Moswavlis biblioTeka j e m a L k I k n a z e

10

2

+ 11

2

+ 12

2

+ 13

2

+ 14

2

365

n. p. bogdanov-belinski. 

`zepiri angariSi~

s. a. raCinskis saxalxo skolaSi. 1895.

 37

maTematikuri induqciis principi*

maTematikuri induqciis principi*

maTematikuri induqciis principi*

maTematikuri induqciis principi*

maTematikuri induqciis principi*

nebismier mecnierebaSi movlenebis Seswavlisas,

es maTematika iqneba Tu istoria, fizika Tu

medicina, astronomia Tu ekonomika yvelgan da

yovelTvis mTavaria kanonzomierebis dadgena,

romelic erTmaneTTan akavSirebs Sesaswavli

movlenis TiToeul elements. xSirad SesaZlebeli

xdeba aRmoCenili kanonzomiereba gamoisaxos

formuliT. adamianma, Tu esmis formulebis 

`ena~,

SesaZloa uceb dainaxos kanonzomierebebis

aRmosaCenad, zogjer Zalian grZeli da

Sromatevadi saqmianobis Sedegi.

magram, Sen TavSi rom mkvlevari aRzardo,

araa sakmarisi gaigo mxolod kvlevis saboloo

Sedegebi. aucilebelia Cawvde TviT kvleviTi

muSaobis process da aiTviso is meTodi,

**

romelic gamoyenebuli iyo saboloo Sedegebis

misaRebad. mecnierebi muSaobaSi sxvadasxva

meTodebs iyeneben. TiToeul mecnierebaSic ki

maTi ricxvi uamravia. Cven ganvixilavT mxolod

maTematikuri induqciis meTods da mis gamoyenebas.

induqcias*** uwodeben msjelobis meTods,

romelsac kerZo magaliTebidan raime zogad

daskvnamde mivyavarT.

magaliTi 1.

 kenti 1, 3, 5, 7, ...,  (2n-1)

ricxvebis SekrebiT n cvladis sxvadasxva

mniSvnelobisaTvis (n = 1, 2, 3, ...) miviRebT:

_  hipoTeza SeiZleba ase CamovayaliboT: 

`yvela

naturaluri

 n-

saTvis marTebulia toloba

:

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n

2

amrigad, xuTma ganxilulma magaliTma migviy-

vana hipoTezamde, romelic mtkicdeba, rom

marTebulia.

magaliTi 2.

 maTematikosebi eZebdnen ra

mxolod martivi ricxvebis misaReb formulas,

gamoTqvamdnen sxavadasva  hipoTezas. am mizniT

leonard eilerma Seamowma formula:

41

2

+

+

=

ϕ

x

x

)

x

(

Tu am formulaSi (samwevrSi) CavsvamT

naturalur 1,  2,  3,  4,  5 ricxvebs miviRebT:

.

71

)

5

(

;

61

)

4

(

;

53

)

3

(

;

47

)

2

(

;

43

)

1

(

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

mocemuli samwevris yvela miRebuli mniS-

vneloba martivi ricxvia. Tu x-is nacvlad

CavsvamT 0, -1, -2, -3, -4 ricxvebs, miviRebT:

mocemuli samwevris mniSvnelobebi x cvladis

miTiTebuli mniSvnelobebisaTvisac agreTve

martivi ricxvebia.

ganxiluli msjelobis safuZvelze iqmneba

hipoTeza, rom samwevris 

ϕ(x) mniSvneloba x-is

n e b i s m i e r i   m T e l i   m n i S v n e l o b i s a T v i s

(0,

±1, ±2, ±3, ...) martivi ricxvia. magram

gamoTqmuli hipoTeza mcdaria, radgan roca

x = 41, maSin 

.

e.i. miiReba Sedgenili da ara martivi ricxvi.

damoukideblad Seamowme hipoTeza, roca

x = 40.

amrigad, msjelobis erTsa da imave meTods

zog SemTxvevaSi swor daskvnamde mivyavarT

(pirveli magaliTi), xolo zogSi _ mcdar

daskvnamde (meore magaliTi). amis mizezi isaa,

_  

`jami, romelic erTi

Sesakrebisagan Sedgeba

~, aseTi

g a m o T q m a   m a T e m a t i k a S i

miRebulia.

