Mühazirə 3 metrik fəzalar

Mühazirə 3 METRIK FƏZALAR

Riyazi analizin bir çox mühüm anlayışları, o cümlədən ardıcıllığın və funksiyanın limiti, funksiyanın kəsilməzliyi və törəməsi, eləcə də bir çox anlayışlar ədəd oxu üzərində nöqtələr arasındakı məsafə anlayışı ilə sıx bağlıdır. Bir çox mühüm faktlar həqiqi ədədlərin cəbri xarakteri ilə deyil, bu ədədlərin bir-birinə yaxınlığını göstərən məsafə ilə təyin edilir. Həqiqi ədədlər çoxluğunda təyin edilmiş məsafə anlayışının istənilən təbiətli elementlərdən ibarət çoxluqlarda ümumiləşməsi müasir riyaziyyatın çox mühüm analyışı olan metrik fəzalar anlayışına gətirir. Ona görə də əvvəlcə metrik fəza analyışını daxil edək və onun bəzi xassələrini göstərək.

2.1. Metrik fəzanın tərifi. Misallar

Fərz edək ki, fəzasının istənilən elementlərinə qarşı bu elementlər arasındakı məsafə adlanan və aşağıdakı şərtləri ödəyən mənfi olmayan kəmiyyəti qarşı qoyulmuşdur:

I. yalnız və yalnız olduqda
II. , (simmetriklik)
III. , (üçbucaq aksiomu)
kəmiyyəti və elementləri arasındakı məsafə, yaxud fəzasının metrikası adlanır. I-III şərtlərinə məsafə aksiomları və ya metrika aksiomları deyilir.
Əgər verilmiş fəzasında təyin edilmiş məsafə (metrika) I,II,III şərtlərini (aksiomlarını) ödəyərsə, onda metrik fəza adlanır.
Metrik fəzalara misallar göstərək.

1. 
   İstənilən elementlər çoxluğunda
   

kimi məsafə təyin etsək, bu çoxluq metrik fəza olar. Bu fəzaya izolə edilmiş nöqtələr fəzası deyilir.
2. -fəzası. həqiqi ədədlər çoxluğunu götürək. və ədədləri arasında məsafəni

kimi təyin edək. Mütləq qiymətin məlum xassələrindən məsafə aksiomlarının ödənildiyini almaq olar. Doğrudan da
I. olarsa, , və tərsinnə
II.
III.

Ona görə də metrik fəzadır.
3. -fəzası. Nizamlanmış sayda həqiqi ədədlərdən düzəlmiş çoxluğunda məsafəni

kimi təyin edək. Bu fəza -ölçülü Evklid fəzası adlanır və kimi işarə edilir. I və II aksiomların ödənməsi aşkardır. III aksiomun doğru olduğunu göstərək. , , götürək. Bu halda üçbucaq aksiomu aşağıdakı kimi olar:
(2)
, qəbul etsək, olar. Onda (2) bərabərsizliyi belə olar:
(3)
(3) bərabərsizliyinin doğruluğu isə məlum Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyindən alınır. Həmin bərabərsizlik belədir:
(4)
(4) Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyindən istifadə etsək, yaza bilərik:


Buradan (3) bərabərsizliyinin və nəticədə (2) bərabərliyinin doğru olmasını alırıq. Bu isə III aksiomun doğru olduğunu göstərir.
Qeyd 1. Bir çox hallarda eyni bir elementlər çoxluğunda I-III aksiomlarını ödəyən müxtəlif metrikalar təyin etmək olar. Məsələn, baxdığımız misalda, şəklində elementlər çoxluğunda məsafəni
(5)
kimi təyin etmək olar. Bu halda I-III aksiomlarının ödənməsini asanlıqla yoxlamaq olar. Alınmış metrik fəzanı kimi işarə edirlər.
Baxılan çoxluqda elementlər arasındakı məsafəni

