Mavzu: ko‘rsatkichli va logarifmik ifodalarni ayniy almashtirish ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar ko‘rsatkichli va logarifmik tengsizliklar. Parametr qatnashgan tenglama va tengsizliklar, ularning sistemalari. Reja

4-misol. 0,5 ^x+3x+7 < 0,5 ^x+1 tengsizlikni yeching.

Yechish. 0 < 0,5 < 1 bo'lgani uchun tengsizlik x² + 3x + 7 > x² +1 algebraik tengsizlikka teng kuchli. Undan x > -2 aniqlanadi.
3. Logarifmik tenglamalar.
log_ax = b (a>0, a  1) tenglamani qaraymiz. Bu tenglama eng sodda logarifmik tenglama deyiladi. x= a^b son qaralayotgan tenglamaning ildizi bo'lishini ko'rish qiyin emas.
Berilgan tenglama x= a^b dan boshqa ildizga ega emasligini y=log_ax logarifmik funksiyaning monotonligidan foydalanib isbotlash mumkin (2- rasm).
log_xN= b ko'rinishdagi tenglamani qaraymiz. Bu tenglamaning aniqlanish sohasi x ning x > 0, x1 munosabatlarni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlaridan tashkil topadi.
Agar N 0 bo'lsa, bu tenglama yechimga ega bo'lmaydi.
N> 0 bo'lsa, x = N^1/b dan iborat yagona yechimga ega bo'ladi.


1-misol. a) log₃x = 9; b) log_x64= 2 tenglamalarni yechamiz.

Yechish. a) Tenglamani potensirlaymiz. Natijada: x=3⁹; b) tenglamani potensirlaymiz: x² = 64, bundan x= 8.

1-teorema. Log_a f(x) = log_a gx) (a> 0, a1) tenglama
{fx=gx,
{fx>0 1 sistemaga teng kuchlidir.

Isbot. y=log_at (a>0, a1) logarifmik funksiya monoton. Shunga ko'ra log_af(x) = log_ag(x) tengligining bajarilishi uchun f(x) = g(x) bo'lishi kerak. Demak, f(x) > 0 bo'lganda log_a f(x) = log_ag(x) tenglama f(x) = g(x) tenglamaga teng kuchli.
1^/-teorema. Log_a f(x) = log_a gx) (a> 0, a1) tenglama
{fx=gx,
{gx>0 1^/ sistemaga teng kuchlidir.
Bu teoremani isbotlashda 1- teoremaning isbotidagi kabi mulohazalar yuritiladi


2-teorema. Agar 0 < a < 1 bo'lsa, log_a fx) >log_ag(x) tengsizlik 0l bo'lsa, f(x)>g(x) >0 qo'sh tengsizlikka teng kuchlidir.
Bu teoremaning isboti logarifmik funksiyaning monotonligidan kelib chiqadi.