2

2

2

2

2

5

25

9

7

5

3

1

4

16

7

5

3

1

3

9

5

3

1

2

4

3

1

1

1

1

=

=

+

+

+

+

=

=

+

+

+

=

=

+

+

=

=

+

=

=

yvela moyvanil magaliTSi advili SesamCnevia:

pirveli kenti naturaluri ricxvebis jami

SesakrebTa ricxvis kvadratis tolia. bunebrivad

dagvebadeba kiTxva: xom ara aqvs adgili am Tvisebas

SesakrebTa nebismieri ricxvisaTvis? Cveni varaudi

* principi (laT. principium dasawyisi, dasabami) _ romelime Teoriis, moZRvrebis, mecnierebis da misT. ZiriTadi

amosavali debuleba; saxelmZRvanelo idea.

** meTodi (berZ. methodos) _ 1. bunebisa da sazogadoebrivi cxovrebis movlenaTa kvlevis, Secnobis xerxi. mag.,

eqsperimentuli meTodi. 2. xerxi, wesi, wesebis sistema raime moRvaweobaSi. miznis miRwevis saSualeba.

*** induqcia (laT. inductio) _ azrovnebis meTodi _ kerZo faqtebidan, calkeuli debulebebidan zogadi daskvnebis

gamotana (sapirisp. deduqcia).

38

maTematikuri induqciis principi

rom am msjelobebSi daskvna ramdenime magaliTis

ganxilvis Sedegad keTdeba, romlebic yvela

SesaZlo SemTxvevas ar moicavs, amitom msjelobais

am meTods 

arasrul induqcias

 uwodeben.

rogorc vxedavT, arasruli induqciis meTods

ar mivyevarT sruliad saimedo daskvnamde (swored

amitom Secda ferma, gv. 30), magram is imiTaa

sasargeblo, rom saSualebas gvaZlevs Camova-

yaliboT hipoTeza, romelic Semdgom SeiZleba

davamtkicoT an uarvyoT. magram Tu daskvna yvela

SemTxvevis ganxilvis safuZvelze keTdeba, maSin

msjelobis aseT meTods 

srul induqcias uwo-

deben.

 es meTodi maSin gamoiyeneba, roca

SemTxvevaTa ricxvi sasrulia (da ar aris

`metismetad didi~).

magaliTad: davamtkicoT, rom yoveli natura-

luri ricxvi n, romelic 2

≤ n ≤ 15 utolobas

akmayofilebs, an martivi ricxvia, an gamoisaxeba

araumetes sami martivi ricxvis namravlis saxiT.

damtkicebisaTvis ganvixiloT TiToeuli

naturaluri ricxvi 2-dan 15-mde. 2, 3, 5, 7, 11,

13 ricxvebi martivia. 4, 6, 9, 10, 14, 15 ricxvebi

SeiZleba warmovidginoT ori martivi ricxvis

namravlis saxiT, xolo danarCeni 8 da 12 ricxvebi

_ sami martivi ricxvis namravliT.

davubrundeT tolobas:

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n

2.

es toloba SeiZleba ganvixiloT, rogorc

cvladis Semcveli winadadeba da moxerxebu-

lobisaTvis nebismieri naturaluri n-isaTvis igi

aRvniSnoT A(n)-iT. maSin A(1), A(2), A(3), A(4),

A(5)-is WeSmariteba niSnavs mocemuli formulis

marTebulobas, roca n=1, n=2, n=3, n=4, n=5

(rogorc dasawyisSi vaCveneT).

radganac  A(5) winadadeba WeSmaritia:

2

5

9

7

5

3

1

=

+

+

+

+

, amitom

e.i. WeSmaritia A(6) winadadebac.

amrigad damtkicebulia, rom A(5)-is

WeSmaritebidan gamomdinareobs  A(6)-is

WeSmariteba. Tu nacvlad sityvisa 

`gamomdina-

reobs

~ gamoviyenebT niSans ⇒, maSin winadadeba

`A(5)-dan gamomdinareobs A(6)~ mokled ase

Caiwereba:    A(5)

⇒ A(6).

davamtkicoT, rom A(k)

⇒ A(k +1). es

niSnavs, rom 

2

k

)

1

k

2

(

...

