T. C. Gazi ÜNİversitesi fen-edebiyat faküLtesi matematik böLÜMÜ

Şekil 1.16 Yansıma Simetrisi Lokaldir 

Yerel özellik olarak düzlük hakkında konuştuğumuzda, bazı derece (ölçü) düşüncelerini aklınıza 

getirebilirsiniz. Örneğin, çok geniş bir çemberin sadece küçük bir kısmını görürseniz, bu kısım düz 

doğrudan farksız görünecektir. Bu durum birçok grafik programları sayesinde kolayca denenebilir. 

Zum merceğine sahip bir mikroskopta zum yapma deneyimini oluşturacaktır. Eğer bir eğri pürüzsüz, 

düzgün(türevlenebilir) ise ve bu eğrinin herhangi bir parçasına zum yaparsak er geç eğri düz doğru 

parçasından farksız olacaktır. Bakınız Şekil 1.17 

 

 

Şekil 1.17 Sonsuz Küçük Olarak Düzlük 

 

Bazen daha standart bir terim olan türevlenebilir terimi yerine infinitezimal(sonsuz küçüklükte) 

terimini kullanırız.eğer  bir eğrinin P noktasına yeterince zum yaptığımızda , bir I düz doğrusu varsa ve 

bu doğru ile eğri farksız oluyorsa, eğri P noktasında infinitezimal(sonsuz küçüklükte) olarak düzdür 

deriz.

 

eğri yay uzunluğu ile parametreleştirildiği zaman, her bir noktada iyi tanımlı hız vektörüne sahip 

eğriye eşit olacaktır.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 1.18 Düzlük Ve Düzgünlük Görüntülenmeye Bağlıdır 

 

Buna karşı olarak, eğer noktanın civarında düzlük varsa, eğri o noktada yerel düzdür diyebiliriz. 

Fiziksel ortamda, düzgün ve yerel düz terimlerinin genel kullanımı görüntülenme derecelerine bağlıdır. 

Örneğin, tahta bir kemere eğri olarak görüldüğü uzaklıktan bakabiliriz; sonra kemeri 

yaklaştırdığımızda eğrinin birçok küçük kısa düz parçalardan oluştuğunu görürüz, fakat onu 

dokunacak kadar yaklaştırdığımızda, kemerin yüzeyinin düzgün dalga veya dalgacıklardan 

oluştuğunuzu görürüz ve mikroskopta baktığımızda çok sayıda düzgün olmayan bükülmüş lifler 

görürüz. Bakınız Şekil 1.18. 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                   BÖLÜM 2 

 

KÜRELERDE DÜZLÜK 

 

 Dünyanın etrafında çizilen geniş dairelerin çemberi üzerinde bulunan iki düzlem 

arasında uzanan uzay sayısının ne kadar olduğu anlaşılabilir. Dünya üzerindeki geniş 

dairelerin çevresindeki iki yer arasında kaç tane uzayın bulunduğu görülecektir. Yer 

yüzünü ve bütün küre içindeki suyu...merkezden geçen her düzlemin yüzeyi 

oluşturduğunu, yani dünyanın yüzeyinde ve gökyüzünde, bütün daireler ve yüzeydeki 

açıları( merkez açılar ), birbirini oranlı olarak kesen dairelerin çevrelerinin kesitini 

matematikçiler göstermişler. 

          -Ptolemy, Geographia (c.a 150 A.D) Kitap 1 Bölüm 2 

 

Bu bölümde sizden istenen, Problem 1.1 de geliştirdiğimiz düzlük kavramı doğrultusunda 

küredeki düzlük kavramını araştırmanızdır. 

 

KÜRESEL GEOMETRİNİN ESKİ TARİHİ 

ANTİK Mısır’da ve Babil’ de astrolojik amaçla ve takvim oluşturmak için (toplumsal oluşum 

için gerekli) gök cisimler gözlemlenmiştir. Claudius Ptolemy (c. 100–178), Almagest’inde Babillerin 

M.Ö. 8. yy deki yıldızların geçişini ve tutulmaları hakkındaki gözlemlerini konu etmiştir. Babiller bir 

daireyi 360

  

dereceye bölme fikrini ortaya atanlardır. ─ 360derecenin neden yıl içindeki gün sayısına 

yakın olduğuna dair bazı spekülasyonlar vardır; 360’ın Babillerin kullandığı altılık sisteme uygun 

oluşudur ve 360 daire üzerindeki 7 farklı noktanın ( Antik çağda 7 gezegen vardır; güneş, ay, Merkür, 

