1
|x-x|
Ə
mək haqqı,
man
x-x
2
|x-x|
180
-96
96
250
-28
28
240
-36
36
265
-13
13
280
+4
4
275
-3
3
320
+44
44
290
+12
12
360
+84
84
310
+32
32
Yekun
-
264
Yekun
-
88
Orta xətti uzaqlaşma:
I müəssisənin sexində 264:5=52,8 manat,
II müəssisənin sexində isə 88:5=17,7 manat olacaqdır.
Hər iki müəssisənin sexlərində orta əmək ödənişinin təqribən eyni olmasına (276 və 278 manat)
baxmayaq, orta xətti uzaq-laşma II müəssisəyə nisbətən I müəssisənin sexində 3 dəfə yük-sək olmuşdur,
yəni əməyin ödənişinin variasiyası II müəssisəyə nisbətən I müəssisədə 3 dəfə yüksək olmuşdur.
Variasiya əmsalı və onun hesablanması. Variasiya göstərici-ləri mütləq kəmiyyətlərdə ifadə
olunduqlarma görə, müxtəlif əlamətlərin tərəddüd dərəcələrini müqayisə etmək mümkün de-yildir. Öna
görədə əlamətlərin variasiya göstəricilərini hisbi kə-miyyətlərdə ifadə etmək lazımdır. Bu zaman
müqayisə üçün əsas hesabi orta kəmiyyət və ya mediana götürülür. Variasiya genişliyinin, orta xətti
uzaqlaşmanın və orta kvadratik uzaqlaş-manın orta kəmiyyətə nisbətinin faizlə ifadəsi variasiya əmsalı
adlanır. Bu göstəricilər əlamətin variasiyasının müqayisəlili-yini qiymətləndirməklə bərabər, statistika
məcmusunun bir-cinsliyini xarakterizə etməyə imkan verirlər. Variasiya əmsalı 33 faizdən çox
44
olmadıqda, statistika məcmusunu bircinsli hesab etmək olar. Statistika tədqiqatında sosial-iqtisadi
hadisələr haqqında statis-tika məlumatının yekcins olması mühüm əhəmiyyətə malikdir. Əlamətin
variasiyasının nisbi göstəriciləri aşağıdakılardır:
1. Ossilyasiya əmsalı aşağıdakı kimi hesablanır:
R
V
g
═ ── · 100 ;
x
Burada: R- variasiya genişliyi,
x- orta kəmiyyətdir.
2. Xətti variasiya əmsalının düsturu:
d
V
d
═ ── · 100 ;
x
3. Variasiya əmsalı:
σ
V
σ
═ ── · 100 ;
x
Burada: σ - orta kvadratik uzaqlaşmadır.
Dispersiyanın hesablanmasının sadələşdirilməsi usulları. Statistika tədqiqatlarında, xüsusilə, seçmə
tədqiqatında, qarşı-lıqlı əlaqələrin statistik öyrənilməsində dispersiya göstəricisin-dən istifadə edilir.
Bununla əlaqədar olaraq, onun hesablanma-sını sadələşdirmək tələb olunur. Bu məqsədlə onun aşağıdakı
riyazi xassəsələrindən istifadə edilir:
I xassə: Sabit kəmiyyətin dispersiyası sıfra bərabərdir,
II xassə: Əgər əlamətin hər bir qiymətindən hər hansı bir sabit A ədədini çıxsaq, dispersiyanın qiyməti
dəyişməyəcəkdir:
σ
2
(x-A)
= σ
2
Dispersiyanı variantlardan sabit ədədi çıxmaq əsasında he-sablamaq olar.