5

3

1

=

−

+

+

+

+

 to-

lobidan gamomdinareobs

 toloba.

marTlac

axla ukve cxadia, rom A(6)

⇒ A(7). zustad

aseve  A(7)

⇒ A(8); A(8) ⇒ A(9)  da a.S.

aseTnairad SeiZleba mivaRwioT nebismier n

naturalur ricxvs da misTvis davamtkicoT

A(n). winadadebis WeSmariteba. sxvanairad rom

vTqvaT, A(n) winadadeba WeSmaritia nebismieri

naturaluri n-isaTvis, Tu igi WeSmaritia n=1-

isaTvis da nebismieri k-saTvis  A(k)-dan

gamomdinareobs  A(k+1). magram miuxedavad

naTqvamis sicxadisa da damajeroblobisa, aq saqme

gvaqvs axal maTematikur principTan, romelsac

maTematikuri induqciis principi

 ewodeba:

Tu 

A(n)

 winadadeba, romelSic 

n

 natu-

raluri ricxvia, WeSmaritia 

n=1

-isaTvis,

da iqidan rom igi WeSmaritia 

n=k

-saTvis

(sadac 

k

 nebismieri naturaluri ricxvia)

gamomdinareobs misi WeSmariteba momdveno

n=k+1

 -isaTvisac. maSin 

A(n)

 winadadeba

WeSmaritia iqneba nebismieri naturaluri

n

 ricxvisaTvis

.

maTematikuri induqciis principi naturalur

ricxvTa ariTmetikis erT-erTi im aqsiomaTagania*,

romelsac farTod iyeneben maTematikaSi. am

principebze dafuZvnebulia mtkicebaTa meTodi,

romelsac 

maTematikuri induqciis meTodi

ewodeba (sruli induqcia).

am meTodiT damtkiceba ori nawilisagan

Sedgeba: pirvel nawilSi amtkiceben (amowmeben)

A(1) winadadebis WeSmaritebas; meore nawilSi

varaudoben, rom A(n) WeSmaritia n=k-sTvis da

amtkiceben mis WeSmaritebas n = k + 1-isaTvis ,

e.i. asabuTeben Semdegs: A(k)

⇒ A(k+1).

Tu damtkicebis orive nawili Catarebulia,

maSin maTematikuri induqciis principis

safuZvelze A(n) winadadeba WeSmariti iqneba

nebismieri naturaluri n ricxvisaTvis.

axla SegviZlia CavTvaloT, rom zemoT

ganxiluli (1) toloba marTebulia nebismieri

naturaluri  n ricxvisaTvis, radgan igi

m a r T e b u l i a   n = 1- s a T v i s   d a   a m a s T a n

A(k)

⇒ A(k+1).

* aqsioma (berZ. axi

õ

ma) ama Tu im mecnierebaSi amosavlad miRebuli debuleba, romlis WeSmariteba daumtkiceblad

aris miRebuli, magram aucilebelia sxva debulebaTa dasamtkiceblad.

 39

maTematikuri induqciis principi

ganvixiloT magaliTebi.

magaliTi 1.

 mocemulia mimdevroba:

...

,

1

4

1

...

,

35

1

,

15

1

,

3

1

2

−

n

ipoveT misi pirveli n wevris jami.

amoxsna:

 jer CamovayaliboT hipoTeza da

Semdeg igi davamtkicoT sruli induqciis

meTodiT. gamovTvaloT saZiebeli jamis ramdenime

pirveli mniSvneloba:

S

1

, S

2

, S

3

, S

4

, ...

;

5

2

15

6

15

1

S

15

1

3

1

S

1

2

=

=

+

=

+

=

;

7

3

35

1

5

2

35

1

S

35

1

15

1

3

1

S

2

3

=

+

=

+

=

+

+

=

;

9

4

63

28

63

1

7

3

63

1

S

63

1

35

1

15

1

3

1

S

3

4

=

=

+

=

+

=

+

+

+

=

Tu davakvirdebiT am jamebs, SevamCnevT, rom

mricxvelSi dgas saZiebeli jamis nomeri, xolo

mniSvnelSi _ gaorkecebuli nomers damatebuli 1.

amrigad, iqmneba hipoTeza, rom

1

2

1

4

1

...

