T. C. Gazi ÜNİversitesi fen-edebiyat faküLtesi matematik böLÜMÜ
Şekil 5.4 Hiperbolik Futbol Topu
Yüklə 1,79 Mb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Şekil 5.5 4 cm. Yarıçaplı Hiperbolik Düzlem
- PROBLEM 5.1 HİPERBOLİK DÜZLEMDE DÜZ NEDİR a.
- PROBLEM 5.2 HALKALI HİPERBOLİK DÜZLEMDE KOORDİNAT SİSTEMİ
- Şekil 5.8 Halkalı Hipebolik Düzlem Üzerinde Geodezik Dikdörtgen Koordinatlar
- PROBLEM 5.3 YALANCI KÜRE HİPERBOLİKTİR.
- İÇE AİT / DIŞA AİT/LOKAL / GLOBAL
- PROBLEM 5.4 YÜZEYLERDE ROTASYONLAR VE YANSIMALAR
- Şekil 5.11 İki Yansımanın Bileşimi Bir Dönmedir
|
Şekil 5.4 Hiperbolik Futbol Topu
Dikkat ederseniz hiperbolik düzlem oluşumu ρ ya ( halkanın yarıçapı) bağlıdır, biz ρ’ya hiperbolik düzlemin yarıçapı diyeceğiz. Kürelerde olduğu gibi, ρ’ye bağlı farklı hiperbolik düzlemler oluşturabiliriz. Şekil 5.5-5.7’de yarıçapları yaklaşık 4cm, 8cm, 16cm olan örgü hiperbolik düzlemler vardır. Bütün resimler aynı yönden çekildi ve ölçüleri göstermek için cm’lik cetveller vardır.
Şekil 5.5 4 cm. Yarıçaplı Hiperbolik Düzlem
Şekil 5.6 8 cm. Yarıçaplı Hiperbolik Düzlem
Şekil 5.7 16 cm. Yarıçaplı Hiperbolik Düzlem
Fark ederseniz, ρ arttıkça, hiperbolik düzlem düzleşmeye başlamaktadır ( daha az eğriliğe sahip). Küre ve hiperbolik düzlemde ρ sonsuza giderse, küre ve hiperbolik düzlem düzgün (öklidyen) düzlemden farksız hale gelir. Böylece düzlem sonsuz yarıçapı olan bir küre ( hiperbolik düzlem) olarak adlandırılır. Bölüm 7 de, Gaus’un Eğriliğini tanımlayacağız ve kürede 1/ ρ 2 ve hiperbolik düzlemde -1/ ρ 2
olduğunu göstereceğiz. PROBLEM 5.1 HİPERBOLİK DÜZLEMDE DÜZ NEDİR? a. Hiperbolik düzlemde, her halkalı şeritten ışınsal olarak geçen eğriler düşününüz. Bunların içe ait olarak düz olduğunu farz ediniz. Ayrıca, herhangi ikisinin asimptotik olduğunu gösteriniz başka bir deyişle birbirlerine yaklaştıklarını ama kesişmediklerini gösteriniz. Her halkalı şeridin lokal içe ait simetrilere bakınız sonra tüm hiperbolik düzlemdeki global simetrilere bakınız. Simetrilerin neden limit δ→0 da olduğunu ispatladığınıza emin olunuz. Bu Şekilde birbirine yaklaşan iki geodezik asimptotik geodeziktir diyebiliriz. Düzlem üzerinde asimptotik olan geodezik (düz doğrular) yoktur.
İşaret parmaklarınız ve başparmaklarınız arasında iki nokta belirlemeye çalışınız. Yansıma simetrisi ile geodezik parçası iki nokta arasında görülmeli. Eğer yüzeyiniz yeterince sağlam ise geodezik üzerinde katlayınız. Ayrıca, şeritler kullanarak geodeziği test edebilirsiniz. c. Hiperbolik düzlemdeki geodezik için hangi özellikleri buldunuz? Küre ve düzlem üzerindeki geodeziklerle nasıl benzerlikleri ve farklılıkları var? Kesişme, eşsizlik, simetriyi içeren geodezik özelliklerini düşününüz. Modellerinizi kullanarak düşüncelerinizi olabildiğince ispatlayınız.- bazı ispatların tam olması için Bölüm 17 e kadar beklemek zorundasınız. PROBLEM 5.2 HALKALI HİPERBOLİK DÜZLEMDE KOORDİNAT SİSTEMİ Öncelikle, halkalı hiperbolik düzlemde koordinat sistemini tanımlayacağız bu bize bölüm 17 de yardımcı olacaktır. ρ halkanın iç yarıçapı olsun ve H δ da, yarıçapı ρ ile kalınlığı δ olan halkadan oluşan halkalı hiperbolik düzlemin tahmini yakınlığı olsun H δ
üzerindeki halkanın içteki eğrisi taban eğrisidir ve bu eğri üzerinde orijin O olmak üzere pozitif yönde herhangi bir nokta alınız. Şimdi, bir (içe ait) koordinat sistemi oluşturabiliriz. x δ : R 2 → H
δ alırız ve x δ (0,0) = 0, x δ (w,0) taban eğrisi üzerinde O dan w kadar uzaklıkta noktadır ve x δ (w,s), x δ (w,0) dan s kadar uzaklıkta x δ (w,0) boyunca olan çapsal geodezik üzerinde olan noktadır, pozitif yön dıştan içe doğru seçilmiştir. Böyle koordinatlara geodezik dikdörtgen koordinat denir. Bakınız Şekil 5.8.