kimi təyin edək. Bu halda da məsafə aksiomlarının ödəndiyini göstərə bilərik. Alınmış metrik fəza kimi işarə olunur.
Bu misaldan görünür ki, eyni bir elementlər çoxluğu müxtəlif üsullarla metrikləşə bilər və bu zaman alınmış fəzalar müxtəlif metrik fəzalar olar.
Tərif. Əgər elə , ədədləri varsa ki,

bərabərsizliyi ödənsin, bu halda və məsafələri ekvivalent məsafələr adlanır.
4. fəzası. parçasında kəsilməz bütün funksiyalar çoxluğunda məsafəni
(7)
kimi təyin edək. Məsafə aksiomlarının ödənməsini yoxlayaq:
I. olduğu üçün olduğunu alırıq. olarsa, və buradan . Tərsinə, olarsa, olar.
II. olması aydındır.
III. Həqiqi ədədin mütləq qiymətinin xassələrinə görə

Buradan
,


alırıq.
Alırıq ki, I-III aksiomları ödənir və metrik fəzadır.
Qeyd 2. parçasında kəsilməz funksiyalar çoxluğunda məsafənin başqa üsulla, aşağıdakı qayda ilə təyin edək:
(8)
Bu üsulla təyin edilmiş məsafənin I, II aksiomlarını ödənməsini asanlıqla yoxlamaq olar. III aksiomun doğru olması Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyinin inteqral forması olan

bərabərsizliyindən istifadə etməklə alınır.
Alınmış metrik fəza kimi işarə edilir və kvadratik metrikaya malik kəsilməz funksiyalar fəzası adlanır. Bu üsulla alınmış metrik fəzanın elementlərinin kəsilməz funksiyalar olmasına baxmayaraq, bu fəza fəzasından metrik xassələrinə görə kəskin şəkildə fərqlənən fəzadır.
5. -fəzası. Bu fəzanın elementləri mümkün olan bütün həqiqi ədədlər ardıcıllıqlarından ibarətdir, belə ki,

Bu fəzada elementlər arasında məsafə
(9)
bərabərliyi ilə təyin edilir. Aşağıda göstərilən sadə

bərabərsizliyindən alınır ki, əgər isə, yəni
və
olarsa, onda . Bu onu göstərir ki, (8) bərabərliyinin sağ tərəfindəki sıra yığılandır və məsafəni bu üsulla təyin etmək olar. I və II aksiomların ödənməsi aydındır. Üçbucaq aksiomu aşağıdakı kimidir:
(10)
(10) bərabərsizliyinə daxil olan hər üç sıra yığılandır. Digər tərəfdən istənilən üçün

doğru olduğundan şərtində limitə keçsək, bu bərabərsizlikdən (10)-un doğru olduğunu alarıq. fəzasında I-III aksiomları ödəndiyi üçün metrik fəzadır.
6. fəzası. Həqiqi ədədlərdən təşkil edilmiş bütün məhdud ardıcıllıqlar çoxluğunu götürək. İstənilən iki element arasında məsafəni
(11)
kimi təyin edək. Ardıcıllıqların məhdudluğu şərtindən və dəqiq yuxarı sərhəddin xassələrindən istifadə etməklə, I-III aksiomlarının doğru olduğunu yoxlaya bilərik. Alınmış metrik fəzanı ilə işarə edirlər.
7. fəzası. Nizamlanmış sayda həqiqi ədədlərdən düzəlmiş elementlər çoxluğunda məsafəni
, (12)
kimi təyin edək. Bu məsafənin I-III aksiomlarını ödədiyini göstərək. I və II aksiomların ödənməsi aşkardır. III aksiomunun doğruluğunu göstərək. , , götürək. , işarə edək. Onda olar və

bərabərsizliyi
(13)
şəklində olar. (13) bərabərsizliyi Minkovski bərabərsizliyi adlanır və onun isbatını sonralar göstərəcəyik.
Qeyd 3. Bu misalda baxılan metrikası olduğu halda fəzasının Evklid metrikası ilə üst-üstə düşür. olduğu halda isə fəzasının metrikası ilə eynidir. fəzasının metrikasının metrikasının limit halı kimi baxmaq olar, yəni
.
8. fəzası . Bu fəzanın elementləri həqiqi ədədlərdən düzəlmiş mümkün olan elə ardıcıllıqlardır ki,

