Mühazirə Empirik paylanma funksiyası

Mühazirə 4. Empirik paylanma funksiyası
Əvvəlcə ehtimal nəzəriyyəsindən təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası anlayışını yadımıza salaq.
Tərif. ədədinə hadisəsinin ehtimalını qarşı qoyan (qısaca ) funksiyasına X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası (və ya inteqral funksiyası) deyilir, yəni
.
Bu tərif həm diskret, həm də kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər üçün döğrudur.
Həndəsi olaraq ehtimalı təsadüfi kəmiyyətin aldığı qiy­mətlərin ədəd oxunda x nöqtəsindən solda yerləşməsini göstərir.
Paylanma funksiyasının xassələri:
Xassə 1⁰. Paylanma funksiyasının qiymətləri parçasında yerləşir:
Xassə 2⁰. Paylanma funksiyası azalmayandır, yəni olduqda olur.

Xassə 3⁰. Əgər təsadüfi kəmiyyətin aldığı qiymətlər (a,b) intervalına düşərsə, onda

a) olduqda (mümkün olmayan hadisə),
b) olduqda (yəqin hadisə) olar.
Nəticə. Əgər kəsilməz təsadüfi kəmiyyətinin aldığı qiymətlər intervalına düşürsə, onda
(mümkün olmayan hadisə),
(yəqin hadisə)
olur.
Xassə 4⁰. Paylanma funksiyası soldan kəsilməzdir:

Tutaq ki, paylanma funksiyası olan baş yığımdan həcmi olan variantlardan ibarət təsadüfi seçmə yığım ayrılmışdır. variantlarında -dən kiçik olan variantların sayını (toplanmış tezlikləri) ilə işarə edək.

Tərif. nisbətinə seçmənin empirik paylanma funksiyası deyilir və (və ya ) ilə işarə olunur:
.
Başqa sözlə, funksiyası asılı olmayan sınaqda hadisəsinin baş verməsinin nisbi tezliyidir.

Qeyd edək ki, ehtimal nəzəriyyəsində öyrəndiyimiz paylanma funk­siyası hadisəsinin ehtimalına, yəni -ə bərabər olduğu halda, empirik paylanma funksiyası seçmənin nisbi tezliyinə, yəni -ə bərabərdir.

Bernulli teoreminə görə şərtində seçmənin empirik paylan­ma funksiyası ehtimala görə baş yığımın paylanma funksiyasına yığılır, yəni və ədədləri üçün

münasibəti ödənilir.
Buradan aydındır ki, seçmənin empirik paylanma funksiyası baş yığımın nəzəri paylanma funksiyası üçün təqribi qiymət kimi qəbul oluna bilər.
Empirik paylanma funksiyasının xassələrini qeyd edək:
1) Paylanma funksiyasının qiymətləri parçasına daxildir:
.
2) azalmayan funksiyadır.
3) Əgər ən kiçik, isə ən böyük variantdırsa, onda olduqda və olduqda isə olur.
funksiyasını analitik olaraq aşağıdakı kimi də yazmaq olar:
,
burada - uyğun nisbi tezliklərdir. Bu funksiyanı belə də yaza bilərik:


.
- variyasiya sırasının elementləridir (variantı).
funksiyasının qrafiki pilləvari şəklə malikdir və müşahidə olunan variantların qiymətlərinə uyğun nöqtələrdə kəsilməyə malikdir. Sıçrayış kəmiyyəti variantın nisbi tezliyinə bərabərdir.


Qeyd. Variyasiya interval sırası halında dedikdə ci xüsusi intervalın orta nöqtəsi (qiyməti) başa düşülür. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin empirik paylanma funksiyasını da “toplanmış tezliklər” adlandırırlar.
funksiyasını hesablarkən diskretr və interval variyasiya sırasını qurmaq sərfəlidir.
Misal. Telefon stansiyasında bir dəqiqə ərsində səhv qoşulmaların sayına dair müşahidələr aparılmışdır. 30 dəqiqə ərzində aparılmış müşahidələr aşağıdakı nəticələri vermişdir:

Verilən seçmədə diskret variyasiya sırasını, seçmə (empirik) paylanma funksiyasını tapın və onun qrafikini qurun.

Həlli. Aydındır ki, ədədi diskret təsadüfi kəmiyyətdir, alınmış ədədlər isə bu təsadüfi kəmiyyətin qiymətləridir.
Panjirovaniya əməli aparsaq, tezlik və nisbi tezliklərə görə cədvəl qura bilərik: