T. C. Gazi ÜNİversitesi fen-edebiyat faküLtesi matematik böLÜMÜ



Yüklə 1,79 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə4/5
tarix28.01.2017
ölçüsü1,79 Mb.
#6582
1   2   3   4   5

!

 Daha fazla okumadan önce silindir ve koni üzerinde bulunan geodeziklerin nasıl göründüğünü 

anlamak için kağıt modellerle deney yapınız. 

SİLİNDİRDE GEODEZİKLER 

Öncelikle silindir üzerindeki 3 düz doğru sınıfına bakalım. Silindir yüzeyinde yürürken böcek 

dikey ana doğru boyunca yürüyebilir. Bakınız şekil4.5 

 

 



 

 

 



 

 

Şekil 4.5 Dikey Ana Doğrular Düzdür 

Böcek,yüzeyin yatay düzlemle kesişiminde yürüyebilir. Bunları büyük daireler olarak 

adlandırıyoruz.. Bakınız şekil 4.6 

       


 

 

 



 

Şekil 4.6   Büyük Daireler İçe Ait Olarak Düzdür 

Veya böcek silindir etrafında sabit bir eğimle heliks ya da sarmal yaparak yürüyebilir. Bakınız 

şekil 4.7 

 

   



 

 

 



 

 

Şekil 4.7    Helisler İçe Ait Olarak Düzdür 

 

 



Bunlar neden geodezik? Bunu kendinize nasıl ispatlayabilirsiniz? Neden sadece bunlar geodezik? 

KONİLERDE GOEDEZİKLER 

Şimdi de konilerdeki düz doğru sınıflarına bakalım. 



Ana doğru boyunca yürüme: Koni üzerindeki düz patikalara baktığınız zaman tepe noktasındaki 

düzlüğü düşünmek zorunda kalırsınız. Böcek tepe noktasına ulaştığı zaman ilk bakışta düz olarak yola 

devam edemeyeceğini düşünebilirsiniz ve böylece düz yol tepe noktasında bitecektir. Veya böceğin 

düz doğrunun en az bir simetrisi kadar yola devam edeceğini bulabilirsiniz. Sizce bu yol hangisi? Ya 

da düz yolun tepe noktası ile sınırlanmış geodezikler kadar olduğunu düşünebilirsiniz. Bakınız  şekil 

4.8 


 

 

 



                          

 

 

 

 

                         Şekil 4.8 Tepe noktasında yürüyen böcek 

Düz ve etrafında yürüme: 90

lik koni üzerinde şerit kullanırsanız,  şekil 4.9 daki gibi bir 



geodezik görürsünüz. Bu geodezik parçası kendisi ile kesişmektedir.Ancak bu özelliğin tepe açısına 

bağlı olduğunu kontrol ediniz. Tepe açısı 180

den büyük olsaydı geodezik kendisi ile 



kesişmeyecekti.Açı 90

den küçük olsaydı geodezikler ( ana doğrular dışındaki) en az iki kez 



kesişecekti. Deneyiniz. Problem 4.2 de geodeziklerin tepe açısına bağlı olarak kendisi ile kesişme 

sayısının ne olduğuna kara vermenizde ile yardımcı olacak aracı tarif edeceğiz. 

 

                        Şekil 4.9   90



lik konide Geodezik Kendisi İle Kesişir

 

     *



PROBLEM 4.2 GEODEZİKLERİN EVRENSEL(GENEL) ÖZELLİKLERİ 

Şimdi, silindir veya koni etrafında bulunan uzun geodeziklere daha yakından bakacağız. Sorular 

şunlar: 

a.

 

İki noktada birleşen farklı geodezikleri nasıl bulacağız? Kaç taneler? Tepe açısına nasıl 

bağlıdır? Her zaman iki noktayı birleştiren bir geodezik var mıdır? Düşüncelerimizi nasıl 

kanıtlayacağız? 



b.Silindir veya koni üzerindeki bir geodezik kaç kez kendisi ile kesişir? Bu sayı tepe açısına 

bağlı mıdır? Hangi açı geodeziği kendisi ile kesiştirir? Bu bağlantıyı nasıl kanıtlarız? 



