H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

10.5.3. 

Sabit əmsallı xətti diferensial tənliklərin 

            

vektor modelləşdirilməsi 

 

 

Bütün xətti obyektlər eyni struktura malik olduğundan onları vahid modeli 

şəklində  yazmaq  mümkündür.  Əgər  ilkin  tənlik  n  tərtibli  bir  tənlikdən  ibarət 

olarsa  onu  əvəldə  göstərilmiş  qaydalara  əsasən  system  tənliyə  gətirmək 

lazımdır:  

dx/dt=Ax+Bv(t).                                       (10.25)             

 

Burada 

n

R

x



–  n–ölçülü;  v(t)–  m–ölçülü  vektor;  A,B  –  müvafiq  olaraq 

n

n



 və 

m

n



ölçülü matrislərdir.  

Şəkil 10.19-da Simulink paketində modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir. 

 

 

Şəkil 10.19. Tənlik (10.25) –in modelləşdirmə sxemi 

 

Misal 10.10.  Fərz edək ki, tənlik  

 

.

2

)

0

(

,

5

)

0

(

),

(

4

.

0

2

),

(

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

















x

x

t

x

x

x

t

x

x









          (10.26)      

Burada 

































1

0

0

2

B

,

4

.

0

2

1

0

A

. 

 

v

1

=1+0.2sin(4t),   v

2

=1. 

Şəkil  10.20-də  müvafiq  modelləşdirmə  sxemi,  b-də  isə  x

1

(t)  ,  x

2

(t) 

həllərinin qrafikləri göstərilmişdir.  

 

314 

 

 

a) 

 

 

b) 

Şəkil 10.20. Tənlik (10.26)-in həll sxemi (a) və 

 

həllərin qrafiki (b) 

 

Gain  və  constanta  bloklarına  matris  orta  mötərizələrin  içərisində  sətir-

sətir daxil edilir. Hər sətirdən sonra ; yazılır. 

 

     

10.6. Xaotik proseslər 

 

      Belə xaotik proseslərin riyazi modelləri dəterminik təbiıtı malik 

olur.Determinik xaosun klassik modellərindən biri Lorens tənliyidir (1963) : 

  

u

xy

bz

z

xz

y

rx

y

x

y

x

























,

),

(



                                           (10.27)                

       Parametrlərin  bəzi,  məsələn,  σ=10,  r=97,  b=8/3    qiymətlərində  (10.27) 

tənliyinin  həlli  pequlyar  olmayan  (müəyyən  qanuna  tabe  olmayan)  rəqslərə 

oxşayır.  

 

315 

 

     Şəkil  10.21-də  (10.27)  qeyri-xətti  tənliklər  sisteminin  Simulinkdə  həll 

sxemi,  şəkil  10.22-də  x(t),  y(t)  və  z(t)  koordinatları  üzrə  requlyar  olmayan 

rəqslər  (həll),  şəkil  10.23-də  isə  traektoriyaların  yığıldığı  attraktorlar  (cazibə 

orbitləri) göstərilmişdir.   

 

Şəkil 10.21. Lorens tənliyinin



r=97, b=8/3

 qiymətlərində və  

                  х(0)=1, у(0)=z(0)=0 başlanğıc şərtlərində həll sxemi    

 

 

 

 

Şəkil 10.22. Lorens tənliyinin həlli: х(t), у(t) və z(t) 

 

 

316 

 

 

 

Şəkil 10.23. Müxtəlif müstəvilərdə traektoriyaların 

 

yığıldığı atraktorlar    

 

Lorens tənliyinin Matlabda həlli vasitəsi ilə üçölçülü  

attraktorun qurulması  

 

     Şəkil  10.24-də  M-fayldan  istifadə  etməklə  (10.27)  təntiyinin  ode45 

(Dormand-Prince)  üsulu  ilə  həll  proqramı  göstərilmişdir.  Üçölçülü  qrafik 

plot3(.) əmrinin köməyi ilə qurulmuşdur. 

 

 

 

 

 

 

 

Şəkil 10.24. Ədədi həll proqramı 

 

Şəkil 10.25-də Lorens xaosunun üçölçülü attraktoru göstörilmişdir 

 

317 

 

 

Şəkil 10.25 . (X,Y,Z) müstəvisində üçölçülü attraktor 

 

10.7. Diferensial tənliklərin yazılış formaları  

 

     1.  Adi  differensial  tənlik.  Axtarılan  funksiya  (məchul)  bir  dəyişəndən 

(burada t) asılıdır. Xətti halda: 

)

t

(

u

b

)

t

(

y

a

dt

)

t

(

dy

a

dt

)

t

(

y

d

a

0

2

1

2

2

0







. 

y(t) – axtarılan funksiya (məchul), yəni  həll; u(t) – məlum funksiya. 

Abstrakt 

riyaziyatta adətən arqument kimi x qəbul edirlər.Onda törəmə:  dy/ dx. 