III xassə: Əgər variantların qiymətlərini sabit A ədədinə (fa-silə kəmiyyətinə) ixtisar etsək, o zaman
dispersiyanın qiyməti d
2
dəfə azalar. Ona görə dispersiyanın həqiqi qiymətini müəy-yən etmək üçün
dispersiyanı d
2
-a vurmaq lazımdır:
σ
2
(x / d)
= σ
2
· d
2
IV xassə: Əgər dispersiyanı istənilən A kəmiyyətindən hesab-lasaq, o bu və yaxud digər dərəcədə
hesablanmış hesabi orta kəmiyyətdən ( x) fərqlənəcəkdir, onda o həmişə hesabi orta kə-miyyətdən
hesablan-mış dispersiyadan böyük olacaqdır:
σ
2
A
> σ
2
x
Bu fərq müəyyən kəmiyyət (x-A)
2
həcmində olacaqdır:
σ
2
A
= σ
2
x
+ (x - A)
2
,
yaxud
σ
2
x
= σ
2
A
+(x - A)
2
.
Orta kəmiyyətdən dispersiya həmişə digər istənilən kəmiy-yətdən hesablanmış dispersiyadan kiçik
olur. Dispersiyanın ri-yazi xassələri onun hesablanmasını əhəmiyvətli dərəcədə sadə-ləşdirməyə və
dispersiyanı an düsturu ilə hesablamağa imkan verir. Dispersiyanın an düsturu aşağıdakı kimidir:
∑ ((x-A):d) f
σ
2
x
═ ─────── ·
d
2
– (x-A);
∑ f
Burada d- fasilə kəmiyyətidir,
A- variantlar sırasından götüriümüş sabit ədəddir,
f - variantların çəkisidir.
45
Bərabər fasiləli variasiya sıralarında orta kəmiyyət, dispersiya və orta kvadratik uzaqlaşma an düsturu ilə
hesablana bilər. Orta kvadratik uzaqlaşma bölgü sıralarının təhlilində mühüm rol oynayır. Qeyri-bərabər
fasiləli variasiya sıralarında dispersiyanı, həmçinin orta kvadratik uzaqlaşmanı, onların hesablanmasını
sadələşdirməyə imkan verən düsturdan istifadə edilməsi məqsə-dəuyğundur.
Alternativ əlamətin variasiyası. Statistikada kəmiyyət əla-mətlərinin variasiya göstəriciləri ilə bərabər,
alternativ əlamətin variasiya göstəricilərinin müəyyən edilməsinin mühüm əhə-miyyəti vardır. Öyrənilən
məcmuda əlamətə malik olan vahid-lər və əlamətə malik olmayan vahidlər olduqda, belə əlamətlərə
alternativ əlamət deyilir. Məsələn, universitetdə işləyən müəl-limlərdən elmi dərəcəsi olan müəllimlər
əlamətə malik olanlar, elmi dərəcəsi olmayanlar isə əlamətə malik olmayanlardır. Mü-əssisədə
işləyənlərin çinsi tərkibinə görə kişi və qadınlara bö-lünməsi, tələbələrin əlaçı və əlaçı olmayanlara
bölunməsi, tələ-bələrin tələbə elmi cəmiyyətinin üzvü olanlara və üzvü olma-yanlara bölunməsi və s.
alternativ əlamətlər adlanırlar.
Statistika məcmu vahidləri N-lə, məcmu vahidlərində əla-mətə malik olan vahidləri M-lə işarə etsək, o
zaman əlamətə malik olan vahidlərin hissəsi təşkil edər:
M
p ═ ── ;
N
Bu zaman əlamətə malik olmayanların hissəsi aşağıdakı kimi müəyyən edilər:
N - M
q ═ ─────;
N
Deməli, əlamətə malik olanlar və əlamətə malik olmayanların hissələrinin cəmi vahidə bərabər olar:
p +
q = 1
Alternativ əlamətlərin tərəddüdlərinin statistika ifadəsində öyrəni-lən əlamətin mövcudluğu 1-lə, onun
olmaması isə 0-la işarə olunur. O zaman alternativ əlamətlərin orta kəmiyyəti:
1· p + 0 · q p + 0
x ═ ─────── ═ ──── = p
p + q p + q
olar, dispersiyası isə
(1-p)
2
p + (0-p)
2
q q
2
p + p
2
q
σ
2
p
═ ────────── = ────── = q
2
p + p
2
q = pq (q + p) = pq
p + q p + q
Beləliklə, alternativ əlamətin dispersiyası ( σ
2
p
=pq) əlamətə malik olanlarla əlamətə malik
olmayanların hissələrinin hasi-linə bərabərdir. Alternativ əlamətin dispersiyasının maksimum qiyməti
0,25-ə bərabərdir. Alternativ əlamətlər haqqında məlu-mat verilmədikdə alternativ əlamətin
dispersiyasının maksi-mum qiymətini götürmək olar.