ÖNERİLER 

       Burada  soruları incelerken yardımcı olabilecek uzay örtüsünün araçlarını tavsiye ederiz.Örtü  

metodunun bu isimle anılmasının sebebi her birinin yüzeyi kaplayan katmanları kullanmasıdır. Önce 

silindir ile başlayacağız,çünkü daha basit ve daha kolay.Sonra koniye geçeceğiz.  



SİLİNDİRİN n-KATLI ÖRTÜSÜ 

Örtü metodunun nasıl çalıştığını anlamak için, bir kağıt aldığınızı ve dikey ana doğru boyunca 

kesip düzlem üzerine serdiğinizi düşününüz. Bu,bu problem üzerinde çalışmadan önce silindir elde 

etmek için kullandığımız yöntem olabilir.Yuvarlanmış sayfa(düzlemin bir parçası) silindirin 1 katlı 

örtüsüdür. Bakınız  şekil 4.10. Eğer silindir üzerinde şekilde olduğu gibi iki tane A ve B noktası 

işaretlerseniz, silindir kesilip düzleme serildiği zaman bu iki nokta örtü üzerindeki iki nokta 

olur.(şekilde aynı harflerle gösterilirler). Örtü üzerindeki noktaların silindir üzerindeki noktaların birer 

gösterimleri olacağı söylenir. 

 

                                     

 

 

 

 

 

 

Şekil 4.10  Silindirin Bir katlı Örtüsü 

 

 



Şimdi bunun gibi birkaç örtüyü uç uca bir araya getirdiğimizi düşünelim. Yuvarladığınız takdirde 

her örtü bir kez kesin olarak silindiri saracaktır. (tuvalet kağıdı ruloları veya kağıt kuleler silindirin 

örtülerine kabaca bir fikir verirler).ayrıca her örtü aynı yerelliğe sahip A ve B noktalarına sahiptir. 

Bunu örtüleri bir cisimle iki noktadan delip sonra açarak görebiliriz. Bu şu anlama geliyor: silindir 

üzerindeki bütün A ve B noktaları örtüler üzerinde aynı noktaları gösterir. Silindir üzerindeki her nokta 

için birkaç tane örtü gösterimine sahibiz. Şekil 4.11 de 3 katlı örtü ve A ve B noktalarını birleştiren 6 

tane geodezik gösterilmektedir.( bunlardan bir tanesi A ve B arası mesafe, diğerleri ise silindirin 

etrafında iki yönden biri doğrultusunda bir kez, iki kez ve üç kez dönen sarmallardır). 



 

                              Şekil 4.11     Silindirin 3 Katlı Örtüsü 

Ayrıca sağdan yada soldan örtü ekleyebiliriz. Bu örtüleri yuvarlayıp, geodeziklerin nasıl 

göründüğünü görebiliriz. Hatırlarsanız, her örtü silindiri bir kez kaplıyordu- örtüler arası dikey 

doğruların hepsi silindirin aynı ana doğrusu üzerinde olmalıdır. Sıradan kağıtlar kullanırsanız 

geodeziklerin bazı kısımlarını orada olmalarına rağmen göremeyebilirsiniz. Şeffaf kağıtlar 

kullanırsanız daha rahat görürsünüz.  

Düzlük lokal içe ait özellik olduğu için bu metot çalışır. Böylece örtüler düzleme serildiği zaman 

düz olan doğrular örtüler silindiri sardığı zaman da düz olmaya devam edecektir. Hatırlarsanız kağıdı 

kıvırma kağıdın içe ait yapısını değiştirmiyordu. Sadece dışa ait olarak gördüğümüz eğrilik 

değişiyordu. Önemli olan geodeziklere her zaman böceğin gözünden bakmaktır. Silindir ve örtüleri 

lokal izometriktir.  

Problem 4.2 yi düşünürken silindir üzerindeki örtüleri kullanınız. Düz doğruların genel 

davranışları örtüleri anlamak için daha yararlı olacaktır. 