Elementlər arasındakı məsafə
(13)
kimi təyin edilir.
Minkovski bərabərsizliyinə görə istənilən üçün
. (14)
doğrudur. Şərtə görə
və
sıraları yığılan olduğundan (14) bərabərsizliyində şərtində limitə keçsək, alarıq:
(15)
Bu bərabərsizlikdən alırıq ki, istənilən üçün elementlər arasında məsafənin (13) şəklində təyin edilməsinin mənası vardır. Eyni zamanda (15) bərabərsizliyi fəzasında üçbucaq aksiomunun doğru olduğunu göstərir. Digər iki aksiomun ödənməsini asanlıqla yoxlamaq olar.
9. – həqiqi məhdud funksiyalar fəzası. parçasında təyin edilmiş, həqiqi dəyişənindən asılı bütün məhdud funksiyalar çoxluğuna baxaq. Bu çoxluqda məsafə

kimi təyin edilir. Metrika aksiomlarının ödənməsini asanlıqla yoxlamaq olar. Bu fəza kimi işarə edilir. Aydındır ki, doğrudur.
10. – bütün ədədi ardıcıllıqlar fəzası. Həqiqi ədədlərdən ibarət bütün ədədi ardıcıllıqlar çoxluğunu götürək: , . Bu adıcıllıqlar arasında məsafəni
(16)
kimi təyin edək. (16) bərabərliyinin sağ tərəfindəki sıra yığılan olduğundan məsafəni bu qayda ilə təyin etmək olar. Metrikanın I və II aksiomlarının doğruluğu aydındır. Üçbucaq aksiomunun ödənməsi isə aşağıdakı məlum bərabərsizlikdən alınır:

Sonuncu bərabərsizliyin doğruluğunu göstərmək üçün funksiyasına baxaq. olduğu üçün artan funksiyadır. Ona görə də olduğunu nəzərə alsaq, yaza bilərik:

Deməli, təyin edilmiş məsafə I-III aksiomlarını ödəyir və -metrik fəzadır.
11. , fəzası. parçasında ölçülən və dərəcədən cəmlənən, yəni

şərtini ödəyən bütün funksiyalar çoxluğunu götürək. Ekvivalent funksiyalar fəzasında bərabər hesab edilir. Bu çoxluqda elementlər arasında məsafə aşağıdakı kimi təyin edilir:
(17)
Minkovski bərabərsizliyinə görə

olduğundan şərtindən

alırıq. Deməli, məsafə (17) bərabərliyi ilə təyin edilə bilər. olduğundan . Eləcə də . Üçbucaq aksiomu isə bilavasitə Minkovski bərabəsizliyindən alınır:


Buradan -nin metrik fəza olsuğunu alırıq. Xüsusi hallar olan və fəzalarından bir çox məsələlərin həlli zamanı geniş istifadə edilir. Bu fəzalar Lebeq fəzaları adlanır.
12. vahid dairəsində analitik, qapalı vahid dairəsində kəsilməz olan bütün funksiyalar çoxluğu

məsafəsinə görə metrik fəza təşkil edir.
13. parçasında təyin edilmiş bütün ölçülən funksiyalar çoxluğunu götürək. Bu çoxluqda və funksiyalar arasında məsafəni

bərabərliyi ilə təyin edək. Bu qayda ilə təyin edilmiş məsafə I-III aksiomlarını ödəyir. Deməli, bu çoxluq metrik fəza təşkil edir.