Matematika (algebra va funksional analiz) mutaxasisligi 1-kurs magistranti abduraimov yo’lchi norbo’ta o’G’lining

1.2-лемма. Агар бўлса, у ҳолда ихтиёрий натурал сони учун

_{формула ўринли. Бунда}
Исботи. натурал сонини олиб (1.4)-формулани қўллаймиз. У ҳолда эканликларини эътиборга олиб қуйидагига эга бўламиз:




Бундан ва да қуйидаги келиб чиқади:

Бу охирги интеграл ярим текисликдаги аналитик функцияни аниқлайди. Аналитик давом эттириш принципига кўра бу ердан лемманинг тасдиғи келиб чиқади.
Натижа. функция 0 ярим текисликдаги нуқтадан бошқа нуқталарда аналитик функция бўлиб да бу функция чегирмаси 1 га тенг бўлган оддий қутбга эга.

2-BOB. RIMANNING DZETA FUNKSIYASI VA DIRIXLENING
L-FUNKSIYASINING NOLLARI JOYLASHGAN SOHANING
CHEGARASI


Мавзу. Риманнинг дзета функциясининг комплекс ноллари мавжуд
бўлмаган соҳанинг чегараси учун аниқлаштирилган баҳо.

Бу ерда аввало қуйидаги леммани исботлаймиз.

1.1-лемма. Агар бўлса,

бажарилади. Бунда Эйлер доимийси.
Исботи. Риманнинг дзета функциясининг бўлгандаги ёйилмаси [14]

дан

эканлиги келиб чиқади. Бунда ва бўлганда

коэффицентлар учун M.И.Исроилов [15] томонидан исботланган қуйидаги формулалардан фойдаланамиз:


Бунда -Бернулли сони; бутун сон;

сони бўлганда ва лар бир хил ишорали қилиб танланади.
(1.4)- формулани қўллаб (1.1) ва (1.2) лардан леммадаги тасдиқга эга бўламиз.
Натижа. бўлса,

тенгсизлик ўринли.
Исботи. (1.3) да деб олиш керак.
Энди биз Ш.Валле-Пуссеннинг қуйидаги теоремасини исботлашимиз мумкин.
1.1-теорема. Шундай ўзгармас сони мавжудки комплекс текисликнинг

cоҳасида дзета функция нолларга эга эмас.
Исботи. Маълумки, (II-бобнинг 1-параграфига қаранг) функция нуқтада қутбга эга. Шунинг учун ҳам бирор мусбат сони учун соҳада бу функция нолларга эга эмас. Фараз этайлик қаралаётган функциянинг шартни қаноатлантирувчи ноли бўлсин. У ҳолда бўлганда

бўлгани учун (2.1.3- теореманиниг исботига қаранг) қуйидагиларга эга бўламиз:

бундан

Ихтиёрий ҳақиқий сони учун тенгсизлик ўринли. Бундан

ни ҳосил қиламиз. Энди (1.6) даги ҳар бир қўшилувчини юқоридан баҳолаймиз. 1.1-леммадан бўлганда

нинг ўринли эканлиги келиб чиқади. 1.1.3-теоремадан
(2.7)
бунда ва
.
Агар бу ерда ва бўлгани учун
(2,8)
ва
эканликларини эътиборга олсак

Шунингдек (1.7) дан

Бунда

ҳосил қилинган баҳоларни (1.6) га қўйиб

Бундан

ва , ( ),
деб олсак

ни бундан эса исботланиши талаб этилган

тенгсизликни ҳосил қиламиз. Шундай қилиб