Venüs, Mars,Satürn, Jüpiter) yönlendirmeye bakmaksızın aldıkları yol sayısıdır. Ama daha da önemlisi 

Babiller ( su an temel olarak küresel koordinat olarak bildiğimiz) Kuzey yıldızındaki kutbu ile göksel 

küre( yıldızlar, güneş, ay ve gezegenlerin üzerinde ortaya çıkan hareket sonucu oluşan küreler)için 

koordinat sistemi geliştirmiştirler. Böylece, koordinat kullanımının 17 yy.da Dekart’ la çıktığını 

düşünmek bir yanılgıdır. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 2.1: Armillary küresi(1687) (içten dışa doğru) dünya, göksel küre, ekiliptik ve horizon 

gösteriliyor. 

M.Ö.4. yy da Antik Yunanlılar Babil astronomisi ile tanışmıştır. Eudoxus ( M.Ö.408–355) 

astronomi için “iki küre model”ini geliştirmiştir. Bu modelde yıldızlar göksel küre( kuzey yıldızı, 

kutup etrafında günde bir dönen) üzerindeymişler gibi düşünülüyor ve güneş ekiliptik kürenin üzerinde 

olup, ekliptik kürenin ekvatoru, güneşin yörüngesidir ve bu Eudoxus zamanında göksel kürenin 

ekvatorunu 24

0  

açı ile şimdilerde ise 23,5 

0 

açı ile kesmektedir. Ekiliptik kürenin göksel küreye temas 

ettiği düşünülür ve yılda bir, devrin doğu yönünde rotasyon oluşur. Kürelerin ikiside kutupları 

etrafında dönerler. Bakınız Şekil 2.1 

Autolyus,( M.Ö. 333–300)  dönen küreler üzerinde de 3. küreden bahsetmektedir, bu kürenin 

kutbu, gözlemcinin üzerinde bulunduğu noktadır ve ekvatorda görünebilir horizondur. Böylece, 

horizon ve göksel ekvator arasındaki açı ,(dünyanın merkezindeki ölçü) gözlemci ve kuzey kutbu 

arasındaki açıya eşittir. Autolyus, belirli bir gözlemci için, göksel kürenin bazı noktalarının (yıldızlar) 

her zaman görülebilir, bazılarının her zaman görünemez ve bazılarının da “doğar-batar” olduğunu 

göstermiştir. Bakınız Şekil 2.1 

En başlarda küresel geometriden bahseden matematiksel çalışmalar [AT: Berggren] deyince 

Autolycus’un kitabı ve Öklid’in Phaenomea’sı bilinirdi. Bu kitapların ikiside belirli bir tarihte belirli 

bir yerdeki gün ışığının uzunluğu nedir gibi astronomik problemleri çözmek için küresel geometrideki 

teoremleri kullanırlar. Öklid küresel geometrideki tanımları ve önerileri kullanır. Tanıma göre büyük 

bir daire bir kürenin merkezinin bulunduğu düzlemle kesişimidir ve kürenin merkezde olmayan 

düzlemle kesişimi büyük daireye paralel olan küçük daire oluşturur. Farz edilen öneriye göre örneğin; 

İki daire aynı büyük C dairesine paralel ama dairenin farklı yanlarında olsunlar. Sonra, bu iki daire 

ancak ve ancak başka büyük bir daire tarafından  C’nin her iki tarafında eşit yaylarla kesilirse eşit 

olurlar.(Benzer sonuçları Bölüm 10’da  da göreceğiz) daha karmaşık olan sonuçlarda vardır, bunlardan 

birisi küresel üçgenin iç açılarını karşılaştırma hakkındadır; bakınız [AT: Berggren, sayfa 25.] böylece 

,  Autolycus’un ve Öklid’in yazılarında okuyuculara uygun küresel geometri üzerine  yapılmış 

öncelikli işler vardır. 

            Bithynia’lı Hipparchus (M.Ö. 190-120) Babillerin küresel koordinatlarını aldı ve bunları 3 

kürede ( göksel, ekliptik ve horizon ) uyguladı. Gemicilik ve Astrolojik problemlerin ( Benim 

horizonumdan belli yıldız ne zaman geçer) çözümleri için bir küredeki koordinatlar ile diğer küredeki 

koordinatlar arasındaki ilişki gereklidir. Koordinatların gerekliliğinin değişmesi ile küresel 

trigonometri oluştu, ve bu küresel koordinatlarla ilgili astronomik problemlerin trigonometri 

çalışmalarına girmesi ile oldu. Düzlem trigonometri, sistemli olarak ilk defa Hipparchus tarafından 

çalışıldı, ve küresel trigonometriye  yardımcı olmak amacı ile geliştirdi, bunu Bölüm 20 de göreceğiz. 

