O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.1.6-misol. Z_n = {0, 1, . . . , n − 1} chegirmalar sinfi uchun quyidagilar o‘rinli:

• (Z_n, +_n) kommutativ gruppa tashkil qiladi.

  
  

• (Z_n, ·_n) monoid tashkil qiladi, lekin gruppa bo‘lmaydi.

  
  

1.1.7-misol. (Z_n, ·_n) monoidning barcha teskarilanuvchi elementlari to‘plami
U_n = {a ∈ Z_n \ {0} | (a, n) = 1}
ko‘rinishida bo‘lib, bu to‘plam ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi. Ya’ni (U_n, ·_n) kommutativ gruppa.
Endi gruppaning ba’zi sodda xossalarini o‘z ichiga olgan qiyudagi tasdiqni keltiramiz.
1.1.1-tasdiq. Ixtiyoriy (G, ∗) gruppa uchun quyidagilar o‘rinli:

1. 
   
   Gruppaning birlik elementi yagona.
   
2. 
   
   Ixtiyoriy a ∈ G element uchun yagona teskari element mavjud.
   
3. 
   
   Ixtiyoriy a ∈ G element uchun (a⁻¹)⁻¹ = a.
   
4. 
   
   Ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun (a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹.
   

Isbot. 1) Faraz qilaylik (G, ∗) gruppada ikkita e₁ va e₂ birlik elementlar mavjud bo‘lsin. U holda e₁ ∗ e₂ ko‘paytmani qarasak, e₁ element birlik element bo‘lganligi uchun e₁ ∗ e₂ = e₂. Ikkinchi tomondan esa, e₂ element birlik element bo‘lganligi uchun e₁ ∗ e₂ = e₁. Demak, e₁ = e₂.

2. Faraz qilaylik a ∈ G element uchun ikkita teskari element mavjud bo‘lsin, ya’ni shunday b, c ∈ G elementlar mavjud bo‘lib,

   
   

a ∗ b = b ∗ a = e, a ∗ c = c ∗ a = e
bo‘lsin. Quyidagi tengliklardan b va c elementlarning tengligini hosil qilamiz:
b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ c) = (b ∗ a) ∗ c = e ∗ c = c.
Demak, a elementga teskari element yagona.

2. 
   
   a ∈ G elementning teskarisi a⁻¹ bo‘lganligi uchun
   

a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = e.
Faraz qilaylik, b ∈ G element a⁻¹ ga teskari element bo‘lsin. U holda
b ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ b = e.
Bu tengliklardan biz a va b elementlar a⁻¹ ga teskari element ekanligini hosil qil- amiz. 2)-xossaga ko‘ra ixtiyoriy elementning teskari elementi yagona bo‘lganligi uchun b = a ekanligi kelib chiqadi. b element a⁻¹ ning teskarisi ekanligidan (a⁻¹)⁻¹ = a bo‘ladi.

2. Bizga a, b ∈ G elementlar berilgan bo‘lib, a⁻¹ va b⁻¹ elementlar ularning

   
   

teskari elementlari bo‘lsin, ya’ni

a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = e, b ∗ b⁻¹ = b⁻¹ ∗ b = e.
Quyidagi tengliklarni qaraymiz
(a ∗ b) ∗ (b⁻¹ ∗ a⁻¹) = (a ∗ (b ∗ b⁻¹)) ∗ a⁻¹ = (a ∗ e) ∗ a⁻¹ = a ∗ a⁻¹ = e.
(b⁻¹ ∗ a⁻¹) ∗ (a ∗ b) = (b⁻¹ ∗ (a⁻¹ ∗ a)) ∗ b = (b⁻¹ ∗ e) ∗ b = b⁻¹ ∗ b = e.
Ushbu tengliklardan a ∗ b elementning teskarisi b⁻¹ ∗ a⁻¹ ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
(a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹.
Endi gruppaning tartibi va gruppa elementi tartibi tushunchalarini kiritamiz.