Şekil 5.8 Halkalı Hipebolik Düzlem Üzerinde Geodezik Dikdörtgen Koordinatlar
2 nin tamamından halkalı hiperbolik düzlemlere 1-1 ve örten olduğunu gösteriniz. Halkalı şeritlerin ve geodeziklerin haritası nasıl olur? b.λ ve µ, a’da bahsedilen çapsal geodeziklerin ikisi olsun. Taban eğrisi üzerindeki λ ve µ arasındaki uzaklık w ise,bu uzaklığın kâğıt hiperbolik model üzerinde taban eğrisinden s=n δ uzaklığında olduğunu gösteriniz. w(ρ/ ρ+δ) n = w(ρ/ ρ+δ) s/δ
Şimdi, δ→0 iken limit alınız ve λ ve µ arasındaki uzaklığın wexp(-s/ ρ) olduğunu gösteriniz. Böylece, koordinat grafiği x, (dikey) ikinci koordinat eğrisi boyunca uzaklığı korur ama x(a,b)noktasında birinci koordinat eğrisindeki uzaklıklar boyunca exp(-b/ ρ)nin etkisi ile korumayabilir. (R 2
PROBLEM 5.3 YALANCI KÜRE HİPERBOLİKTİR. Lokal olarak halkalı hiperbolik düzlem, z nin sürekli türevleşebilen fonksiyon grafiğinin z ekseni etrafında döndürülmesi ile tanımlanan (düzgün) yüzey kısımlarına izometriktir. Bu yüzeye yalancı küre denir.
İSPAT TASLAĞI 1. Halkalı hiperbolik düzlemdeki her nokta diğer noktalara benzemektedir( halkalı oluşumu düşününüz, halkalı şeridin genişliği δ 0’ a giderken noktanın ebadı değişmez.). 2. Halkalı şeritlerden biri ile başlayınız, onu düzlemde tam bir halkaya tamamlayınız. Sonra dönüş yüzeyini bu halkanın kenarının iç kısmını diğer halkalı şeritlerle birleştirerek oluşturunuz. Halkalı hiperbolik düzlem oluşumunda tanımlanmıştır. (Bakınız Şekil 5.9). İkinci ve sonraki halkalılar kesik koni oluşturacaktır. Sonuç olarak, δ 0’ a giderken halkalı şeritlerin genişliklerini hayal ediniz. 3.Şekil 5.9 daki geometriyi kullanarak yüzey üzerindeki nokta koordinatları için differensiyel bir denklem oluşturunuz. Eğer, f(r) (z koordinatı) z ekseninden r uzaklıktaki yüzeyin yüksekliği ise, differensiyel denklem aşağıdaki gibidir. (ρ sabit) dr / dz = -r/ (ρ 2
2 )
neden?
Şekil 5.9 Yalancı Küre 4.(tablo ve bilgisayar cebir sistemini kullanarak) r’nin bir fonksiyonu olan z= f(r) fonksiyonu için differensiyel denklemi çözünüz. Dikkat ederseniz, r’yi z ‘nin fonksiyonu olarak elde etmiyorsunuz. Bu eğriye tractrix denir. 5.Sonra (1.dönem yüksek matematikteki teoremleri kullanarak) r’nin z’nin sürekli türevleşebilir bir fonksiyonu olduğunu gösteriniz. Ayrıca yalancı küre örebiliriz. 5 veya 6 zincirle başlarız sonra spiral modelle devam ederiz hiperbolik düzlem oluşana kadar öreriz. Şekil 5.10’a bakınız. Dikkat ederseniz örgünün alt kısmı tam halka oluşturmaktadır, yüzeylerde dalgalar oluşmakta sonra dönme yüzeyi yok olur.