35

1

15

1

3

1

2

+

=

+

+

+

+

+

n

n

n

    (2)

(2) tolobis marTebulebis dasamtkiceblad

visargebloT maTematikuri induqciis meTodiT.

es toloba naturaluri n-isaTvis aRvniSnoT

A(n)-iT.

1.

A(1) WeSmaritia, radgan 

1

2.

davamtkicoT, rom A(k)

⇒ A(k+1).

maSasadame davuSvaT hipoteza WeSmaritia rome-

liRac nebismieri k-saTvis da vamtkicebT mis

WeSmaritebas (k+1)-saTvis.

.

1

k

2

k

1

k

4

1

...

35

1

15

1

3

1

S

2

k

+

=

−

+

+

+

+

=

[

][

]

1

)

1

k

(

2

1

k

3

k

2

1

k

)

1

k

2

)(

3

k

2

(

)

1

k

)(

1

k

2

(

)

1

k

2

)(

3

k

2

(

1

k

k

2

k

2

)

1

k

2

)(

3

k

2

(

1

)

3

k

2

(

k

)

1

k

2

)(

3

k

2

(

1

1

k

2

k

1

)

1

k

(

2

1

)

1

k

(

2

1

1

k

2

k

1

)

1

k

(

4

1

1

k

2

k

1

)

1

k

(

4

1

S

S

2

2

2

k

1

k

+

+

+

=

+

+

=

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

−

+

+

+

+

+

=

=

−

+

+

+

=

−

+

+

=

+

maTematikuri induqciis meTodiT mtkicebis

orive nawili Catarebulia. maSasadame, (2)

toloba WeSmaritia n-is nebismieri naturaluri

mniSvnelobisaTvis.

1

 

L   

mocemulia mimdevroba ariTmetikuli progresiis saxiT:

a

1

, a

2

, a

3

, ..., a

n

,   sadac

a

2

 = a

1

+d;

a

3

 = a

2

+d = a

1

+d+d=a

1

+2d;

a

4

 = a

3

+d=a

1

+2d+d = a

1

 +3d.

d aris ariTmetikuli progresiis sxvaoba. Camoayalibe hipoTeza, progresiis

nebismieri wevrisaTvis da misi WeSmariteba daamtkice maTematikuri induqciis

meTodiT.

2

 

L   

mocemulia mimdevroba geometriuli progresiis saxiT:

b

1

, b

2

, b

3

, ..., b

n

, . . . sadac

b

2

 = qb

1

;  (q

≠1)

b

3

 = qb

2

= q

2

b

1

;

b

4

 = qb

3

= q

3

b

1

.

q geometriuli progresiis mniSvnelia. Camoayalibe hipoTeza progresiis nebismieri wevrisaTvis

da misi WeSmariteba daamtkice maTematikuri induqciis meTodiT.

3

 

L   

daamtkice: geometriuli progresiis pirveli n wevris jami    

q

q

b

n

−

−

=

1

)

1

(

S

n

1

4

 

L   

mocemulia mimdevroba:  

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+ )

1

(

1

n

n

.

40

maTematikuri induqciis principi

es niSnavs, rom mimdevrobas aqvs saxe:    

.

)

1

(

1

,

...

,

4

3

1

,

3

2

1

,

2

1

1

+

⋅

⋅

⋅

n

n

gamoTvaleT am midevrobis pirveli n wevris jami.

5

 

L   

daamtkice, rom 1-dan n-mde naturalur ricxvTa kvadratebis mimdevrobis jami udris:

6

)

1

2

)(

1

(

+

+

n

n

n

 e. i. 

.

n

n

n

n

...

6

)

1

2

)(

1

(

3

2

1

2

2

2

2

+

+

=

+

+

+

+

 hipoTeza mocemulia.

6

 

L   

daamtkice, rom           

.

2

)

1

(

...

3

2

1

2

3

3

3

3

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

=

+

+

+

+

n

n

n

7

 

L  

gaixsene bines formula da daamtkice misi WeSmariteba.

miTiTeba:    

.