Dispersiyanın növləri və onların cəmlənməsi qaydası. Təd-qiq olunan əlamətin variasiyası xeyli sayda
müxtəlif amillərin təsiri nəticəsində baş verir. Bu amillərdən bəziləri statistika məcmusunun müəyyən
əlamət üzrə qruplara ayrılması nəticə-sində müəyyənləşdirilir. Statistik məcmuda bütövlükdə əlamə-tin
variasiyasını öyrənməklə bərabər, qruplara ayrılmış məcmu-da əlamətin variasiyasını, həmçinin qruplar
arasında əlamətin variaşiyasının öyrənilməsinin də mühüm əhəmiyyəti vardır. Bu məqsədlə
qruplaşdırılmış statistika materialları əsasında disper-siyanın müxtəlif növlərini hesablamaq lazım gəlir.
Dispersiya ümumi, qrupdaxili, orta qrupdaxili və qruplararası dispersiya növlərinə ayrılır.
Ümumi dispersiya σ
2
bütün amillərin təsiri əsasında əlamətin variasiyasını ölçməyə imkan verir və
aşağıdakı düsturla hesab-lanır:
∑ ( x – x ) f
σ
2
═ ────── ;
∑ f
Burada x - əlamətin ayrı-ayrı qiymətləri,
x - ümumi orta kəmiyyət,
f -variantın çəkiləridir.
Qrupdaxili dispersiya σ
2
i
ayrı-ayrı qruplarda qrupdaxili va-riasiyanı xarakterizə edir. Qrupdaxili
dispersiya uçota alınma-mış amillərin təsiri nəticəsində baş verən təsadüfi variasiyanı əks etdirir və
aşağıdakı düsturla hesablanır:
46
∑ ( x – x
i
) f
σ
2
i
═ ────── ;
n
Burada x
i
- qrup orta kəmiyyət,
n - variantların sayıdır.
Qrupdaxili dispersiyalar asasında orta qrupdaxili dispersiya hesablanır:
∑ σ
i
f
i
σ
2
i
═ ────── ;
∑ f
i
Burada f
i
- qrupdakı variantların çəkisidir.
Qruplaşdırma üçün əsas götürülmüş amil əlamətinin təsiri altında əlamətin variasiyasını öyrənmək
üçün qruplararası dispersiya aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:
∑ ( x
i
– x ) f
i
δ
2
═ ───────── ;
∑ f
i
Burada δ
2
– (delta) əlamətin ümumi variasiyasında qruplaşdırma əlamətinin təsir dərəcəsi,
x
i
- qrup orta kəmiyyət,
x
- ümumi orta kəmiyyət,
f
i
- ayrı-ayrı qrupdakı variantların çəkiləridir.
Qruplararası dispersiya amil əlamətinin təsiri nəticəsində öy-rənilən əlamətin variasiyasını əks etdirir.
Qruplararası disper-siya δ
2
ümumi orta kəmiyyət x ətrafında qrup orta kəmiyyətin x
i
tərəddüdünü
xarakterizə edir. Dispersiyanın növlərini hesab-lamaq məqsədilə əmək məhsuldarlığını öyrənmək üçün
eyni növ məhsul istehsal olunan müəssisənin bir sexində işləyən-lərin sorğusu aparılmış, nəticədə ixtisası
artırma əlaməti üzrə onların bölgüsü aşağıdakı kimi olmuşdur (cəd. 5.11).
