Kirish 3 Klassik modelda noma’lum parametrlarni baholash

I-Bob. Klassik modelda nomalum parametrlarni baholash.

1.1-§ Nuqtaviy baholash usullari va ularning hossalari.

^{Statistik model} ^P_ ^{,  }^{,   R(s) ,}
oila bilan berilgan bo’lib,

^{ } ^₁ ^,₂ ^,...,_s 

parametrni baholash masalasini qaraymiz.

Momentlar usuli.

G    _ g₁  ,..., g_s  _ vektor funksiya uchun biror asosli

1n sn

n

n

1n sn
G^%_ X ^n _  _g^% _X ^n _,...g^% _X ^n _
baho mavjud bo’lsin. Momentlar usuliga asosan,

^{ } ^₁ ^,₂ ^,..._s 

ya’ni
uchun

^% _^%,...,^%_
baho sifatida

G _ _  G^% tenglamaning,

i in
^g ^  ^{ g%} _^{X n} _^,

i 1,..., s;

(1.1.1)

sistemaning yechimi olinadi. Bunday baholarning xossalari


^{gi i  1, s} ,

funksiyalarning xossalari bilan aniqlanadi. Odatda

^gi ^  ^{ M ai} ^ <sup>, i  1, s, (masalan

a</sup> ^  ^{  i ) ko’rinishda tanlanadi. Bu holda katta}

sonlar qonunidan foydalanib, mumkin:

^g%in

sifatida

^ai ^ 

ning empirik momentini tanlash

g^% _X ^n _  ¹ _n

a _ X

_, i  1, s _.

1n _n

i j

j1

1.1.1– Teorema. Faraz qilaylik,

^gi ^ 

i  1, s

funksiyalar  da uzluksiz

hosilalarga ega bo’lib,





J_{g } _  det _

_

g_{i } _

 _j

_



1,s
i, j  ^_
- yakobian noldan farqli

n
bo’lsin. Agar (1.1.1) sistema yechimi uchun asosli baho bo’ladi.

^% yagona bo’lsa, u holda bu yechim 

n
Isboti.

G : H desak,

G^1 :H 

• 
  bir qiymatli va uzluksizdir.
  

^g%in

P


i
 g , i 1, s,

n
ekanidan, 1 ga yetarlicha yaqin ehtimollik bilan

G^%H ^{. U}

holda (1.1.1) dan

^% G^1 _G^%_

va G^1

ning uzluksiz ekanidan, n  da

n n

_%

1
P

_n G

^{G } ^{ 0 . ■}

Momentlar usuli bahosi xossalari

1. 
   Aytaylik
   

*  m^1(g(x))

baho  ni momentlar usulida topilgan bahosi

bo`lsin. (bu yerda

m^1 uzluksiz) U holda  *- asosli baho bo`ladi.

Isboti: Xinchinning katta sonlar qonuniga binoan
g(x)  ¹ _g(x) ^P E g(x )  m( ) ,

_n  i
m^1 uzluksizligidan

*  h^1(g(x)) ^Ph^1(E_ g(x))  h^1(h( ))   .

2. 
   Agar m funksiya  nuqtada differensiallanuvchi,
   

_ g²(x)P_ dx 

1
momentlar usulidagi baho asimptotik normal baho bo`ladi. Ushbu ( (m'( ))², D_ g(x ) ) parametrlar bilan.

^{Haqiqatga maksimal o’xshashlik usuli} ^{P ,  } <sup> ,

f</sup>  ^x;  ^{ dP}  ^x

d

va ^{  } uchun ^P_ ^{ P}_ ^,  ,  bo’lsin. Biz

  _ , ,...