 

 

*KONİLERİN n-KATLI ÖRTÜSÜ 

 

 

                                  

                                          

 

 

 

 

 

 

Şekil 4.12   270

0

lik Koninin 1-Katlı Örtüsü 


        Şekil 4.12 koninin 1 katlı örtüsünü göstermektedir.Tepe noktası dışındaki her yerde kağıt tabaka 

ve koni lokal olarak izometriktir. Koni noktası (tepe noktası) örtünün Dallanma Noktasıdır. Koni 

üzerindeki nokta gösterimleri silindir üzerindekiler gibi anlatacağız.  Şekil 4.12’de koninin 1 katlı 

örtüsü ve üzerindeki 2 nokta ve gösterimleri tasvir edilmiştir. 

Şekil 4.13’te ise koni için 4 katlı örtü  tasvir edilmektedir. Örtü üzerinde örtünün merkezinden 

çizilen  ışınların her biri koni üzerindeki bir ışının gösterimidir. Benzer olarak, örtü üzerinde 

işaretlenmiş noktalar da A ve B’nin gösterimidir.Örtü üzerinde A nın gösterimini A dan farklı B nin 

gösterimine birleştiren 4 parça vardır.Bu parçaların her biri A ve B yi birleştiren farklı geodezik 

parçalarının bir gösterimidir. 

 

                                 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 4.13   89

0

 lik Koni İçin 4-Katlı Örtü 

Böceğin yüzey geodeziklerini keşfini genişletmek için araç olarak örtüleri kullanılabileceği 

yolları düşününüz. Ayrıca, içe ait yollardan gözlemlerinizi kanıtlamak için örtüyü kullanabileceğiniz 

yolları düşünüz. Kararlı olmak önemli; böceğin kaybetmesini istemezsiniz. İki noktayı düz doğru ile 

kaç çeşitli yolla birleştirebileceğinizi hesaplayınız ve bu sayının koni açısını ile ilişkisini bulunuz. Düz 

yolların sayısı sadece koni açısına mı bağlıdır? 450

0

lik koniye bakınız ve her zaman iki noktayı 



birleştiren bir düz doğru olup olmadığına bakınız. Kağıt model oluşturunuz. Koni açısı ile her bir nokta 

çiftini birleştiren geodezik sayısı arasında bir eşitlik yazmak mümkün değil. Ama birçok nokta çifti 

için işe yarayan bir formül bulunabilir. Farklı açılar ölçülerine sahip koniler için örtü uzayı oluşturunuz 

ve kendi kendisi ile kesişmesi için yapmış olduğunuz tahminlerinizi tavsiye ediniz. Bir koni üzerindeki 

kendi kendisi ile kesişen l geodeziği üzerinde çalışmak, l doğrusuna dik olan R ışınını anlama 

konusunda ise yardımcı olabilir (Bk. Şekil 4.14). Şimdi l geodeziğinin bir gösterimi ve bu gösterilişin 

R ışının gösterimi ile ilişkisi üzerinde çalışınız. Özel kısımlar arasında kalan bağıntılar R’nin 

gösterimleridir. 



 

                        Şekil 4.14   

φ

 Açılı Koni Üzerinde Kendi Kesişimleri 



 

LOKAL OLARAK İZOMETRİK 

Şimdiye kadar, bir kağıdı silindir veya koni olacak şekilde yuvarlayıp ya da büktüğümüz 

zaman, böceğin yüzeydeki içe ait ve lokal deneyimlerinin tepe noktasının dışında  değişmediğini 

kavramış olmalısınız. Dışa ait olarak, kağıt parçası ve koni farklıdırlar ama lokal geometride yüzey 

için içe ait olma sadece tepe noktasında farklıdır. 

G ve H iki geometrik uzaydır.G deki nokta G’,H daki nokta H’ olmak üzere eğer G’ deki 

lokal içe ait deneyim H’de ki ile aynı ise, G ve H lokal olarak izometriktir denir. Yani, G ve H nin 

komşulukları içe ait geometrik özelliklerine göre eşittir. Silindir ve düzlem lokal olarak izometrik (her 

noktada), düzlem ve koni ise tepe noktası dışında lokal olarak izometriktir.  Eğer iki koninin tepe 

açıları aynı ise bu iki koni tepe noktasında lokal olarak izometriktir. Silindir ve koniler düzlemlerle 

lokal olarak izometrik oldukları için, lokal olarak aynı geometrik özelliklere sahiptirler. Kürenin 

düzlemle lokal izometrik olmadığını daha sonra göstereceğiz.  

