Xətti tənliklər sisteminin matris şəklində yazılması

Tərs addım. Bu addımda pilləvari sistemin həllini tapmaq tələb olunur. Pilləvari sistem, ümumiyyətlə, sonsuz sayda həllər çoxlu­ğuna malikdir. Əgər pilləvari sistem üçbucaq şəklində olarsa, onda verilən sistem yeganə həllə malik olur. Bu halda sonuncu tənlikdən məchulunu, axırıcı tənlikdən əvvəlkindən məchulunu və bu qayda ilə sistem üzrə geri qayıdaraq qalan məchullarını tapırıq.

1. 
   sistemindəki dəyişənlərin əmsalları ilə sərbəst hədlərdən düzəldilmiş və genişlənmiş matris adlanan matrisi düzəldək:
   

Teorem (Kronekker-Kapelli). (1) sisteminin uyuşan olması üçün onun genişlənmiş matrisinin ranqının əsas matrisin ranqına bərabər olma­sı ( ) zəruri və kafidir.
Belə ki,
1) olduqda (1) sistemi uyuşmayan­dır,
2) olduqda (1) sistemi uyuşandır və bu halda, sis­temin ranqı sis­temdəki məchulların sayını aşmır, yəni və ola bilər:
a) ( -məchulların sayıdır) olduqda, sistemin
həlli yeganədir və həmin həll Kramer düsturları vasitəsilə tapılır,

b) olduqda isə sistemin həlli sonsuz saydadır və bu həll belə bir sxem üzrə hesablanır: olduqda, sistemin həllini tap­maq üçün onun əsas matrisinin ­ tərtibli hər hansı bir bazis minoruna uy­ğun sayda tənliyindən yeni sistem qurulur. Həmin sistemdən, əmsalları bazis minorun elementləri olan, r sayda məchullar (bazis dəyişənləri) qalan (n-r) say­da məc­hul­lardan (sərbəst dəyişən­lər­dən) asılı şəkildə tapılır.