;

2

5

3

4

5

5

2

1

2

5

1

2

5

3

4

5

5

2

1

2

5

1

2

2

−

=

+

−

=

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

+

=

+

+

=

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

8

 

L   

maTematikuri induqciis meTodiT daamtkice, rom fibonaCis mimdevrobis pirveli n wevris

kvadratebis jami udris 

.

1

n

n

+

⋅ a

a

m. k. esxeri. 

`sami sfero~. 1945.

mor

mor

mor

mor

moric kornelis esxer

ic kornelis esxer

ic kornelis esxer

ic kornelis esxer

ic kornelis esxeri

i

i

i

i

holandieli mxatvari, grafikosi, mravali graviurisa da liTografiis avtori m. k.

esxeri daibada 1898 wlis 17 ivniss leeuvardenSi (niderlandebSi). yrmoba gaatara arnhe-

imSi da iqve swavlobda sko-

laSi. adreul asakSi cxadi

gaxda misi miswrafeba xat-

visadmi da swavla gaagrZela

arqiteqturis  fakultetze.

magram holandieli mxatvris

de moskitas rCeviT, arqiteq-

turas Tavi daaneba da mu-

Saoba daiwyo grafikaSi. swav-

lis damTavrebis Semdeg, esxeri cameti weli cxovrobda

italiaSi. igi gansakuTrebiT moxibluli iyo romiT. bevrs

mogzaurobda fexiT samxreT italiaSi da espaneTSi.

1935 wels, italiaSi faSizmis damkvidrebis Semdeg

gadasaxlda SveicariaSi. 1941 wels dabrunda samSobloSi _

baanSi, xolo 1970 wlidan sikvdilamde cxovrobda larenSi.

gardaicvala 1972 wlis 27 marts.

msoflio aRiarebas esxerma 1951 wels miaRwia, rodesac

misi ramdenime namuSevari gamoqveynda cnobil JurnalebSi:

`The Studio~, `Time~ da `Life~.

1954 wels amsterdamSi Catarda maTematikosTa saerTa-

Soriso kongresi da masTan dakavSirebiT moawyves esxeris

didi gamofena. mecnierebma mis namuSevrebSi SeniSnes bevri

saerTo maTematikis zogad ideebTan, maSinve aRiares da Seiyvares

`TavianTi~ mxatvari. am droidan moyolebuli esxeris naxatebi

xSirad ibeWdeba fizika-maTematikur gamocemebSi.

esxeri ar malavda, rom cudad icoda maTematika, magram

ambobda: `me ufro xSirad maTematikosebTan vgrZnob did siax-

loves, vidre kolega mxatvrebTan~. leonardo da vinCisa da

albrext diureris msgavsad esxeri didad afasebda wesier

mravalwaxnagebs, xuT platoniseul sxeuls: tetraedri, heqsaedri,

oqtaedri, dodekaedri da ikosaedri. igi gaocebuli iyo maTi

srulyofilebiT da ambobda, rom isini ganasaxiereben harmoniisa

da wesrigisadmi adamianis swrafvis somboloebs. es sxeulebi

ar arian adamianis gonebis nayofi, radgan isini arsebobdnen

bunebaSi kacobriobis Seqmnamde gacilebiT ufro adre.

esxeri Tavis naSromebSi Taviseburad asaxavs samyaros

usasrulobas, sivrcisa da drois erTianobas, ar arsebul

obieqtebs, iluziebs da sxv.

sainteresoa, rom m. k. esxeris naxatebis didi koleqcia

Seagrova aSS-is yofili prezidentis, Teodor ruzveltis

SviliSvilma kornelius ruzveltma.

avtoportreti. 1943.