     2. Xüsusi törəməli differensial tənlik.  Axtarılan funksiya iki və daha çox 

dəyişəndən x, t,…, asılıdır: 

)

t

,

x

(

u

t

)

t

,

x

(

y

x

)

t

,

x

(

y

2

2















 . 

y(x,t) – axtarılan funksiyadır (məchul), yəni həll.  

     3.  Xətti  differensial  tənlik.  Funksiya  və  onun  törəmələrinə  nəzərən  xətti 

olan tənlik. Məsələn, 

)

t

2

cos(

y

3

y

t

y

2













. 

    4.  Qeyri  xətti  differensial  tənlik.  Funksiya  və  onun  törəmələrinə  nəzərən 

qeyri xətti olan tənlik: 

)

t

(

u

y

e

y

y

2

y

2

t















. 

,

bu

)

t

(

y

dt

)

t

(

dy

)

1

)

t

(

y

(

dt

)

t

(

y

d

2

2

2











 

 

318 

 

bu

)

t

(

ky

dt

)

t

(

dy

2





 

     5.  Qeyri  stasionar  xətti  differensial  tənlik.  Bir  və  ya  bir  neçə  parametri 

zamandan asılı olan tənlik: 

)

t

(

bu

)

t

(

y

)

t

(

a

dt

)

t

(

dy

)

t

(

a

dt

)

t

(

y

d

)

t

(

a

2

1

2

2

0







, 

Məsələn,

)

t

(

bu

y

e

dt

dy

t





. 

     6.Qeyri xətti və qeyri stasionar differensial tənlik: 

 

u

b

)

y

sin(

)

t

(

dt

y

d

0

2

2







, 

      

bu

y

)

t

2

sin(

y

dt

dy

t

dt

y

d

2

2







. 

 

     7. Bircins differensial tənlik. Sağ tərəfi sıfra bərabər olan tənlik. Obyektin 

sərbəst hərəkətini xarakterizə edir: 

F(y,y



, y



)=0,    y(0)=y

0

,   y´(0)=y'

0

. 

Məsələn, 

0

)

t

(

y

a

dt

)

t

(

dy

a

1

0





,   y(0)=y

0

. 

     8.  Qeyri  bircins  differensial  tənldik.  Sağ  tərəfi  sıfra  bərabər  olmayan 

tənlik. Obyektin məcburi hərəkətini xarakterizə edir: 

)

(

0

2

1

2

2

0

t

x

b

y

a

dt

dy

a

dt

y

d

a







. 

     9.  Vəziyyət  dəyişənlərində  yazılmış  tənlik.  Normal  Koşi  forması.  Bir 

tərtibli differensial tənliklərdən ibarət olan tənliklər sistemidir. Xətti halda:  

                 

1

1

x

dt

dx



, 

                 

u

b

x

a

x

a

dt

dx

0

2

2

1

1

2







, 

   

     10.Vektor şəklində yazılış forması: 

 

Du

Cx

y

Bu

Ax

dt

dx









,

. 

 

 

 

319 

 

Çalışmalar -10.1 

 

  

1. Aşağıdakı diferensial tənliklərin analitik (simvolik) həllini tapın.  

 

1. 

2

t

7

dt

dy





,  

7

.

0

)

1

(

y



 

 

2. 

y

cos

t

5

dt

dy

2



,  

4

/

)

0

(

y





 

 

3. 

t

3

e

y

dt

dy







,  

2

)

0

(

y



 

 

4. 

35

y

5

dt

dy





,  

4

)

0

(

y



 

 

5. 

8

y

5

dt

dy

7

dt

y

d

2

2







,  

1

)

0

(

y



, 

2

)

0

(

y





 

 

6. 

t

35

y

15

dt

dy

12

dt

y

d

2

2







,  

0

)

0

(

y



, 

1

)

0

(

y





 

 

7. 

0

y

dt

dy

3

dt

y

d

2

2







 

 

8. 

y

x





, 

 

    

x

y

)

1

x

(

10

y

2











,  

1

)

0

(

x



, 

0

)

0

(

y



 . 

2. Aşağıdakı  diferensial  tənliklərin  ədədi  həllini 

23

ode

,

45

ode

, 

113

ode

, 

s

15

ode

  funksiyalarından  birinin  köməyi  ilə  tapın. 

)

t

(

y

  keçid  prosesinin 

qrafikini qurun. 

 

1. 

0

y

dt

dy

2

dt

y

d

2

2







,  

1

)

0

(

y



, 

0

)

0

(

y





 

 

2. 

t

1

y

dt

y

d

2

2





,  

0

)

0

(

y



, 

5

.

0

)

0

(

y





 

 

3. 

0

y

2

dt

dy

t

2

dt

y

d

)

t

1

(

2

2

2









, 

1

)

0

(

y



, 

1

)

0

(

y





 

 

4.  

y

x

x







, 

                

y

3

x

2

y







,  

2

)

0

(

x



, 

2

.

0

)

0

(

y



 

 

5. 

35

y

5

dt

dy





,  

4

)

0

(

y



 

 

6. 

t

3

e

y

dt

dy







,  

2

)

0

(

y



   

 

7. 

t

2

e

y

y

t

y

)

y

1

(















, 

0

)

0

(

y



, 

0

)

0

(

y





. 