İlk sistematik küresel geometri yazımı Theodosius’un Sphnerica’sıdır. (yaklaşık M.Ö. 200). Bu, çizim 

problemleri ve teoremler içeren 3 kitaptan oluşmaktadır. Sphaerica’daki birçok önermeler dışa ait 

teoremler ve öklidin merkezi 3-Uzaydaki küre çizimleridir; ama 3-Uzay veya merkezini referans 

almayan kürelerin yüzeyi üzerine içe ait  geometriyi gösteren önermelerde vardır. İçe ait ve dışa ait 

arasındaki farktan bölümün ilerleyen kısımlarında bahsedeceğiz.  

Küresel trigonometri hakkındaki daha ileri düzeydeki (gelişmiş) tez Menelaus’un Küre Üzerine’sidir 

(M.S. 100). Sadece Arapça olarak kopyası vardır. Menelaus küresel üçgeni büyük bir dairenin her biri 

yarım daireden küçük olan 3 yay tarafından sınırlanmış küresel yüzeyin parçası olarak tanımlamıştır. 

Menelaus’un tezi küre yüzeyindeki geometriyi Öklid’in “Elementler”indeki düzlem geometrisi ile 

analog kurarak açıklamaktadır.  

Ptolemy ( M.S. 100-178) İskenderiya’da çalışmıştır, ve coğrafya üzerine , Geographia kitabını 

yazmıştır, ayrıca Mathematiki Syntaxis (Matematiksel Koleksiyonlar) adlı kitapta yazmıştır.  

Bu kitap Babil astrologlarının ve Yunan geometrilerinin bilgilerinin merkezi sonuçlarını içermektedir.  

Sonraki 1400 yıl Batı standart olarak matematiksel astronomi üzerinde çalışmaya başlamıştır. The 

Mathematiki Syntaxis genel olarak Almagest olarak bilinir. Bu isim Yunan isimlerinden birinden 

türetilmiş Arapça isminin  Latincesidir. Almagest önemli bir kitap çünkü Almagest bilinen en eski 

küresel trigonometri çalışmasıdır, ve özel fonksiyonları, ters fonksiyonları ve devamlı olguların 

hesapsal çalışmalarını içermektedir.  

Küresel geometrinin tarihi hakkındaki diğer bilgiler kitabın uygun kısımlarında aktarılacaktır. Bu tarih 

hakkında daha fazla okuma (ve ön düzeyde referans) için [HI:Karlz] Bölüm 4 ve [HI: Rosenfeld] 

Bölüm 1’e bakınız. 

PROBLEM 2.1. KÜREDE DÜZ OLMA NEDİR? 

Problem1.1’de düzlük konusu anlamak adına bir şeyler geliştirmiştiniz, bu problemde ise sizden 

istenen düzlük fikrini kürede uygulamanızdır. Şunu anlamanız önemlidir; eğer kendi başınıza düzlük 

fikrini oluşturamıyorsanız( örneğin, fikirleri kitapta derinlemesine düşünmeksizin alıyorsanız) 

düzlemdense, yüzeylerde düzlük kavramını inşa etmede zorlanacaksınızdır. Kendi başınıza 

oluşturduğunuz ve geliştirdiğiniz bireysel düzlük anlamı sizin aktif sezginizin bir parçası olacaktır. 

“Aktif” sezgi dedik çünkü kati bir değişme yöntemi içinde olur ve gelişme demektir, statik değildir.  

a.Kendinizi bir küre etrafında sürünen bir böcek olarak hayal ediniz. ( Bu böcek ne uçsun ne de 

küre içine yuva yapsın)  Böceğin evreni sadece yüzeydir; oradan asla ayrılmaz. Bu böcek için düz  

nedir? Böcek düz olarak neyi görecektir ve deneyimi ne olacaktır.Problem 1.1’de konuştuğumuz 

düzlük özelliklerini ( simetriler)kullanınız.  

b.Küre üzerindeki büyük dairelerinin küreye göre düz olduklarını gösteriniz ( Yani kendinizi 

inandırınız [ispatlayarak] ve diğerlerini inandırmak için tezler ortaya koyunuz ) ve küre üzerinde 

bulunup küreye göre düz olan başka daireler olmadığını gösteriniz. 