Cədvəl 5.11. Sorğu əsasında ixtisası artırmağa görə işləyənlərin bölgüsü.
İşçilərin
№-ləri
Ixtisas artirilib
(hə, yox)
Növbə ərzində məmulat
istehsalı,ədəd
İşçilərin
№-ləri
Ixtisas artirilib
(hə, yox)
Növbə ərzində məmulat
istehsalı, ədəd
1
Hə
24
11
yox
16
2
yox
16
12
Hə
24
3
Hə
22
13
Hə
26
4
yox
18
14
Hə
26
5
Hə
28
15
Hə
26
6
Hə
24
16
Hə
20
7
yox
20
17
yox
16
8
Hə
28
18
Hə
26
9
yox
20
19
Hə
18
10
yox
22
20
Hə
20
Cədvəldəki məlumatdan aydın görünür ki, sorğunun əhatə etdiyi 20 fəhlədən 13 nəfəri ixtisasını
artırmışdır. Bu məlumat əsasında növbə ərzində ümumi orta məmulat istehsalı olacaq:
∑ x 440
x ═ ─── = ─── = 22 ədəd ;
n 20
İxtisasını artırmış işçilərin orta növbəlik məmulat istehsalı təşkil edər:
∑ x 312
x
1
═ ─── = ─── = 24 ədəd ;
n 13
İxtisasını artırmamış işçilərin orta növbəlik məmulat istehsalı isə
∑ x 128
x
2
═ ─── = ─── = 18.2 ədəd olacaqdir.
n 7
Qruplararası dispersiya qruplaşdırma əlamətinin (yəni ixtisası artırma əlamətinin) təsirini əks etdirir.
Dispersiyanın cəmlənmə qaydasından istifadə edərək iki dispersiya haqqında məlumat verildikdə üçüncü
dispersiyanı hesablamaq mümkündür. Dis-persiyanın cəmlənmə qaydasından dispersiya təhlilində,
əlaqənin sıxlığı göstəricilərinin hesablanmasında geniş istifadə edilir. Bunlarla bərabər tipik seçmənin
dəqiqliyinin qiy-mətləndirilməsində və bir sıra digər hallarda dispersiyanın cəmlənmə qaydasından geniş
istifadə oluna bilər. Statistika təh-lilində qruplararası dispersiyanın ümumi dispersiyaya nisbətini
47
xarakterizə edən empirik determinasiya əmsalından geniş isti-fadə edilir. Empirik determinasiya əmsalı
yunan hərfı eta kvad-ratla ( η
2
) işarə edilir və aşağıdakı düsturla hesablanır:
δ
2
η
2
═ ─── ;
σ
2
Bölgü qanunauyğunluğu haqqında anlayış. Əlamətin varia-siyasının qiymətilə tezlikləri arasında
müəyyən asılılıq möv-cuddur. Variasiya bölgü sıralarında dəyişən əlamətin qiyməti artdıqca tezliklər
əvvəlcə artır, sonra bölgü sırasının ortasından azalmağa doğru meyl etməyə başlayır. Deməli, fasiləli
variasi-ya sıralarında dəyişən variasiya əlamətinin dəyişməsi ilə əlaqə-dar tezliklər qanunauyğun
dəyişirlər və tezliklərin belə qanuna-uyğun dəyişməsi bölgü qanunauyğunluğu adlanır.
Variasiya
bölgü
sıralarının
statistik
təhlilinin
mühüm
vəzifə-lərindən
biri
bölgünün
qanunauyğunluğunu və onun xarakterini müəyyən etməkdir.Bölgü qanunauyğunluğunu da ancaq kütləvi
məlumat əsasında müəyyənləşdirmək mümkündür. Bölgünün qanunauyğunluğunu aşkar etmək üçün
variasiya bölgü sırasını qurarkən statistika məcmusunda çox olan məlumatdan istifadə edilməli, bölgü
sıralarının düzgün qurulmasında qrupların opti-mal sayı və fasilə həcmi müəyyən edilməlidir.