  

         



“EN KISA” HERZAMAN “DÜZ MÜDÜR?” 

Sıklıkla düz doğrunun iki nokta arası en kısa mesafe olduğunu söyledik.Ama bu gerçekten 

doğru mu? Kürelerde gördüğümüz gibi birbirine zıt olmayan iki nokta iki tane düz yol ile birleştirilir 

(biri büyük daire etrafında bir yoldan gider, diğeri diğer yoldan gider). Bu yollardan sadece birisi en 

kısadır.  Diğeri düzdür ama en kısa değildir. 450

açılı koninin modelini düşününüz. Böyle koniler 



çoğunlukla binaların dış köşelerinde görülür (Bk. Şekil 4.15). Düzgünleştirebilecek en iyi kağıt 

modelidir.  



 

                           Şekil 4.15    A dan B ye Düz Bir Yol Yoktur 

      


       Koni üzerindeki hangi noktaların düz doğrular ile birleştirilebildiğini bulmak için kâğıt modeller 

kullanınız( doğru simetrisinde yansıma gibi algılanabilir).Şekil 4.15 teki gibi işaretlenmiş A ve B 

noktalarına bakınız. A dan B ye düz doğru olmadığını kendinize ispatlayınız ve bu iki nokta için en 

kısa mesafenin tepe noktasından geçtiğini ve bu yolun düz olmadığını gösteriniz(simetrinin varlığı). 

 

                                     

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 4.16  En Kısa Yol Düz Değildir. 

Diğer bir örnek ise; düzlem üzerinde bulunan uzun bir kutu düzlemi üzerinde seyahat eden bir 

böcek düşününüz(  Şekil 4.16). Bu yüzey birleşmesi- kutunun tabanı ile yüzey bitişiktir- 8 tane tepe 

noktasına sahiptir. Kutunun üstündeki 4 tanesi 270

lik koni açısına, kutunun altındaki 4 tanesi 450



lik 


koni açısına sahiptir( 180

kutu üstünde ve 270



yüzeyde). Kutunun zıt taraflarındaki X ve Y noktaları 

arasındaki en kısa mesafe nedir? Düz yol en kısa mıdır? En kısa yol düz müdür? En kısa yolun düz 

olmadığını ispatlamak için kutunun alt köşesindeki iki tarafında farklı açı ölçülerine sahip olan yolu 

görmeye çalışınız.( Eğer X ve Y kutuya yakınsalar, yolun kutu tarafındaki açısı 180

den biraz fazla ve 



diğer taraftaki açı ise yaklaşık 270

olacaktır). 



 

 

* DİFFERENSİYEL GEOMETRİDE BAGINTILAR 

Bazen düz yolların en kısa olmadığını  ve  en  kısa yolların ise düz olmadığını görürüz. Bundan 

sonra şu soru aklınıza gelebilir birçok kitapta bahsedildiği gibi Öklid geometrisinde iki nokta arası en 

kısa mesafe düz doğru mudur?  Differensiyel geometride “düzgün” yüzeylerde “düz” ve “en kısa” 

neredeyse aynıdır.”düzgün” yüzey nasıl göründüğüdür. Yani, yüzeye yaklaşıldığı zaman pürüzsüz 


yüzeyden farksız olandır.( tanımın detayları için ,[DG: Henderson] da problem 4.1 e bakınız. Ayrıca, 

Bölüm 1 deki son nota ve özellikle son bölüme bakınız). Koniler tepe noktasında düzgün değildir, ama 

küreler ve silindirler her noktada düzgündür. Aşağıdaki teorem differensiyel geometriden: 

TEOREM 4.1: Eğer yüzey düzgünse, içe ait olarak düz doğru(geodezik) her zaman yakın 

noktalar arasındaki en kısa yoldur.Eğer yüzey tam ise ( bütün geodezikler sonsuza uzanıyorsa), 

herhangi iki nokta, aralarındaki en kısa yol olan geodezik ile birleştirilebilir. Bakınız ,[DG: 

Henderson], problem 7.4b ve 7.4d. 

Üzerinde delik olan düzgün bir yüzey düşününüz. Deliğin yakınlarında ve zıt taraflarında 

bulunan noktalar için arasındaki en kısa yol düz değildir çünkü en kısa yol deliğin etrafından geçmek 

zorundadır. Öğrenciler önceki örneklerin ve problemlerin teoremle nasıl bit armoni oluşturduğunu 

görebilirler. 

