Skalyar maydonlarning xossalarini sath sirtlari yoki sath chiziqlari yordamida orif

2.Sath chiziqlari. Yassi skalyar maydon geometrik jihatdan sath chiziqlari yordamida tasvirlanadi.
Tai deb tekislikning shunday nuqtalari tozgarmas qiymatga ega bozgarmas son.

Y

ga turli qiymatlar berib, sath chiziqlari oilasini hosil qilamiz. Bu chiziqlarda skalyar funksiya doimiy bolsa, ular uchun sath chiziqlari vazifasini konsentrik aylanalar oilasi bajaradi.

X

6-chizma.


3.Berilgan yoyicha hosila.
Skalyar maydonning muhim tushunchasi berilgan yoyicha hosiladir. Faraz qilaylik, skalyar maydonning differensiallanuvchi funksiya berilgan boqlari bilan tashkil qilgan burchaklarini orqali belgilaymiz. Agar birlik vektor bu nur bonalgan boyidagiga ega bolsin. va nuqtalar orasidagi masofani bilan belgilaymiz: . Skalyar maydon funksiyasi qiymatlari ayirmasini shu funksiyaning yorif. funksiyalarning yoyicha nuqtadagi hosilasi deb

limitga aytiladi, bu limit tarzida belgilanadi. Shunday qilib,

Agar nuqta tayinlangan bonalishigagina bogladi.

yoyicha hosila xususiy hosilalarga onalishdagi onalish bozgarishining xarakterini aniqlaydi: agar bonalishda olsa, kamayadi.

Berilgan yoyicha hosilani hisoblash quyidagi teorema yordamida amalga oshiriladi.


Teorema. Agar funksiya differensiallanuvchi bonalish bonaltiruvchi kosinuslari.

Isboti. funksiya teoremaning shartiga kolsa, u holda uning nuqtadagi ortirmasini

(53)
koni .

Agar funksiya ortirmasi vektor yoylab qaralsa, u holda

borinishni oladi:

.
Tenglikning ikkala qismini ga botamiz. Natijada

, (53)
Chunki

,
xususiy hosilalar va yoliq bonalish koordinatalar onalishlaridan biri bilan bir xil bonalish bolsa, u holda borinadiki, yonalish bonalish bozgarishi kerak, natijada quyidagini hosil qilamiz:

Bu yozgarganda funksiyaning ozgarmaydi, uning faqat yozgaradi xolos.

Agar, masalan, yossa, u holda qarama-qarshi yolsa, u holda nurning yoqiga ogla aniqlanadi. yoyicha hosila uchun formulani tekis maydon holida (2) formuladan olish mumkin, bunda

deb olinadi. U holda

.