Variatsion hisobda shartli ekstremumga oid masalalar Masalaning qo’yilishi

Teorema:

masalada ekstremumning zaruriy sharti). Agar

chegaraviy shartlarni va

chekli bog’lanishlarni qanoatlantiruvchi vektor funksiya ustida

funksional ekstremumga erishsa, funksiyalar


funksional uchun tuzilgan

Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantiradi.
Izohlar:
1. Teoremaga asosan, shartli ekstremumga qo’yilgan

masalani yechish bog’lanishlar qatnashmaganda funksionalning ekstremumini tekshirishga keltiriladi.
2. Bog’lanishlardan qutilishning keltirilgan usuli funksiyalarning shartli ekstremumini topishdagi Lagranj ko’paytuvchilari usuliga o’xshashdir.
3.

bog’lanishlar mexanikada golonom bog’lanishlar deyiladi.
4. Umumiy holda

umumlashgan Lagranj funksiyasidan foydalaniladi. Bunda va
hollar alohida qaraladi.
Masalada shartli ekstremumning zaruriy shartini qo’llash algoritmi
1. Lagranj funksiyasini tuzish;

bu yerda - Lagranj ko’paytuvchilari.
2.

Eyler tenglamalari sistemasi va

bog’lanishlar shartini yozish.
3. Eyler tenglamalari sistemasining umumiy yechimini va Lagranj ko’paytuvchilari uchun ifodalarni topish.
4. o’zgarmaslarni


chegaraviy shartlardan toppish va ekstremal uchun ifoda yozish (ekstremalni yozish).
2-misol. Ushbu

funksionalning

chegaraviy shartlarni va

bog’lanishlarni qanoatlantiradigan ekstremalini toping.
Yechilishi:
1. Lagranj funksiyasini tuzamiz. Modomiki,

ekan,

bo’ladi.
2. Eyler tenglamalari sistemasi va bog’lanishlar tenglamasini yozamiz. Buning uchun


ifodalardan foydalansak, quyidagi



munosabatlarni hosil qilamiz.
3. Sistemaning umumiy yechimini topamiz. Sistemaning birinchi ikkita tenglamasini hadma–had qo’shib,

ekanligini olamiz. Yangi, belgilash kiritib,

tenglamani hosil qilamiz. Uning xarakteristik tenglamasi

bo’lib, u ildizlarga ega ekanligini hisobga olsak,

bo’ladi.
Ikkinchidan, hosil qilingan sistemaning uchinchi tenglamasidan

bo’lishi kelib chiqadi. Ohirgi tenglamalarni qo’shib,

yoki

ekanligini olamiz. U holda


bo’lishi kelib chiqadi.
4. va ixtiyoriy o’zgarmaslarni chegaraviy shartlardan topamiz:



bu yerdan va va .
Shuni e’tirof etish kerakki, masalada chegaraviy shartlar va bog’lanishlar tenglamalari muvofiqlashtirilgan, chunki


Bu faktni masalani yechishdan oldin tekshirish lozim. Shunday qilib, masalada

ekstremal topildi.