“ Yüzey üzerindeki her geodezik sonsuza uzayabilir” durumu Öklidin 2. postulatındaki “ 

kısıtlanmış her düz doğru sonsuza giden tek bir düz doğruya uzatılabilir.” yorumuyla uyumludur.[ 

Appendix A, Önerme 2]. Dikkat ederseniz 2. postulat konilerde tepe noktasından geçen geodezikleri 

düşünmediğiniz sürece konilerde tutmuyordur. 

Ayrıca, Öklit dik açıyı şu şekilde tanımlamaktadır: iki düz doğru komşu açılar eşit olacak şekilde 

kesişirlerse bu açılara dik açı denir[ Appendix A,Tanım 10]. Tepe noktasınca devam eden geodeziği 

düşünürseniz tepe noktasındaki dik açı koninin yüzeye izometrik olduğu noktadaki dik açıya eşit 

olmayacaktır. 

Ve Öklid 4.postulatında der ki; bütün dik açılar eşittir .[ Appendix A, Önerme 4]. Böylece, 

öklid’in 2. ve 4. postulatları koniler ve tepe noktalarınca ayrılmış yüzeylerde çalışmamaktadır. 

Öklid’in 4. postulatı kimilerince net değildir(en azından yazara göre). Öklid’in 4. postulatını sağlayan 

ve düzgün olan bir yüzey bulmak istediğimizde bunun olabilirliği net değildir. Ancak, Öklid’in 

önermelerinin verilen kısımları “düzgün yüzey” anlamına gelmektedir çünkü kurallar tepe noktalarını 

dışarıda bırakmaktadır. 

Eğer lisede olsaydık Öklid’in neden 4. postulat gibi bir önermeyi oluşturduğunu 

anlayamayabilirdik- nasıl eşit olamazlar? Bu bölümde konilerdeki dik açıların her zaman eşit 

olmadığını öğrendik.  

 

 



 

 

                                                                                                                              



 

 

 

 

                                                                                                    BÖLÜM 5 

 

 



HİPERBOLİK DÜZLEMLERDE DÜZLÜK 

 [ Janos’un oğluna] tanrı aşkına! Lütfen bırak artık onu( hiperbolik geometriyi)… Ondan 



şehvetten korktuğun kadar korkmalısın çünkü senin bütün zamanını alıyor seni sağlığından aklından 

ve yasama sevincinden mahrum bırakıyor.  

-Wolfgang Bolyai(1755-1856) 

[EM: Davis ve Hersh] sayfa, 220 

Şimdi hiperbolik geometri çalışacağız. Okuyucu bölüm 17 ve hiperbolik düzlem ile ilgili diğer 

kısımları okumayacaksa bu bölümü atlayabilir. Ancak hiperbolik düzlem ile ilgili kısımları atlamak 

geometri tarihinin önemli bir parçasını belki de bizim fiziksel evrenimizin temellerini oluşturan 

geometriyi atlamak olacaktır. 

Koni ve silindirde olduğu gibi hiperbolik düzlemlerde içe ait bakış açısını kullanmalıyız. İlerde 

göreceğiz ki tam bir hiperbolik yüzeyin 3 boyutlu ortamda tam bir gömülümü yoktur.  

HİPERBOLİK GEOMETRİNİN KISA TARİHİ 

Hiperbolik geometri önceleri Building Structures Strand’ın Janos Bolyai ( 1802–1860, Bulgar) 

ve N.I. Lobachevsky(1792–1856, Rus) çalışmalarıyla olgunlaşmıştır. Hiperbolik geometri formel 

aksiyomatik bakış açısından özeldir çünkü öklid geometrisindeki paralel postulat dışındaki diğer tüm 

aksiyomları sağlamaktadır. Hiperbolik geometride düz doğrular kesişmeden birbirlerine doğru yönelip 

birleşebilirler.( Bakınız Appendix A, Öklid’in 5. postulat’ı).Verilen doğruyla bir noktada kesişmeyen 

birden fazla düz doğru vardır.( Lisedeki genel paralel postulatı bozmaktadır, verilen L doğrusu 