 

ÖNERİLER!  

Büyük daireler, kürenin merkezi etrafında bulunan düzlem ile kürenin kesişiminden oluşan dairelerdir. 

Örnekler, boylamlar ve dünyanın ekvatorudur. Birbirine zıt olan herhangi iki nokta kutuplar olarak 

düşünülebilirler, ve böylece ekvator ve boylamlar herhangi zıt iki noktaya göre büyük daireler 

olacaklardır. Bakınız Şekil 2.2. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 2.2. Büyük Daireler 

Bu problemi anlamanın ilk basamağı kendinize büyük dairelerin küre üzerinde düz doğrular olduğunu 

ispatlamaktır. Böceğin düz olarak algılayacağı büyük çemberin ne olduğunu düşününüz. Kürenin 

üzerinde neler olduğuna dair daha iyi bir gösterim için, modelleri kullanmalısınız. Bu noktada stres 

yapmanıza gerek yoktur. Model kullanımı sonraki problemlerde önemli olacaktır, bu problemler 

özellikle birden fazla doğru içermektedir. Düz nediri ve niyesini anlamak için kürenin üzerini 

doğrularla tamamen kaplamalısınız. Portakal veya eski aşınmış deniz topu küreye benzemektedir ve 

lastik bantlar iyi birer doğru oluştururlar. Ayrıca, kağıt şeritlerde kullanabilirsiniz. Bunları kürenin 

üzerine farklı eğriler oluşturacak şekilde yerleştirmeyi deneyiniz ve neler olduğuna bakınız.Ayrıca 

küre üzerinde düz doğru oluşturup oluşturmadıklarını görmek için problem 1.1 den simetrilere bakınız. 

Burada önemli olan, 3 boyut katı topu düşünmek yerine bir kürenin yüzeyini düşünmektir. Her 

zaman böcek açısından olayın nasıl göründüğünü hayal etmeye çalışınız.Böyle düşünmenin işe 

yaradığına dair (suda yürüyen) böceğe bakmak iyi bir örnek olacaktır. Bu böcek havuz (gölet) 

yüzeyinde yürür ve çevresini iki boyutlu olarak algılamaktadır. (Böcek için aşağısı yada yukarısı 

yoktur. Bütün dünyası iki boyutlu su düzleminden oluşur) Bu böcek su yüzeyindeki harekete ve 

dalgalanmaya karşı aşırı duyarlıdır, ama üsteki veya alttaki hareketler bilgisi dışındadır. Aç kuşlar ve 

balıklar bu avantajı kullanırlar. Küre üzerindeki düz doğrunun özelliklerini göstermek için bu tarz 

düşünmeye ihtiyacımız var. Bu böcek ve diğer hayvanlar hakkında daha fazla bilgi edinmek için 

Meşeden Manzara adlı Judith ve Herbert Kahl kitabına bakınız.[NA: Kahla ve Kahl]. 

Tanım: Küre üzerindeki ( veya diğer yüzeyler üzerinde)özünde düz olan patikalara geodezik denir.  

Bu bizi dışa ait eğriye karşı geodezik eğri veya içe ait kavramına götürür. 3 boyutlu ortamda dışarıdan 

bakan gözlemci için, küre üzerindeki bütün patikalar hatta büyük daireler eğridir- yani dışa ait eğrilik 

vardır. Fakat kürenin yüzeyine bağılı olarak, doğrular belki düz olabilirler ve böylece içe ait eğrilik 

0’dır. Bu bölümün son kısmına bakınız, İçe Ait Eğrilik. Bu farkı anladığınızdan  ve neden bütün 

simetrilerin özünden veya böcek açısından çıkarıldığı anladığınızdan emin olunuz.  

İki boyutlu düzlemdense, diğer yüzeylerde düzgünlük deneyimlerinde zorluklarla karşılaşmanız 

doğaldır; 3 boyutlu nesnelere yani küreler üzerindeki eğrilere ve kürelere bakmaya başlayacaksınız. 

Kendinizi küre üzerinde yürüyen 2 boyutlu böcek olarak hayal etmek 3 boyutlu eğrilerin görünümü 

konusunda yardımcı olacaktır ve özgün olarak düzlük deneyimleri kazanmanıza yardımcı olacaktır. 

Aşağıdaki soruları kendinize sorunuz:  

•

 

Düzlemsel olmayan bir yüzeyde yürürken düz doğru üzerinde yürümek için böcek ne yapmalı? 

•

 

Böcek düz gittiğini nasıl kontrol edebilir? 