 41

arqimedes aRmoCena

arqimedes aRmoCena

arqimedes aRmoCena

arqimedes aRmoCena

arqimedes aRmoCena

Zv. w. 323, daaxloebiT 33 wlis asakSi

gardaicvala aleqsandre makedoneli _ didi

aleqsandre. misi monarqia daiSala. aTenSi

Zalaufleba xelSi Caigdo antimakedonelma

reaqciam da misi maswavlebeli, udidesi moaz-

rovne, filosofosi, platonis moswavle aris-

totele (Zv. w. 384-322) iZulebuli gaxda

TavSesafaris saZebnelad gaqceuliyo. igi evbe-

aze q. qaldkideaSi gadasaxlda, sadac male 63

wlis asakSi gardaicvala. aTenma Tavisi poli-

tikuri mniSvneloba da pirveloba rogorc

inteleqtualurma centrma TandaTan dakarga.

am dros mecnieruli interesebis centrma egvi p-

teSi, didi aleqsandres mier daarsebul qalaq

aleqsandriaSi gadainacvla.

ptolomei  I soterma (

`mxsneli~) lages

Zem, aleqsandre makedonelis mxedarTmTavarma

da megobarma egvi pte sammarTvelod miiRo didi

aleqsandres gardacvalebis Semdeg diadoqosebs

Soris atexili brZolis Sedegad, Zv. w. 305

Tavi mefed gamoacxada (Zv. w. 305-283) da

ptolomeebis _ lagidebis* dinastias safuZ-

veli Cauyara. man Tavis sasaxleSi miiwvia

aristoteles moswavle demetria falerski

da daavala Seeqmna aristoteles skolis _

`likeis~ (liceumis) msgavsi skola. ase Seiqmna

aleqsandriis museioni, romlis biblioTekaSi

Tavi mouyares aristoteles Sromebs.

ptolomei II filadelfosi (

`dis mosiyva-

rule

~) (Zv. w. 285-246) xelovnebasa da

mecnierebas mfarvelobda da misi mmarTvelobis

dros q. aleqsandria, kerZod museioni elinis-

turi kulturis centri gaxda. aq saxelmwifos

xarjze mecnierebi erTad cxovrobdnen. maT

gankargulebaSi ori didi biblioTeka iyo, sadac

Zv. w. 48-Si  700 000 tomi inaxeboda. male

biblioTelkam wignebis gamocema daiwyo, rasac

xeli Seuwyo egvi ptis papirusis arsebobam

(saweri masalis damuSavebaSi egvi ptes buneb-

rivi monopolia hqonda). es pirobebi gansakuT-

rebiT uwyobdnen xels mecnierebis ganviTarebas.

msoflios yvela kuTxidan aleqsandriaSi Tavs

iyridnen mecnierebi da mTeli antikuri**

periodis ganmavlobaSi aq mecnieruli skolebi

gaifurCqna. amitom elinistur periodSi, bunebis

movlenebis kvlevaSi garkveuli warmatebebi

aleqsandriis museionerebTanaa dakavSirebuli.

es warmatebebi garkveul wilad arqimedes

saxelTanacaa dakavSirebuli.

Zv, w, 287 sirakuzSi (sicilia), cnobili

astronomis, fideas ojaxSi daibada Zveli

berZeni mecnieri arqimede. didi drois ganmav-

lobaSi igi aleqsandriaSi swavlobda da mTeli

Tavisi sicocxlis manZilze museionebis

swavlulebTan mecnieruli kavSiri ar gauwyve-

tia. am udidesma moazrovnem: inJinerma, astro-

nomma, fizikosma, maTematikosma Tavisi SromebiT

xeli Seuwyo kacobriobis ganviTarebas da

waruSleli kvali datova istoriaSi. am geni-

osis naazrevi yovelTvis aRfrTovanebas iwvevs.

man aRmoaCina sxeulTa curvis kanoni, berketis

wonasworobis piroba da simZimis centris

`momeciT sayrdeni wertili

da dedamiwas avwev

~.

arqimede

* ptolomeebi, lagidebi (berZ. Ptolemaioi, Lagidai), samefo dinastia elenistur (epoqa, rodesac ayvavebuli iyo

Sereuli berZnul-aRmosavluri kultura _ aleqsandre makedonelis monarqiis daSlidan romis mier saberZneTisa da

aRmosavleTis dapyrobamde _ Zv. w. I saukune) egvipteSi.

** antikuri (laT. antiguus _ Zveli) _ Zveli berZnuli an romauli (kultura, xelovneba, sazogadoebrivi wyoba da sxva).