Bircinsli statistik məcmu üçün, adətən, bir şiş təpəli bölgü xarakterik olur. Simmetrik bölgü üçün,
bölgü mərkəzindən hər iki tərəfə bərabər duran tezliklər xarakterdir. Belə bölgü üçün hesablanmış orta
kəmiyyət, moda və mediana bir-birinə bəra-bər olur. Belçika statistiki Adolf Ketle bəzi kütləvi
hadisələrin variasiyasını K. Hausson və P.Laplasın təqribən eyni vaxtda kəşf etdikləri bölgü xətasinın
qanununa tabe olmasını göstər-mişdir. Bu bölgünü əks etdirən qrafiki aşağıdakı şəkildə göstər-mək olar
(şəkil 5.1.)
Şə
kil 5.1. Normal bölgü əyrisi.
Bölgünün ümumi xarakterini aydın-laşdırmaq onun bircinsliyi-nin qiymətləndirməsini, asimmetrik və
eksces göstəricilərinin hesablanmasını nəzərdə tutur. Simmetrik bölgüdə mərkəzi böl-güdən hər iki tərəfə
bərabər dayanan istənilən iki variantın tez-likləri bir-birinə bərabər olur. Belə bölgülərdə hesablanan orta
kəmiyyət, moda və mediana da bir-birinə bərabər olur. Müxtəlif ölçü vahidlərində ifadə olunan bir neçə
bölgünün asimmetri-yasını öyrənmək üçün nisbi asimmetriya göstəricisi (A
s
) hesab-lanır:
X - M
o
A
s
═
────── ;
σ
və ya
X – M
e
A
s
═
────── ;
σ
Asimmetriya əmsalı fərqli formada ifadə oluna bilər. Belə ki, o sıfırdan böyük olduqda (As>0),
asimmetriya sağ tərəfli, sıfırdan kiçik olduqda (As<0), asimmetriya sol tərəfli olur. Bunları qrafik
şəkilində aşağıdakı kimi vermək olar (şəkil 5.2, 5.3)
Variasiya sıralarının statistik öyrənilməsinin əsas məqsədlə-rindən biri bölgünün qanunauyğunluğunu
aşkar etmək və onun xarakterini müəyyənləşdirməkdir. Bölgü qanunauyğunluğu da ancaq kütləvi
müşahidə məlumatı əsasında aşkar edilir. Onu aş-kar etmək üçün kifayət qədər çox bircinsli statistik
məcmu əsa-sında variasiya sıralarını qurmaq lazımdır.
Şə
kil 5.2
Sağtə
rəfli asimmetriya
Şə
kil 5.3
Soltərəfli asimmetriya
48
Bölgü qanunauyğunluğunu müəyyən etmək üçün variasiya sı-ralarının düzgün qurulmasının mühüm
əhəmiyyəti vardır. Riyazi statis-tikadan məlumdur ki, öyrənilən məcmunun həcmini artırsaq və qrupların
fasilələrini azaldaraq, həmin məlumatı poliqon və ya histoqram bölgü qrafikində təsvir etsək əyri bölgü
qrafikini ala-rıq. Əyri bölgünün aşağdakı növlərinə rast gəlmək olar: bir şiş təpəli əyrilər; simmetrik
(mütənasib) əyrilər; mülayim uyğunluq və qeyri-mülayim uyğunluq əyriləri; şiştəpəli əyrilər.
Bircinsli məcmu üçün bir qayda olaraq bir şiştəpəli bölgü xa-rakterikdir. Sağtərəfli asimmetriyada
moda medianadan, me-diana isə orta kəmiyyətdən böyük olur, yəni
M
a
>M
e
> X.
Asimmetriya göstəricisi kimi, ən çox üçüncü qaydada mər-kəzi momentin (µ
3
) həmin sırada orta
kvadratik uzaqlaşmanın kubuna (σ
3
) nisbətindən istifadə edilir:
Dostları ilə paylaş: |