Mövzu 9 Diferensial tənliklər Tərif

8.8. İkitərtibli sabit əmsallı xətti bircins olmayan tənliklər

Tutaq ki, bircins olmayan ikitərtibli

(1)
tənliyi verilmişdir, burada p, q əmsalları sabit ədədlər, – məlum funksiyadır.
Teorem 1. Bircins olmayan (1) tənliyinin ümumi həlli
(2)
bircins tənliyinin ümumi həlli ilə verilən bircins olmayan (1) tənliyin xüsusi həllinin cəminə bərabərdir.
İsbatı. Əgər y₀ bircins (2) tənliyinin ümumi həlli və y* uyğun bircins olmayan (1) tənliyinin xüsusi həllidirsə, onda
və y*^_{+ p}y*^₊qy* _=
olar.
Bu iki tənliyi tərəf-tərəfə toplasaq və cəmin törəməsinin törəmələrin cəminə bərabər olduğunu nəzərə alsaq
(y₀₊ y*)^_{+ p}( y₀₊ y*)^₊q( y₀₊ y*) _=
alarıq.
Buradan aydındır ki,
y ₌ y₀₊ y* (3)
funksiyası (1) tənliyinin ümumi həlli olacaq.
Teorem2.Tutaq ki, bircins olmayan
y _{+ p}y ₊ qy₌f₁(x) ₊ f₂(x) (4)
_{tənliyinin sağ tərəfi} f₁(x) və f₂(x) funksiyalarının cəmidir. Əgər y₁
y _{+ p}y ₊ qy₌f₁(x)
tənliyinin xüsusi həlli və y₂ isə,
y _{+ p}y ₊ qy₌f₂(x)
tənliyinin xüsusi həllidirsə, onda y_{1 +} y₂ cəmi verilmiş (4) tənliyinin xüsusi həllidir.
funksiyasının bəzi analitik formaları olan xüsusi həlli qeyri-müəyyən əmsallar üsulu ilə tapmaq olar.
Aşağıdakı sadə hallarda tənliyin sağ tərəfindəki funksiyasının şəklinə görə (1) tənliyinin y* xüsusi həllinin şəklini əvvəlcədən gös­tərmək olar. funksiyasının aşağıdakı şəkillərinə baxaq.
1-ci hal. ₌P(x) olduqda, burada P(x) – çoxhədlidir. Bu halda, əgər xarakteristik tənliyinin kökü sıfra bərabər olmazsa, onda y* xüsusi həlli P(x) ilə eyni tərtibə malik olan Q(x) çoxhədlisi şəklindədir; əgər sıfır ədədi xarakteristik tənliyin r dəfə təkrarlanan kökü olarsa, onda xüsusi həlli
y* ₌ x^rQ(x)
olar.
2-cü hal. ₌e^mxP(x) olduqda, burada P(x) müəyyən dərəcəli çoxhədlidir. Bu halda əgər m ədədi xarakteristik tənliyin kökü olmazsa, onda y*₌e^mxQ(x) və əgər m xarakteristik tənliyin r sayda təkrarlanan kökü olarsa, y^*₌x^re^mxQ(x) olar. Burada Q(x) çoxhədlisi P(x) ilə eyni dərəcəli çoxhədlidir.
Xüsusi hal. ₌ae^mx (a, m – sıfırdan fərqli müəyyən ədədlərdir) olarsa. Bu halda əgər m xarakteristik tənliyin kökü olmazsa, onda y^*₌Ae^mx və əgər m xarakteristik tənliyin r dəfə təkrarlanan kökü olarsa, onda y^*₌Ax^re^mx olar. Burada A axtarılan əmsaldır.
3-cü hal. olarsa. Bu halda əgər ədədləri xarakteristik tənliyin kökləri olmazsa, onda

olar.
Əgər ədədləri xarakteristik tənliyin kökləri isə, onda

olar.
Burada və çoxhədlilərin dərəcəsi və çoxhədlilərin dərəcəsinin ən böyüyünə bərabərdir.
Xüsusi hal. (a, b, ,  – sıfırdan fərqli müəyyən ədədlərdir) olarsa. Bu halda əgər ədədləri xarakteristik tənliyin kökləri olmazsa, onda

olar.
Əgər ədədləri xarakteristik tənliyin kökləri olarsa, onda

olar.
Burada A və B axtarılan əmsallardır.