Modellerle deney yapmak burada önemli bir role sahiptir. Oluşturduğunuz modellerle çalışmak, size 

büyük dairelerin sadece kürenin yüzeyindeki düz doğrular olduğunu deneyerek görmeniz konusunda 

yardımcı olur. Bu fikri ispatlamak (kendinize), düzlemde düzlük ve kürede düzlüğün ortak elementlere 

sahip olduklarını anlamayı içerecektir. “Büyük-daire-düzlük” fikrine alıştığınız zaman, bir düzlemdeki 

düz doğrularda simetriyi, küredeki büyük dairelere transfer etmek için hazır olacaksınız, sonrada, diğer 

yüzeylerdeki geodeziklere transfer edeceksiniz. Buradaki yapmayı denediğiniz aktiviteler, büyük 

daireleri ve onların küre üzerindeki içe ait düzlüklerini gözlemlemenize yardımcı olurlar. Ama, kendi 

deneyimlerinizle gelmeniz daha iyi olur. 

•

 

Küre üzerine elastik bir şey geriniz. Bu büyük daire üzerine yerleşecektir, ama küre kaygan ise 

, küçük daire üzerine yerleşmeyecektir. Burada, elastik neredeyse en kısa yolu oluşturur, çünkü 

gergin elastik her zaman daha kısa olacak şekilde hareket eder: bu düzlük için çok kullanışlı bir 

yöntemdir. 

•

 

Bir topu tebeşirle çizilmiş düz yolda yuvarla (veya yeni boyanmış düz bir koridor). Tebeşir 

(veya boya) kürenin temas doğrularını işaretleyecektir, ve büyük daire oluşturacaktır. 

•

 

Gerilmeyen dar katı bir şerit veya kağıt alınız ve küreyi sarınız, kırılmaksızın ya da 

kaymaksızın büyük daire boyunca uzanacaktır. Bu özelliğin yerel simetri ile bağlantısının nasıl 

olduğunu gördünüz mü? Bu bazen Şerit Test olarak bilinir (Şerit Test için [DG: Henderson]’da 

Problem 3.4 ve 7.6’ya bakınız) 

•

 

Dönme veya dönmeme hissi artar. Neden büyük dairelerde dönüş yoktur ama enlemlerde 

vardır? Fiziksel olarak, dönüşü engellemek için, böcek sol ayağını sağ ayağı ile aynı uzaklıkta 

olacak şekilde hareket etmek zorundadır. Büyük olamayan dairelerde (örnek: ekvator olmayan 

enlemler), böcek ekvatora daha yakın yerlerde daha hızlı hareket etmek zorundadır. Aynı fikir 

paralel eksenlere sabitlediğimiz küçük oyuncak arabayı hareket ettirmek için de geçerli. Bu 

araba düz doğru üzerinde hareket edecektir. Kürede, araba büyük çember üzerinde yuvarlanır; 

ama diğer eğriler üzerinde yuvarlanmaz. 

•

 

Ayrıca, küre üzerindeki düz doğrular içe ait daireler (yüzey üzerinde verilen bir noktadan sabit 

uzaklıktaki yüzeydeki noktalar)- çember çevreleri doğru olan özel dairelerdir! 

Ekvator, 2 içe ait merkezli bir dairedir: kuzey kutbu ve güney kutbu. Gerçekte, küre üzerindeki 

herhangi bir daire (enlemler) 2 içe ait merkeze sahiptir.  

Bu aktiviteler size küre ve kürenin geodezikleri arasındaki ilişkileri görmeniz konusunda fırsat 

sağlayacaktır. Bu deneyimler küredeki daireler üzerindeki düz doğruların bir çok simetrisinin 

düzlemdeki düz doğruların simetrisi ile aynı olduğunu keşfetmeniz konusunda size yardımcı olacaktır.  

! Burada durmalı ve bu problem hakkındaki düşüncelerinizi ifade etmeden okumaya devam etmeliyiz.  

BÜYÜK DAİRELERDE SİMETRİ 

•

 

Kendi Simetrisine Göre Yansıma: Bu küreselliği yarım küreyi düz ayna önüne koyarak 

görebiliriz. Yarım küre sanal görüntüsü ile bir bütün küre oluşturur. Şekil 2.3 büyük küre g’nin 

yansımasını göstermektedir. 