1.1.4-ta’rif. Agar G gruppaning elementlari soni chekli bo‘lsa, u holda G gruppa chekli gruppa deyiladi. Chekli gruppaning elementlari soni uning tartibi deyi- ladi va |G| kabi belgilanadi. Elementlari cheksiz ko‘p bo‘lgan gruppalar cheksiz gruppalar deyiladi.
Bizga (G, ∗) gruppa va uning a ∈ G elementi berilgan bo‘lsin. Ushbu element- ning darajalarini quyidagicha aniqlaymiz:

a⁰ = e,
aⁿ = aⁿ⁻¹ ∗ a, n ≥ 1, aⁿ = (a⁻¹)⁻ⁿ, n < 0.

∗
Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy k, s butun sonlar uchun a^k a^s = a^k+s tenglik o‘rinli. Agar qandaydir k, s (k > s) butun sonlar uchun a^k = a^s, tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda a^k−s = e munosabatga ega bo‘lamiz.

1.1.5-ta’rif. G gruppaning a ∈ G elementi uchun aⁿ = e shartni qanoatlantiruv- chi natural sonlarning eng kichigiga berilgan elementning tartibi deb ataladi. Agar aⁿ = e shartni qanoatlantiruvchi natural son mavjud bo‘lmasa, u holda bu elementning tartibi cheksizga teng deb ataladi. Berilgan a ∈ G elementning tartibi ord(a) kabi belgilanadi.
1.1.8-misol. (Z₆, +₆) gruppani qarasak, bu gruppaning tartibi 6 ga teng, ya’ni
|Z₆| = 6 hamda
ord(0) = 1, ord(1) = 6, ord(2) = 3, ord(3) = 2, ord(4) = 3, ord(5) = 6.
1.1.9-misol. M = {1, i, −1, −i} to‘plam ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qilib,
ord(1) = 1, ord(i) = 4, ord(−1) = 2, ord(−i) = 4.

Gruppada assosiativlik xossasi o‘rinli bo‘lganligi uchun, a₁, a₂, . . . , a_n element- larni ko‘paytirishda qavslarning qo‘yilishi ahamiyatli emas, shuning uchun odatda chapdan qo‘yilgan qavslar ishlatilib, ko‘paytma (. . . ((a₁ ∗ a₂) ∗ a₃ . . . ) ∗ a_n) kabi yoziladi.

Bundan tashqari gruppalar uchun quyidagi xossalar ham o‘rinli bo‘lib, biz ularni isbotsiz keltirib o‘tamiz.
1.1.2-tasdiq. (G, ∗) gruppadagi ixtiyoriy a, b, c ∈ G elementlar uchun quyidagilar o‘rinli:

1. 
   
   a ∗ x = b tenglama yagona yechimga ega bo‘lib, x = a⁻¹ ∗ b bo‘ladi.
   
2. 
   
   x ∗ a = b tenglama yagona yechimga ega bo‘lib, x = b ∗ a⁻¹ bo‘ladi.
   
3. 
   
   a ∗ b = a ∗ c yoki b ∗ a = c ∗ a tenglikdan b = c kelib chiqadi.
   
4. 
   
   agar a² = a bo‘lsa, u holda a = e bo‘ladi.
   

Quyidagi teoremada gruppaning elementi tartibi bilan bo‘g‘liq bo‘lgan asosiy xossalarni keltiramiz.

1.1.1-teorema. Aytaylik, G gruppaning a ∈ G elementi uchun ord(a) = n bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli:

1. 
   
   Agar qandaydir m natural son uchun a^m = e bo‘lsa, u holda m soni n ga bo‘linadi.
   
2. 
   

   EKUB(t,n)

   
   Ixtiyoriy t natural son uchun ord(a^t) = ⁿ .
   