Şekil 5.10 Dalgalı Örgü Yalancı Küre “Yalancı küre”terimi Hermann Van Helmhaltz (1821- 1894, Alman) tarafından oluşturuldu. Helmhaltz küresel uzay ile yalancı küresel uzayı karşılaştırmıştı. Ancak Helmhaltz,bu geometri ile bir yüzey bulamamıştır. Uvgenio Beltrami (1835- 1900, İtalyan) yalancı küre dediği bir yüzey oluşturdu ve bu yüzeyin geometrisini lokal olarak Lobatchevsky’in oluşturduğu hiperbolik geometriyle aynı olduğunu gösterdi. (Tarihi açıklama için bak. [HI. Katz] sayfa 781–783) Matematikçiler tamam hiperbolik düzlem olabilecek yüzeyler için daha fazla araştırdılar. (o günlerde yüzey “gerçek analitik yüzey” demekti.) Hilbert böyle bir yüzeyin olmayacağını bulduktan sonra çalışmalar durduruldu. ( onun teoremini bu bölümün birinci kısmının sonunda hiperbolik geometrinin kısa tarihinde anlattık.) İÇE AİT / DIŞA AİT/LOKAL / GLOBAL Düzlem ve kürelerde, rotasyonlar ve yansımalar hem içe ait hem de dışa ait olabiliyordu. İçe ait olur çünkü böcek tarafından iki boyutlu rotasyon ve yansıma görülebilir. Bu içe ait dönme ve yansımalar dışa da aittir, çünkü 3 boyutlu uzayda izometri olarak görünebilirler. (örneğin, kürenin büyük daire’ye göre yansıması, 3 boyutlu uzayın büyük direyi içeren düzleme göre yansıması olarak görülebilir.) Böylece rotasyonlar ve yansımaları düzlem ve küre üzerine görmek kolaydır. Ayrıca küre ve düzlem üzerindeki bütün rotasyon ve yansımalar globaldir, çünkü bunlar, düzlemin ve kürenin tamamını kendilerine götürür. (örneğin; bir küre üzerindeki herhangi bir nokta etrafındaki bir içe ait rotasyon her zaman tüm kürenin bir rotasyondur).Silindir ve konilerde içe ait rotasyonlar ve yansımalar lokal olarak oluşur çünkü silindirler ve koniler lokal olarak düzleme izometriktir. Ancak, koni ve silindirlerde bazı içe ait rotasyonlar dışa ait ve globalde olabilir; örneğin tepe açısı <360 0 olan dairesel koninin tepe noktası etrafındaki rotasyonlar veya silindir üzerindeki her hangi bir nokta etrafındaki yarım dönüş. Tepe açısı >360 0 olan dairesel koninin tepe noktası etrafındaki rotasyonlar-koniler küresel ama dışa ait değildir. Geodezik boyunca katı (rigid) hareket simetrileri silindirlerde global ve dışa ait ama konilerde değildir.(nedenini anladınız mı?) yansımalar genelde ne dışa ait ne de globaldirler.(silindir ve konilerdeki istisnaları anladınız mı?).
Şekil 5.11 İki Yansımanın Bileşimi Bir Dönmedir A,m üzerinde ve B de l üzerinde nokta olsun ve Q m ve l üzerinde olmayan her hangi bir nokta olsun. A,B ve Q nun R
tarafından nereye gönderildiğini bulunuz ve sonra da R m R l tarafından nereye gönderildiklerini bulunuz. Bakınız Şekil 5.11. P dışındaki bütün noktalar neden aynı açı ile aynı yönde dönüyorlar. Bölüm 11 de simetri ve izometri hakkında daha detaylı çalışacağız. Bu bölümde her izometrinin (düzlem,küre ve hiperbolik düzlemlerde) bir, iki veya üç yansımanın bileşimi olduğunu göstereceğiz. a.Problem 3.2 nin (VAT) silindir, koni (tepe noktalarını içeren) ve hiperbolik düzlemler için uygun olduğunu gösteriniz. 3.2 ispatınızı kontrol etmek isterseniz, ispatlarınızı simetrileri içerecek şekilde değiştiriniz, böylece bu ispatların diğer yüzeyler içinde sağlandığını göreceksiniz.
P noktasında olmayan bir noktaya rotasyon ne yapar? c.Popüler lise kitapları rotasyonu iki yansımanın bileşimi olarak tanımlar. Bu iyi bir tanım mı? Neden ya da neden değil?
Yüklə 1,79 Mb. Dostları ilə paylaş:
|