Mexanika-Matematika fakulteti

1.1.2-Misol[11].

Boshlang’ichfunksiya[6]:

shuning uchun va , demak

Shunga o’xshash:

1.1.3-Misol[7]. Bu yerda boshlang'ichfunksiya bo’ladi, ammo ning ma’nosiyo’qdir,


Chunki da hech qanday limitga intilmaydi: integral mavjud emas.


Integralning mavjudlik sharti. Xosmas integralning mavjudlik masalasi ta’rifga muvofiq, ning

funksiya uchun da chekli limitlimitning mavjudlikmasalasiga keltiriladi.

Xosmas integralning mavjud bo’lishi uchun zaruriy va yetarli shart quydagidan iborat: har bir songa shunday son javob bersinki, va bo’lganda

tengsizlik bajarilsin.

Bu alomat ushbu teoremani yingilisbotlanishiga imkon beradi:


1.1.1-Teorema.Agar integral mavjud bo’lsa, integral albatta mavjuddir[8].
Chindan ham, keltirilgan alomatni mavjud deb faraz qilingan integralga qo’llanib, quydagini ko’ramiz: uchun shunday topiladiki, bo’lishi bilanoq:

bajariladi. Ammo demak va sonlar uchun

tengsizlik albatta bajariladi; bundan esa alomatimizga ko’ra integralning mavjudligi chiqadi.
Oxirgi integralning mavjudligidan umuman aytganda,


integralning mavjudligi chiqmaydi. Agar integral bilan bir qatorda integral ham mavjud bo’lsa, u holda absolyut yaqinlashuvchi va funksiya esa oraliqda absalyut integrallanuvchi deyiladi[2].

1.2-§.Yaqinlashuvchi xosmas integrallarning xossalari.

Biz quyidagi xosmas integrallarning turli xossalarini o’rganar ekanmiz ularni asosan funksiyaning oraliq buyicha olingan integrali uchun keltiramiz. Bu xossalarni yoki kabi xosmas integrallar uchun ham tegishlicha bayon etish mumkin[5].
Riman integralini umumlashtirishdan hosil qilingan yaqinlashuvchi xosmas integrallar ham shu Riman integrali singari xossalarga ega[3].
funksiya oraliqda berilgan bo’lsin.

Agar	funksiyaning	oraliq bo’yicha	integrali
yaqinlashuvchi	bo’lsa, bu funksiyaning		oraliq bo’yicha

integrali ham yaqinlashuvchi bo’ladiva aksincha.
Bunda

bo’ladi.

[6] Agar integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda


integral ham yaqinlashuchi bo’lib,

bo’ladi, bundac = const.

Agar da bo’lsa, bu funksiyaning xosmas
integrali

bo’ladi.

Endi funksiya bilan bir qatorda funksiya ham oraliqda berilgan bo’lsin[4].
Agar va integrallar yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda integral ham yaqinlashuvchi bo’lib,

bo’ladi.

1.2.1-Natija[3]. Agar , ,…, funksiyalarning har biri
oraliqda berilgan bo’lib, integrallar yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

integral ham yaqinlashuvchi bo’lib,

Agar uchun tengsizlik o’rinli


bo’lib, va integrallar yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

bo’ladi.

Yuqorida keltirilgan xossalar xosmas integral va uning yaqinlashuvchiligi ta’riflaridan bevosita kelib chiqadi[3].
1.2.1-Teorema[1,2,8].(O’rta qiymat haqida). va funksiyalar
oraliqda berilgan bo’lsin. Shuningdek funksiya shu oraliqda chegaralangan, ya’ni shunday va o’zgarmas sonlar mavjudki, uchun


bo’lib, funksiya esa da o’z ishorasini o’zgartirmasin ya’ni uchun har doim yoki bo’lsin.
Agar va integrallar yaqinlashuvchi bo’lsa,u holda shunday o’zgarmas son topiladiki,

tenglik o’rinli bo’ladi[1].