üzerinde bulunmayan P noktasında L ile kesişmeyen sadece ve sadece bir doğru vardır.). Bakınız Şekil 

5.1  

 

 



 

 

 



 

 

 

 

Şekil 5.1   Bir Nokta Etrafındaki İki Geodezik Verilen Geodezik İle Kesişmez 

 

 



 

 

Okuyucu bölüm 10 da hiperbolik geometrinin aksiyom doğasını daha detaylı inceleyebilir. Fark 

ederseniz, 450

lik koni de yukarıda bahsedilen postulatı çiğnemektedir. Böylece , 450



lik koni 

hiperbolik düzlemin bazı özelliklerine sahiptir. 

Hiperbolik geometriyi yüksek matematiğin değerli bir branşı olarak kabul etmek faydalı 

olacaktır.  

İki boyutlu görsel uzay geometrisi hiperbolik geometri tarafından en iyi gösterim olarak ortaya 

çıkmaktadır.( Bakınız [HY: Zage]. Ek olarak, hiperbolik geometri 3 boyutlu fiziksel evrenimiz için 

olan geometrilerden birisidir.- bu durumu bölüm 18 ve 24 te daha detaylı inceleyeceğiz.  

Öklidyen olmayan geometri ve hiperbolik geometri birçok kitapta benzer olarak düşünülür, ama 

bildiğiniz gibi küresel geometri gibi diğer öklidyen olmayan geometriler vardır. Birçok kitapta 

söylendiği gibi öklidyen olmayan geometrinin 170 yıl önce keşfedildiğini söylemek de doğru değildir. 

Bölüm 2 de bahsettiğimiz gibi küresel geometri( öklidyen değil) Eski Babiller, Hintler, Yunanlılar, 

tarafından en az 2000 yıl önce bulundu ve çalışıldı. 

Birçok çalışmalar ve popüler kitaplar hiperbolik geometriyi aksiyom olarak veya öklidyen 

düzlemde hiperbolik geometrinin modelleri ile sunarlar. Bu modeller bizim dünya yüzeyinin izdüşümü 

haritasına benzemektedir. Bu haritalardaki genel olarak düz hiperbolik düzlemdeki içe ait düz 

doğrularla aynı değildir. Genelde biçimi bozuk uzaklıklar ve açılar vardır. Bölüm 17de izdüşümü ve 

model konusuna döneceğiz. Bu modeller Art / Pattern Strand ‘ın modellerinden ortaya çıkmıştır.  

Bu bölümde hiperbolik düzlemin geometrisini 3 boyutlu ortamda yüzeyin içe ait geometrisi 

olarak ele alacağız, tıpkı 3 boyutlu ortamdaki kürenin geometrisine bakarak küresel geometriyi 

anlattığımız gibi.Nagivation:/Stargazing Strand tan daha farklıdır. Böyle yüzeyler  3 boyutlu ortamdaki 

hiperbolik düzlemin izometrik gömülümü olarak anılır. Böyle yüzeyleri gelecek kısımda üreteceğiz. 

Ancak, birçok çalışmalar ve popüler kitaba göre David Hilbert (1862–1943, Alman,) 1901de böyle bir 

izometrinin 3 boyutlu Öklidyen uzayının kapalı alt kümelerini örten hiperbolik düzlemlerde 

olamayacağını ispatlamıştır. Bu yazarlar Hilbert ‘in tam olarak ne ispatladığını unutmuşlardır. 

Gerçekte Hilbert [HY:Hilbert] reel analitik izometrinin var olamayacağını ispatlamıştı. (Yani kuvvet 

serileriyle tanımlanan reel değerli fonksiyonların tanımladığı bir izometri yoktur.). 1964’te N.V. 

Efimov [HY: Efimov] Hilbert’in sonucunu genişletti. Efimov 1. ve 2. türevleri sürekli olan fonksiyon 

tarafından tanımlanan izometrik gömülümün olmadığını ispatladı. 1955’te açık bir gösterim vermeden 

N. Kuiper [HY:Kuiper] 3 boyutlu uzayın kapalı alt kümeleri  üzerinde türevlenebilen izometrik 

gömülüm olduğunu ispatladı.  

