Сборник задач по высшей математике. М., Наука, 1964. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. Ермакова В. И. М., Инфра -м, 2008

Mövzu 21. Diferensial tənliklər. Birtərtibli bircins və

bircins olmayan xətti diferensial tənliklər

Əsas anlayışlar

1. 
   Əsas anlayışlar
   
2. 
   Birtərtibli diferensial tənliklər
   
3. 
   Dəyişənlərinə ayrıla bilən diferensial tənliklər
   
4. 
   Bircins diferensial tənliklər
   
5. 
   Birtərtibli xətti diferensial tənlil
   

Tərif. İxtiyari x dəyişəni, onun funksiyası və bu funksi-yanın həmin x dəyişəninə nəzərən törəmələri daxil olan tənliyə adi diferensial tənlik deyilir.

Diferensial tənliyə daxil olan ən yüksək tərtibli törəmənin tərtibinə həmin diferensial tənliyin tərtibi deyilir. n-tərtibli adi diferensial tənlik ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazılır

. (1)

(1) diferensial tənliyini eyniliyə çevirən funksiyasına həmin tənliyin həlli deyilir. Bu, o deməkdir ki, funksiyasını və onun törəmələrini (1) tənliyində yerinə yazdıqda həmin tənlik x -ə nəzərən eyniliyə çevrilir.

n-tərtibli diferensial tənliyin ümumi həlli n sayda ixtiyari sabitin daxil olduğu elə

(2)

həllinə deyilir ki, o verilmiş tənliyi eyniliyə çevirsin.

Diferensial tənliyin ümumi həllinə daxil olan ixtiyari sabitlərin müəyyən qiymətlərində alınan hər bir həlli diferensial tənliyin xüsusi həlli adlanır.

Verilmiş diferensial tənliyi ödəyən funksiya (həll) qeyri-aşkar və parametrik şəkildə də verilə bilər. Bu halda həmin funksiyaya bəzən diferensial tənliyin inteqralı deyilir. Diferensial tənliyin həllinin qrafiki inteqral əyrisi adlanır.

Birtərtibli diferensial tənliklər

Birtərtibli diferensial tənlik ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazılır

.

Bu tənliyi axtarılan funksiyanın y törəməsinə nəzərən həll etmək mümkün olduqda

(1)

şəklində törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli diferensial tənlik alınır.

(1) tənliyinin ümumi həlli

(2)

şəklindədir. Burada C ixtiyari sabitdir. Həndəsi olaraq (2) ümumi həll inteqral əyriləri ailəsindən ibarətdir, yəni C sabitinin müxtəlif qiymətlərinə uyğun olan xətlər toplusudur. İnteqral əyriləri belə bir xassəyə malikdirlər ki, onların hər bir M(x, y) nöqtəsində toxunanın meyl bucağı

şərtini ödəyir.

Əgər inteqral əyrisinin keçdiyi nöqtəsini versək, onda bununla sonsuz inteqral əyriləri ailəsindən müəyyən bir inteqral əyrisi seçilir və bu bizim diferensial tənliyin xüsusi həllinə uyğundur.

Analitik olaraq bu tələb olduqda başlanğıc adlanan şərtə gətirilir. Əgər (2) ümumi həll məlumdursa, onda alırıq ki,

Bu şərtdən C sabitini müəyyən etmək olar və nəticədə, uyğun xüsusi həlli tapmaq olar. Koşi məsələsi bundan ibarətdir.

Koşi məsələsi. (1) diferensial tənliyinin başlanğıc şərti ödəyən, yəni arqumentin qiymətində verilmiş qiymətini alan həllini tapın.

Koşi məsələsini həndəsi olaraq belə ifadə etmək olar: (1) diferensial tənliyinin verilmiş nöqtəsindən keçən inteqral əyrisini tapın.

Qeyd edək ki, törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli diferensial tənliyi həmişə

(3)

diferensial şəkildə yazmaq olar. Doğrudan da (2) tənliyini

kimi yazıb, orada və qəbul etsək (3) şəklində diferensial tənlik alınar.

Dəyişənlərinə ayrılan tənliklər
1. Tutaq ki, M(x) və funksiyaları uyğun olaraq (a,b) və (c,d ) intervalında kəsilməzdir. Bu halda

(1)

tənliyinə dəyişənlərinə ayrılmış diferensial tənlik deyilir. (1) tənliyində dx-in əmsalı ancaq x-dən, dy-in əmsalı ancaq y-dən asılıdır.

Fərz edək ki, funksiyası (1) tənliyinin həllidir. Onda həmin funksiya (1) tənliyini eyniliyə çevirir: