohada aniqlangan. Sath sirt ta’rifiga ko‘ra
| C | s | j => (x2 + 
y 2
)sin2
C - : 2 =0.
Shunday qilib, maydonning sath 
sirtlari uchlari koordinatalar boshida 
boMgan, 
x2 + 
y 2 
= 
: 2
sirt va undan tash- 
qaridagi konus sirtlardan, 
z
=0 tekis- 
likdan iborat (0(0,0,0) nuqta kirmaydi) 
(1.2- rasm).-^
3
-misol.
Skalyar maydonning sath 
sirt tenglamasini toping.
u = eim
bunda 
a -
o‘zgarmas vektor, 
7 -
nuqtaning radius vektori 
t> Bunda
9
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

r = { x , y ,z } = x7 + )jj + :k
« = {tfp 
a„ a,} = a,7 + a j + a,k
ga teng. Ulaming skalyar ko'paytmasi esa
(a,r) =
a, 
x + a2v
+ 
a}:
Demak, sath sirt tenglamasi quyidagidek boMadi: 
e(aj) = C ,
C > 0
Bundan (5,r) = lnC 
yoki 
atx
+ 
a,y
+ a,r = ln
C
ni olamiz. Bu
parallel tekisliklar oilasini beradi.^
A-misol: u = x~ -
>2 skalyar maydonning sath chizigMarini toping.
O 
x2 - y 1 = C , 
C = consl
AgarC=0 boMsa,
y = 
x , 
v = - x
ni olarniz.
Agar C * 0 boMsa, giperbolaga o'xshab ketadi (1.3 - rasm ).
1.3 - rasnt
1.4 - rasm
1.4 - rasmda 
u = x2- y 2
funksiya sirtidagi sath chiziqlar keltirilgan. 
1.3 - rasm 1.4 - rasmning sath chiziqlari 
xoy
tekislikdagi proeksiyasidir. 
◄
10
www.ziyouz.com kutubxonasi

---