Burada kullanılan gösterim William Thurston tarafından 1978’te David ‘e gösterildi.(b.1946, 

Amerikalı); ama eşitlikle tanımlanmamıştı, çünkü öklidyen uzayda net bir gömülme kavramı yoktu. Bu 

gösterim hakkındaki öneri ve fikirler [D.G Thurston] da 49. ve 50. sayfalarda ve [D.G: Henderson] da 

31. sayfada bahsedilmektedir. Problem 5.3 te bizim izometrik modelin yalancı küre olarak bilinen 

dönüşün düzgün yüzeyine lokal olarak izometrik olduğunu göstereceğiz. Sonra bölüm 17de hiperbolik 



yüzeylerin çeşitli(izometrik olmayan) modellerini inceleyeceğiz. (bu modeller birçok çalışmada 

hiperbolik geometri gösterilişidir.) ve bu modeller ve izometrik oluşumların aynı geometriyi ürettiğini 

göstereceğiz. 

HALKALI HİPERBOLİK DÜZLEMİN TANIMI 

3 boyutlu uzaydaki yüzeyler gibi hiperbolik düzlemlerin( yaklaşık düzlemler) beş farklı 

izometrik oluşumun detaylarını Appendix B de anlattık. Bu oluşumlardan en az biriyle ilgilenmiş 

olmanız çok önemli. Yüzey oluşturma size hiperbolik düzlemleri başka bir yöntemle oluşturmanızın 

zor olduğu hissi verecektir. Thurston tarafından önerilen halkadan hiperbolik düzlem tanımı üzerinden 

tartışmalarımızı yapacağız. 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

Şekil 5.2  Halkalı Hiperbolik Düzlem Yapmak İçin Halka Şeritler 

 

Hiperbolik düzlemin kâğıt modeli şu şekilde oluşturulabilir. Şekil 5.2 deki gibi özdeş halka 



şeritler ( ortak merkezli iki daire arasında kalan bölge)  kesiniz. Şeritleri birinin iç dairesi diğerinin dış 

dairesi ile birlikte olacak şekilde şeritleri bantlayınız. Bütün halkalı şeritlerin aynı iç yarıçap ve aynı 

dış yarıçapa sahip olması önemlidir, ama halkaların uzunlukları farklı olabilir. Ayrıca şeritleri daha 

kısa kesebilir ya da iki şeridi birleştirip daha da genişletebilirsiniz. 

Sonuçta oluşan yüzey tabiî ki istenen yüzeye yaklaşık olacaktır. Hiperbolik yüzey yarıçapı ρ’yı 

sabit tutarak δ→0 oluşturarak bulunur. Yüzey her yerde aynı olacağı için (δ→0), homojendir. ( içe ait 

olarak ve geometrik olarak her noktanın civarı herhangi bir diğer noktanın civarı ile izomeriktir). Bu 

oluşumun sonucuna halkalı hiperbolik düzlem diyeceğiz. Okuyucuya birkaç halka kesip

birleştirmesini önemle öneriyoruz.  

Diana halkalı hiperbolik düzlem örebilmek için bir metot keşfetti. ( Bakınız Appendix :B). Sonuç 

Şekil 5.1, 5.3 ve bu bölümdeki diğer fotoğraflarda görünmektedir. 


 

 

 



 

 

 



 

 

 



Şekil 5.3    Örgü Halkalı Hiperbolik Düzlem 

Hiperbolik düzlemin çok yüzlü oluşumları da vardır. Bunlar halkalı oluşumlara doğrudan bağlı 

değildir ama öğrenciler( öğretmenler) için oluşturmak daha kolaydır. Bu oluşum ( David’in oğlu Keith 

henderson tarafından icat edildi) Hiperbolik futbol topu olarak anılır. Oluşumun ayrıntıları için 

Appendix B ye ve resmi için Şekil 5.4e bakınız. Farklı renklerdeki altıgenleri kullanarak yedigenler 

oluşturursanız hoş bir görünüm olacaktır. Herhangi birçok yüzlü oluşumdan hiperbolik düzleme yakın 

yaklaşımlar oluşturamayabiliriz. Halkayı görme yolumuzda yoktur. 

 

 



 

 

 



 

 

 



Yüklə 1,79 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©www.azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin