Mexanika-Matematika fakulteti

1.3-§.Chegaralari cheksiz xosmas integrallarning yaqinlashuvchiligi.

Endi oraliqda berilgan funksiya xosmas integralning yaqinlashuvchiligi shartlarini ko’ramiz[3].


Ma’lumki integralning yaqinlashuvchiligi


funksiyaning chekli limitga ega bo’lishi bilan ta’riflanar edi. in-


tegralning yaqinlashuvchiligi sharti, da funksiyaning chekli limitgaega bo’lishi shartidan iborat.
oraliqda berilgan hamda da bo’lgan funksiya xosmas integralning yaqinlashuvchiligini ifodalaydigan teoremani keltiramiz[1].
Manfiy bo’lmagan funksiyaning xosmas integralining yaqinlashuvchiligi. funksiya oraliqda berilgan bo’lib,
da bo’lsin. Bu funksiyani oraliqning istalgan qismida integrallanuvchi deb qaraylik.
Unda lar uchun


bo’ladi.Demak, bo’lganda funksiya o’suvchi bo’lar ekan, hamma vaqt limitga (chekli yoki cheksiz) ega bo’ladi.
1.3.1-Teorema[4]. funksiya xosmas integrali ning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun, ning yuqoridan chegaralangan ya’ni uchun

bo’lishi zarur va yetarli.

Odatda bu teorema funksiya xosmas integrali ning yaqinlashuvchilik kriteriysi deb ataladi.
1.3.1-Natija[4]. Agar } to’plam yuqoridan
chegaralanmagan bo’lsa, uholda xosmas integral uzoqlashuvchi bo’ladi.
Manfiy bo’imagan funksiyalar xosmas integrallarini taqqoslash haqidagi teoremalar.


1.3.2-Teorema. va funksiyalar oraliqda berilgan bo’lib, da

bo’lsin.U holda yaqinlashuvchi bo’lsa, ham yaqinlashuvchi bo’ladi, uzoqlashuvchi bo’lsa, ham uzoqlashuvchi bo’ladi.

1.3.3-Teorema[9]. da va manfiy bo’lmagan funksiyalar berilgan bo’lsin. da nisbatning limiti bo’lsin:

Agar va da integral yaqinlashuvchi bo’lsa integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi. Agar va integral uzaqlashuvchi bo’lsa, integral ham uzoqlashuvchi bo’ladi[1,2,3].

1.3.2-Natija[5,6]. Oxirgi 1.3.3-teorema shartlarida agar
bo’lsa, u holda va integrallar bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’ladi.
Odatda biror xosmas integralning yaqinlashuvchiligi haqida avvaldan yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligi ma’lum bo’lgan xosmas integral bilan solishtrilib xulosa chiqariladi. Xususan tekshirilayotgan
integralni qaralsin integral bilan
solishtirib quydagi alomatlarni hosil qilamiz[3].
– alomat. Agar ning yetarli kata qiymatlarida

bo’lsa, u holda uchun va bo’lganda integral yaqinlashuvchi, va bo’lganda integral uzoqlashuvchi bo’ladi.

alomat. Agar funksiya ga nisbatan tartibli cheksiz kichik bo’lsa, u holda integral
bolganda yaqinlashuvchi, da esa uzoqlashuvchi bo’ladi[7].


1.3.1-Ta’rif.Agar integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda absolyut yaqinlashuvchi integral deb ataladi, funksiya esa oraliqda asolyut integrallanuvchi funksiya deyiladi. 1.3.2-Ta’rif. Agar integral yaqinlashuvchi bo’lib, integral uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda shartli yaqinlashuvchi integral deyiladi.
1.3.4-Teorema (Dirixli alomati)[1,3]. va funksiyalar oraliqda berilgan bo’lib, ular quydagi shartlarni qanoatlantirsin.


funksiya oraliqda uzliksiz va uning shu oraliqdagi boshlang’ch funksiyasi chegaralangan,
funksiya oraliqda hosilaga ega va u uzliksiz funksiya, funksiya oraliqda kamayuvchi,

U holda

integral yaqinlashuvchi bo’ladi.

Isbot. Uzliksiz va funksiyalarning ko’paytmasi funksiya ham oraliqda uzliksiz bo’lganligi uchun, bu funksiya istalgan oraliqda integrallanuvchi bo’ladi, ya’ni

integral mavjud.

da	funksiya chekli limitga	ega bo’lishini ko’rsatamiz.
Teoremaning	1- va 2- shartlaridan foydalanib	(1.3.1) integralnibo’laklab
integrallaymiz.

o’ng tomondagi birinchi qo’shiluvchi uchun ushbu

tengsizlikka ega bo’lamiz. Undan, da bo’lishini e’tiborga olsak,

bo’lishi kelib chiqadi.

funksiya oraliqda uzliksiz differensiallanuvchi, hamda shu oraliqda kamayuvchi ekan, unda da bo’lib,


bo’ladi. Shunday qilib, A o’zgaruvchining barcha qiymatlarida

integral yuqoridan chegaralangan. U holda integral yaqinlashuvchi (hatto absolyut yaqinlashuvchi) bo’ladi. Demak,

limit mavjud va chekli.

Yuqoridagi tenglikda da limitga o’tib, ushbu

limit mavjud hamda chekli bo’lishini topamiz. Bu esa integralning yaqinlashuvchiligini bildiradi.