_  R^(s) -

1 2 _{1 2} 1 2

1 2 s

vektor parametrni baholash masalasini qaraymiz. Haqiqatga o’xshashlik funksiyasi

deb X

^n da aniqlangan nomanfiy

n n
f ^* _x⁽ⁿ⁾; _  Cf
_x⁽ⁿ⁾; _,
_x⁽ⁿ⁾; _X

(n) _

ko’rinishdagi funksiyaga aytiladi. Bu yerda

C _0,_

• 
  ko’paytuvchi ^ ga
  

bog’liq emas, ammo

n

_x(n)

ga bog’liq bo’lishi mumkin va

f _x⁽ⁿ⁾; _  _ f

_ x ; _
- tanlanmaning zichlik funksiyasi.

n n i

i1

1. 
   – Ta’rif. Haqiqatga maksimal o’xshashlik usuli bahosi. (HMO’UB)
   

deb, quyidagi munosabatni qanoatlantiruvchi

_B ⁿ
- o’lchovli

n


^ˆ _X ^n _: X

^{n } akslantirishga aytiladi:

f ^* _X ^n;^ˆ _  max_f ^* _X ^n; _.
(1.1.2)

f

n
n n _ n

n


Demak,

^ˆ ni topish,

^* ning maksimumini topishga ekvivalent masala

ekan.

f ^* va

ln f ^*

funksiyalar bir xil nuqtalarda ekstremumga erishishi sababli,

n

n
(1.1.2) tenglikni

ln f ^*

uchun ham yozish mumkin. Bu esa, o’z navbatida, amalda

n
qulayliklarga olib keladi. U holda (1.1.2) tenglikni quyidagi ekvivalent ko’rinishda yozish mumkin:

^ˆ _ X ^n _  Arg max_

ln f _ x; _ P^ˆ

_dx_  Arg max <sup> 1

ln f</sup>  ^{X ;} ^.(1.1.3)

ⁿ  ^{ n}


 _{n  i} 

n
 i1 

Ba’zi hollarda (1.1.2) tenglama yechimga ega bo’lmasligi ham mumkin. Odatda

HMO’UB fiksirlangan

x^n X

ⁿ _da

f ^* _x^n; _

- ^ ning uzluksiz funksiyasi

n
bo’lgan hollarda qo’llaniladi. HMO’UBlari yagona bo’lmasligi mumkin. Endi ^{bahoning bunday nomlanishini biz faqat diskret holdagina (}  <sup>- sanoqli o’lchov)

tushuntiramiz. Bu holda f</sup> ^x;  ^{ P}_ ^{  x} ^va
f _x^n; _  P _X ^n  x^n _  _P _  x _{ .}

n

n   i i1


Demak, biz

^ˆ sifatida

f_n ehtimollikni maksimallashtiruvchi parametr qiymatini

n
tanlar ekanmiz.

1. 
   Agar
   

 R^s
bo’lib, ixtiyoriy

x^n X

ⁿ

uchun

f ^* _x^n; _
funksiya

n


^ bo’yicha differensiallanuvchi va o’z maksimumiga ^ ning ichki nuqtasida

n
( ^ ga biror oralig’i bilan tegishli bo’lgan nuqtada) erishsa, u holda quyidagi shartni qanoatlantiradi:

^ˆ baho

^ .
bu yerda

 0


n
 ^ˆ

yoki

n
 ^ˆ

 0,

(1.1.4)


 ln f_{n } ^  ln



f_{n ,...,}  ln f_n ^

 _

₁ _{s }

2. 
   
   n
   
   
   Agar Kramer – Rao ma’nosida effektiv baho mavjud bo’lsa, uni HMO’UB yordamida topish mumkin.
   

3. 
   Yana shuni ta’kidlab o’tamizki, agar HMO’UBsi yetarli statistika T ning funksiyasi bo’ladi.
   

^ˆ yagona bo’lsa, u




n
 ^ˆ



n
 ^ˆ

 0.

n
Ammo ^ˆ

ning o’zi yetarli statistika bo’lishi shart emas.

HMO’UBsining yana bir muhim xossalaridan biri – uning parametrni almashtirishga nisbatan invariantligidir. Bu trivial da’voni isbotsiz keltiramiz. ^ -

fazo

_R^s

dagi interval bo’lsin.

2. 
   
   
   – Teorema. (Invariantlik prinsipi (Zexna)). g _ _: H funksiya
   

berilgan bo’lib, H - fazo

^Rk ^{k  s} <sup>dagi interval bo’lsin. Agar

ˆ</sup> baho ^

parametr uchun HMO’UBsi bo’lsa, u holda bo’ladi.

^g ^ 
uchun

g^ˆ_n  g _^ˆ _

n

n
- HMO’UBsi

1.2-§ Muhim taqsimotlar nomalum parametrlarining baholari va ularning hossalari