 

320 

 

  

8. Aşağıdakı  ikinöqtəli  sadə  sərhəd  məsələlərini 

0

t

0



, 

10

t

f



 

intervalında simvolik həll edib 

)

t

(

y

 və 

)

t

(

y

 qrafiklərinin verilmiş nöqtələrdən 

keçməsini yoxlayın. 

 

1. 

1

y

5

y









,  

0

)

0

(

y



,  

1

)

1

(

y



.    

 

2. 

1

y

5

y









,  

0

)

1

(

y



,  

0

)

1

(

y





.    

 

3. 

0

y

4

y

2

.

0

y













,  

1

)

0

(

y





,  

0

)

2

(

y





.    

Törəmənin 

)

t

(

y

  qrafikini  belə  qurmaq  olar.  Həll  y -i  aldıqdan  sonra 

)

y

(

diff

dy



  funksiyasının  köməyi  ilə 

)

t

(

y

  törəməsini  alıb 

)

10

,

0

,

dy

(

ezplot

 

funksiyasından istifadə etmək lazımdır. 

     1.  Aşağıdakı  tənzimləmə  obyektləri  üçün  diferensial  tənliklərin 

MATLABda simvolik həllini tapın və ezplot (y, t

0

,t

f

) funksiyasının köməyi ilə 

y(t) həllinin qrafiklərini qurun.  

       

1.1. Koşi məsələsi.  

       1. 

t

e

y

2

y









. 

 

Başlanğıc şərtlər verilməyib – ümumi həlli tapmaq lazımdır. 

       2. 

0

u

,

u

y

3

y

8

.

0

y

2















 

       y(0)=2, y(0)=0  - sərbəst hərəkət. 

       3. 























0

u

,

u

y

4

x

3

y

,

y

3

x

2

x





 

        x(1)=0, y(1)=6 – sərbəst  hərəkət 

        4. 

1

u

,

u

ty

y

2









 

        y(0)=4 - sərbəst və məcburi hərəkətlər 

        5. 

)

t

6

sin(

u

,

u

y

2

y

t

y

t

2















 

        y(0)=0, 

0

)

0

(

y





 - məcburi hərəkət  

        6. 

100

,

0

y

y

)

1

y

(

y

2





















 

        y(0)=1, 

0

)

0

(

y





– sərbəst  hərəkət 

        

1.2. Sadə sərhəd msələsi 

        1. 

).

t

(

u

,

u

ty

y

2











 

       y(1)=0 

        2. 

).

t

(

)

t

2

cos(

u

),

t

2

cos(

y

y



















 

       y(0)=1, 

0

)

2

(

y





 -  sərbəst və məcburi hərəkətlər 

        3. 

0

y

y

2

y

)

4

(











 

       

,

1

)

5

(

y

,

0

)

3

(

y

,

2

)

1

(

y

,

1

)

0

(

y

)

3

(















 - sərbəst hərəkət 

 

321 

 

      4. 





























25

.

0

u

,

8

,

u

4

x

y

)

1

x

(

y

,

y

x

2





 

      x(0)=1,  y(2)=0 -  sərbəst və məcburi hərəkətlər 

      ezplot  (y,  t

0

,t

f

)  funksiyasının  köməyi  ilə  y(t)  və  y (t)  qrafiklərini  bir 

pəncərədə qurub bunların verilmiş nöqtələrdən keçməsini yoxlayın. 

      2.  Aşağıdakı  diferensial  tənliklərin  ədədi  həllini  ode45,  ode23s  və  ya  

digər funksiyaların köməyi ilə tapın (§ 2.8). 

      1.  y =2y+u, u=1, y(0)=1. 

      2.



























.

2

)

0

(

y

,

2

)

0

(

x

,

0

u

,

u

x

y

)

1

x

(

50

y

,

y

x

2







 

 

      3. 



























)

t

2

cos(

u

,

u

x

2

x

4

x

t

u

,

u

x

6

x

2

x

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

1





 

        x

1

(0)=0,    x

2

(0)=1. 

      4. 

t

2

u

,

u

y

3

y

5

.

0

y

2



















 

       y(0)=1, 

4

)

0

(

y





. 

      5. 

)

t

2

sin(

e

u

,

u

2

y

t

y

2

y

t

2

)

4

(



















 

      

.

0

y

,

0

)

0

(

y

,

0

)

0

(

y

,

1

)

0

(

y

)

3

(















 

       6. 

u

y

e

2

y

4

y

t

6

ty

5

y

t

2

2

)

3

(

)

4

(



















 

       

.

3

/

),

t

4

sin(

e

e

u

t

5

t

3



















 

       

2

.

0

)

0

(

y

,

2

/

1

)

0

(

y

)

0

(

y

,

1

)

0

(

y

)

3

(















. 

 

     Qrafik pəncərədə subplot və plot funksiyalarının köməyi ilə x(t), y(t), x

1

(t), 

x

2

(t),  y (t) qrafiklərini qurun.