Isbot. 1) Aytaylik, m = qn + r bo‘lsin, bu yerda 0 ≤ r < n. U holda
a^r = a^m−qn = a^m ∗ a^−qn = a^m ∗ (aⁿ)^−q = e.
Berilgan elementning tartibi n ga teng bo‘lganligi uchun n soni aⁿ = e shartni qanoatlantiruvchi eng kichik natural son. a^r = 0 va 0 ≤ r < n ekanligidan esa, r = 0 kelib chiqadi, ya’ni m soni n ga qoldiqsiz bo‘linadi.

d
2) Aytaylik, ord(a^t) = k bo‘lsin, u holda a^tk = (a^t)^k = e. Demak, tk soni n ga bo‘linadi, ya’ni tk = nr. Agar EKUB(t, n) = d bo‘lsa, u holda t = du, n = dv, EKUB(u, v) = 1 bo‘lib, tk = nr ekanligidan duk = dvr tenglikka, bundan esa uk = vr munosabatga ega bo‘lamiz. Bu esa, uk soni v soniga bo‘linishini anglatadi. Bundan esa, EKUB(u, v) = 1 ekanligini hisobga olsak, k soni v = ⁿ
soniga bo‘linishi kelib chiqadi.
n
Endi (a^t) ^d elementni qaraymiz:

_t ⁿ nt
ndu _nu

(a ) ^d = a ^d = a

^d = a
= e.

d
Bu tenglikdan, ord(a^t) = k ekanligini hisobga olgan holda, ⁿ
soni k ga

bo‘linishini keltirib chiqaramiz. Demak, k = ⁿ, ya’ni ord(a^t) = ⁿ .

d EKUB(t,n)
Yuqoridagi teoremaning isbotidan osongina ko‘rish mumkinki, agar a element-
ning tartibi n ga teng bo‘lsa, u holda
e, a, a², . . . aⁿ⁻¹
elementlar turli bo‘lib, ixtiyoriy m butun son uchun a^m element ulardan biriga teng bo‘ladi.

1+ab

1.1.10-misol. G = (−1; 1) intervaldan iborat bo‘lgan to‘plamning a ∗ b = ^a+b
amalga nisbatan gruppa tashkil qilishini isbotlang.

2 2
Yechish. Dastlab ushbu amal haqiqatdan ham binar amal bo‘lishini tekshi- ramiz, ya’ni a, b ∈ G ekanligidan a ∗ b ∈ G kelib chiqishini ko‘rsatamiz. Buning uchun a < 1, b < 1 ekanligidan foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

(1 − a²)(1 − b²) > 0,

1 − a² − b² + a²b² > 0,

a² + b² < 1 + a²b²,
a² + 2ab + b² < 1 + 2ab + a²b²,
(a + b)² < (1 + ab)²,

._. ._.

a + b
1 + ab ^{< 1.}
Demak, haqiqatdan ham a ∗ b ∈ G bo‘ladi. Quyidagi

a + b
a+b _{+ c}
a + b + c + abc

(a ∗ b) ∗ c =

va

1 + ab

∗ c =
1+ab

1 + c

a+b
1+ab
,

=
1 + ab + ac + bc

a ∗ (b ∗ c) = a ∗
b + c
=
1 + bc
b+c

1 + a

a +
1+bc b+c 1+bc
a + b + c + abc
=
1 + ab + ac + bc

tengliklardan assosiativlik xossasining o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Ushbu algeb- raik sistemada birlik element vasifasini e = 0 bajarib, ixtiyoriy a ∈ G elementning teskarisi esa −a bo‘ladi. Demak, (G, ∗) gruppa bo‘ladi. Q

1.1.11-misol. Tartibi juft songa teng bo‘lgan gruppada a² = e shartni qanoat-
lantiruvchi a e element mavjud ekanligini ko‘rsating.


Yechish. Bizga G gruppa beringan bo‘lib, |G| = 2n bo‘lsin. Ma’lumki, agar qandaydir a ∈ G element uchun a⁻¹ = a bo‘lsa, u holda a² = e bo‘ladi.
A = {g ∈ G | g⁻¹ /= g} to‘plamni qaraymiz. Ma’lumki, e ∈/ A bo‘lib, A
to‘plamda yotuvchi biror elementning teskarisi ham shu to‘plamda yotadi. Demak, A to‘plamning elementlari soni juft son bo‘lib, A =/ G. Bundan esa, A to‘plamda yotmaydigan birlik elementdan farqli, a ∈ G element mavjudligi kelib chiqadi,
ya’ni a e, a⁻¹ = a. Demak, a² = e. Q