•

 

Kendi Simetrisine Göre Dik Yansıma: Herhangi bir büyük dairenin yansıması örten olan 

orijinal büyük daireye dik herhangi büyük daire almaya denir. (örnek: şekil 2.3 g’) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 2.3 Kendi Simetrisine Göre Dik Yansıma 

•

 

Yarı-dönüş Simetrisi: Bir p noktasının etrafında tam bir devirin yarısı kadar dönüş yapmak p 

noktasının bir tarafındaki büyük daire parçası ile diğer tarafındaki büyük daire parçasının 

yerlerini değiştirir. Bakınız Şekil 2.4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil  2.4   Yarı Dönüş Simetrisi 

 

•

 

Kendi Simetrisi Boyunca Rigid (Katı) Hareket: Büyük daireler için kürede bunun büyük 

daire boyunca  çevirme ya da büyük dairenin kutupları etrafında rotasyon olarak 

tanımlayabiliriz. Kendi etrafında katı hareket etme özelliği büyük daireler için tek değildir, 

çünkü küre üzerindeki herhangi bir daire bu simetriye sahiptir. Bakınız, Şekil 2.5. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 2.5 Kendi Simetrisi Boyunca Katı Hareket 

 

•

 

Merkezi Simetri veya Nokta Simetrisi: (2 boyutlu açıdan bakınca ) Küredeki bir P noktası 

etrafındaki merkezi simetri herhangi A noktasını aynı büyük daire üzerinde P noktasından aynı 

uzaktaki ama P’nin zıt tarafına gönderir. Bakınız, Şekil 2.6. 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

                          İçe Ait Olarak                                                   Dışa Ait Olarak 

Şekil 2.6 P Etrafındaki Merkezi Simetri 

 

(Küreye 3 boyutlu ortamda bakınca ) P noktası etrafındaki merkezi simetri şekil 2.6 da gösterildiği gibi 

A noktasını küre yüzeyinin dışındaki bir yere gönderecektir. 

Kürenin dışa ait merkezi simetrisi sadece (ve küredeki büyük daireler için yalnız bir tane) kürenin 

merkezi etrafındadır (kürenin üstünde değildir). 

Çevirme içe ait olarak merkezi simetri ama dıaşa ait olarak yarı-dönüş simetrisidir.(P civarındaki çap 

etrafında ). İçe ait olma, düzlem üzerinde olduğu için merkezi simetri yarı-dönüş simetrisinden farklı 

değildir. İçe ait ve dışa ait arasındaki bu fark bu noktada önemlidir. 

•

 

3 Boyutlu Dönme Simetrisi:  Bu simetri 3 boyutlu ortamdaki büyük daireleri 

kapsamamaktadır, ancak 3-Küre içindeki büyük daireler için geçerlidir. Problem 22.5 ‘e bakınız. 

Muhtemelen, küre üzerindeki büyük daireler dışındaki diğer nesnelerinde burada bahsedilen 

simetrilerden bazılarına sahip olduğunu anlamışsınızdır. Birkaç örnek üretmeniz sizin için önemlidir. 

Burada bahsedilen simetri ve düzlük kavramlarının birbiriyle bağlantılı olduğunu anlamanız 

konusunda size yardımcı olacaktır. 

*HER GEODEZİK BİR BÜYÜK DAİREDİR 

Burada sizden küre üzerindeki her geodezik (içe ait düz doğru) ‘in bir büyük daire olduğunu 

ispatlamanız istenmemektedir. Bu doğru ama ispatlamak çok zor. Bir çok kitap büyük daireleri küre 

üzerindeki düz doğrular (geodezik) olarak  tanımlamaktadır. Biz bu yaklaşımı almadık. Biz büyük 

dairelerin içe ait olarak düz (geodezik) olduğunu ve küre üzerindeki iki noktanın her zaman bir büyük 

daire yayı ile birleştiğini gösterdik., ki bu umduğumuz geometriyi yapmamız için uygun büyük daire 

geodizikler olduğunu gösterir. 

Sadece geodezik olan büyük daireler differensiyel geometriden bazı fikirler içerir. [DG: Henderson]’ın 

Problem 3.2b’sinde düzlem eğrilerin özel özellikleri kullanılarak bu durum ispatlanmıştır. Daha genel 

olarak, geodezik ilk konumu geodezik üzerinde olan nokta ile türevsel(differensiyel) denklemi ve bu 

noktadaki geodezik yönünü sağlar. ( Bakınız [DG:Henderson]’ın Problem 8.4b). Böylece, aşağıdaki  

differensiyel denklemlerin çözümünün varlığı ve tekliği üzerine olan analiz teoremi ortaya çıkar.