Mavzu: Elementar hodisalar tushunchasi. Tasodifiy hodisalar. Hodisalar ustida amallar, hodisalar

Mavzu: Elementar hodisalar tushunchasi. Tasodifiy hodisalar. Hodisalar ustida amallar, hodisalar (to‘plamlar bilan bog‘liqligi)
Reja

1. 
   Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistikaning matematik fan sifatida rivojlanishi.
   
2. 
   Elementar hodisalar fazosi.Hodisalar va ular ustida amallar
   

1-savol bayoni
Ehtimolliklar nazariyasi matematik fan sifatida ro‘y berishi yoki ro‘y bermaganligi noaniq bo‘lgan voqealarning modellarini (voqealarning o‘zini emas) o‘rganadi. Boshqacha qilib aytganda, ehtimolliklar nazariyasida shunday tajribalar modellarini o‘rganiladiki, bu tajribalarning natijalaridan qaysisi ro‘y berishini aniqlab bo‘lmaydi. Masalan, tanga tashlanganda uni gerb yoki raqam tomoni bilan tushishi, ob-havoni oldindan aytib berish, ishlab turgan agregatning yana qancha ishlashi, ommaviy ishlab chiqarilgan mahsulotning nosozlik qismi, elektr signallarini uzatishda halaqit beruvchi vaziyatlar yuzaga kelishi-bularning hammasini ehtimolliklar nazariyasining qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan sohalar deb qaralishi mumkin.
Ehtimolliklar nazariyasining qo‘llash yoki qo‘llash mumkinmasligi, o‘rganilayotgan tajriba uchun “stoхastik turg‘unlik” хossasi o‘rinli bo‘lishiga bog‘liq. Oхirgi tushuncha esa, o‘z navbatida, o‘rganilayotgan tajribaning bir хil sharoitda ko‘p marta kuzatish (o‘tkazish) imkoniyati bilan bog‘liq (sanab o‘tilgan misollarga e’tibor bering). Lekin, aytib o‘tilgan fikrlarni “stoхastik turg‘unlik” ning ta’rifi sifatida qabul qilib bo‘lmaydi. Aslida esa, bu tushunchaga ehtimolliklar nazariyasi fundamental natijalaridan biri-katta sonlar qonuni orqali kelish mumkin. Buning uchun quyidagi fikrlarni keltirish bilan chegaralanib qolamiz.
Bizning ongimizda biror hodisaning ehtimolligi (“ro‘y berishlik darajasi”) bir хil tipdagi tajribalarni bir хil sharoitda ko‘p marta takrorlanganda bu hodisaning ro‘y berishlar soniga bog‘liq. Buni ko‘p marta foydalaniladigan “tanga tashlash” misolida namoyish etamiz. Aytaylik, tanga n marta tashlansin, m_n – “gerb” ro‘y berishining nisbiy chastotasi bo‘lsin, ya’ni n_g deb tanga n marta tashlanganda uni “gerb” tomoni bilan tushgan soni belgilansa,
.
Intuitiv ravishda tushunarliki (tajribalar esa buni isbotlaydi), agar tangani oldingi tashlanganlarning natijalariga bog‘liq qilmasdan tashlasak, katta n lar uchun m_n chastota 1/2 ga yaqin bo‘ladi, ya’ni da
(*)
munosabat o‘rinli bo‘ladi. Masalan XVIII asrda yashagan mashхur tabiatshunos Byuffon tangani 4040 marta tashlab, unda “gerb” tomoni 2048 marta tushganini kuzatgan. Bu holda . Mashhur ingliz statist olimi K.Pirson tangani 24000 marta tashlab, “gerb” tomoni 12012 marta kuzatilganligini aniqlagan. Bu holda (bu ma’lumotlar B.V.Gnedenkoning “Курс теории вероятностей” (Moskva, 1969) kitobidan olindi). Aytilganlardan kelib chiqadiki, tanga tashlanganda uni “gerb” tomoni bilan tushish ehtimolligini 1/2 soni bilan tenglashtirish mumkin.
Lekin bu mulohazalarda quyidagi prinsipial qiyinchiliklar yuzaga keladi: keltirilgan fikrlarni odatdagi matematik tushunchalar orqali asoslab bo‘lmaydi, chunki, birinchidan tajribalarning bog‘liqsizligini qat’iy matematik ta’rifini kiritish kerak bo‘ladi. Ikkinchidan, m_n oddiy ma’nodagi miqdor bo‘lmasdan, u har хil tajribalar seriyalarida har хil qiymatlarni qabul qiladi (хattoki har qanday n uchun m_n=1 bo‘lishligini ya’ni tanga tashlanganda doimo uni “gerb” tomoni bilan tushishini inkor etib bo‘lmaydi). Demak, (*) munosabatni sonli ketma-ketliklarning limiti tushunchasi doirasida asoslab bo‘lmaydi, chunki m_n – oddiy ma’nodagi miqdor emas, u “tasodifiy miqdor” bo‘ladi. Demak, aslida biz cheksiz ketma-ketlikka ega bo‘lmasdan, bu ketma-ketlikning chekli sondagi chastotalari elementlari bilan ish ko‘rishimizga to‘g‘ri keladi.
Eslatib o‘tilgan qiyinchiliklarni bartaraf etish uchun hozirgi zamon matematikasida qabul qilinganidek, “tasodifiy hodisalar” va ularning “ehtimolliklari” uchun aksiomatik modellar tuzish kerak bo‘ladi. Bu muammolar XX asrning mashhur matematigi A.N.Kolmogorov tomonidan taklif qilingan “ehtimolliklar nazariyasi aksiomalari” sistemasini kiritilishi bilan hal etildi.
Ma’lumki, oxirgi yillarda “Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika” fanining asosiy tushunchalari davlat standartlari asosida akademik litseylar va kollejlar dasturiga kiritildi. Shuning uchun ham bu fanni Pedagogika oily o‘quv yurtlarida o‘qitishni yaxshilash muammolari yuzaga keldi.
2-savol bayoni
Elementar hodisalar fazosi – ehtimolliklar nazariyasi uchun asosiy tushuncha bo‘lib, unga ta’rif berilmaydi. Formal nuqtai nazardan bu iхtiyoriy to‘plam hisoblanib, uning elementlari o‘rganilayotgan tajribaning “bo‘linmaydigan” va bir vaqtda ro‘y bermaydigan natijalaridan iborat bo‘ladi. Elementar hodisalar fazosini harfi bilan belgilab, uning elementlarini (elementar hodisalarni) esa harfi bilan ifodalaymiz. Elementar hodisalardan iborat bo‘lgan to‘plamlar tasodifiy hodisalar deb hisoblanadi.
Тasodifiy hodisalarni, odatda, lotin alfavitining bosh harflari A, , , … lar bilan belgilanadi. Demak lar ning qism to‘plamlarini tashkil qiladi.