İxtisas:İnformatika Qrup: 489 Şöbə

Trapesiyalar düsturu. Bu halda (3) əvəzinə
^x_k+1
∫f(x)dx≈ ((y_k+y_k+1)/2) ∙∆x_k (8)
^x_k
təqribi bərabərliyi götürülür. Bu təqribi bərabərlikləri tərəf-tərəfə toplamaqla
_b
∫f(x)dx≈ ((b-a) / 2n) [y₀+2y1+2y2+. . . +2yn-1+y_n] (9)
^a
təqribi bərabərliyi alınır. Buna (1) müəyyən inteqralının təqribi hesablanması üçün trapesiyalar düsturu deyilir.
Trapesiyalar düsturunun mütləq xətası haqqında aşağıdakı təklifi söyləmək olar:
f(x) funksiyasının [a, b] parçasında ikitərtibli məhdud törəməsi olduqda
14


^x_{k+1 n-1}
│R_n│=│∫f(x)dx- ∑ ((y_k+y_k+1)/2) ∆x_k│ ≤ (M₂ (b-a))/12n² (10)
^x_k ^k=0
doğru olar. Burada
M₂=sup│f"(x)│
^a≤x≤b
(8) təqribi bərabərliyi f₀(x)= Ax+B xətti funksiyası üçün dəqiq bərabərliyə çevrilir. Buradan aydındır ki, (9) trapesiyalar düsturu xətti funksiyalar üçün dəqiqdir.
Buradan başqa, n (bölgü nöqtələrinin sayı) artdıqca (9) təqribi bərabərliyinin mütləq xətası azalır, yəni həmin təqribi bərabərliyin dəqiqliyi artır.
Qeyd edək ki, (10) bərabərsizliyi (7) bərabərsizliyini isbat edərkən apardığımız mühakimə ilə isbat olunur.
Parabolalar və ya Simpson düsturu. (1) inteqralını təqribi
hesablamaq üçün bu halda [a, b] parçasını
a=x₀12<. . . 2n-12n=b
nöqtələri vasitəsi ilə 2n sayda bərabər hissələrə ayırırlar. Əvvəlcə
[x_2k, x_2k+2] (k=0, 1,. . ., n-1) parçası üzrə götürülmüş
^x_2k+2
∫f(x)dx (11)
^x_2k
inteqralının təqribi qiymətini hesablayaq. Bu məqsədlə
F_k(x)=Ax²+Bx+C (12)
Kvadrat üçhədlisinin (parabolasının) əmsallarını elə seçək ki, onun qrafiki (x_2k, y_2k), (x_2k+1, y_2k+1) və (x_2k+2, y_2k+2) nöqtələrindən keçsin onda
^x_{2k+2 2}
∫F_k(x)dx=((x_2k+2-x_2k)/6) [2A (x_2k +x_2k∙x_2k+2 + x²_2k+2 )+
^x_2k

15

+3B(x_2k+x_2k+2)+6C]=((x_2k+2-x_2k)/6) (y_2k+4y_2k+1+y_2k+2)=
=((b-a)/6n) (y_2k+4y_2k+1+y_2k+2)

olar. F_k(x) funksiyasının [x_2k, x_2k+2] parçasında qrafiki (parabola) f(x) funksiyasının həmin parçadakı qrafikinə yaxın olduğundan

^x_2k+2 ^x_2k+2
∫ f(x)dx ≈ ∫ F_k(x)dx və ya
^x_2k ^x_2k


^x_2k+2
∫ f(x)dx≈ ((b-a)/6n) (y_2k+4y_2k+1+y_2k+2) (13)
^x_2k
təqribi bərabərliyini almaq olar.
Bu təqribi bərabərlikləri tərəf-tərəfə toplasaq,


_{b n-1}
∫f(x)ax =((b-a)/6n)∑ (y_2k+4y_2k+1+y_2k+2)=
^{a k=0}
=((b-a)/6n)[(y₀+y_2n) + 4(y₁+y₃+. . . +y_2n-1)+
+2(y₂+y₄+. . . y_2n-1)] (14)

Təqribi bərabərliyini alırıq. Buna müəyyən inteqralın təqribi hesablanması üçün parabolalar düsturu (və ya Simpson düsturu) deyilir.

(14) parabolalar düsturunun mütləq xətası haqqında aşağıdakı təklif məlumdur:
f(x) funksiyasının [a, b] parçasında dörd tərtibli məhdud törəməsi olduqda
16



_{b n-1}
│R_n^**│=│∫f(x)dx-((b-a)/6n) ∑ (y_2k+4y_2k+1+y_2k+2)│≤M₄(b-a)⁵/180∙(2n)^{4
a k=0} (15)
bərabərsizliyi doğru olar. Burada
M₄= sup │f^(|˅) (x)│
^a≤x≤b
Bu bərabərsizlik göstərir ki, parabolalar düsturu inteqralaltı f(x) funksiyası xətti (Ax+B), kvadratik (Ax²+Bx+C) və kubik (Ax³+Bx²+Cx+D) funksiya olduqda n-dən aslı olmayaraq müəyyən inteqralın dəqiq qiymətini verir. Çünki bu hallarda

f^(|˅)(x)≡0, M₄=0

və buna görə də (15) bərabərsizliyinə əsasən

. R_n^** = 0 olar

Əgər müəyyən inteqralın parabolalar düsturu vasitəsi ilə ε dəqiqliyi ilə təqribi qiymətini tapmaq lazımdırsa, onda

(( M₄(b-a)⁵ ) / 180∙2n⁴) < ε

Bərabərsizliyindən tam n ədədi tapılır:

₄
n> √M₄(b-a)⁵/180∙16∙ε (16)

Sonra isə [a, b] parçası 2n sayda bərabər hissəyə bölərək

17

y_k(k=0, 1,. . ., 2n)
kəmiyyətləri hesablanır və beləliklədə (14) düsturu qurulur.
_{2 2}
Misal : J=∫ e^-x dx inteqralını Simpson düsturu vastəsilə
⁰
e=0,000005 dəqiqliyi ilə hesablayaq.
(16) münasibətindən aydındır ki, bu halda n=10 götürmək olar.
Onda 2n = 20 və b-a = 2 olar. ₂
y= e^-x
funksiyasının x_k= k∙ 1/10 (k=0, 1, 2,. . .,19,20) nöqtələrindəki qiymətləri aşağıdakı cədvəl şəklində yazaq :

17

k	xk	2 xk	-x^2 yk=e^kqiymətləri
			k=o və k=20	k tək olduqda	k cüt olduqda
0	0	0	1
1	0,1	0,01		0,99005
2	0,2	0,04			0,96079
3	0,3	0,09		0,91393
4	0,4	0,16			0,85214
5	0,5	0,25		0,7788
6	0,6	0,36			0,69768
7	0,7	0,49		0,61263
8	0,8	0,64			0,52729
9	0,9	0,81		0,44486
10	1	1			0,36788
11	1,1	1,21		0,2982
12	1,2	1,44			0,23693
13	1,3	1,69		0,18452
14	1,4	1,96			0,14086
15	1,5	2,25		0,1054
16	1,6	2,56			0,0773
17	1,7	2,89		0,05558
18	1,8	3,24			0,03916
19	1,9	3,61		0,02705
20	2	4	0,01832		3,90003
			1,01832	4,41102

Buradan (14) düsturuna əsasən

_{2 -x}²
∫ e dx≈ (1/30) ( 1,01832+4∙4,41102+2∙3,9003) = 088208
⁰
alırıq 18
MÜNDƏRİCAT
Giriş..........................................................................1
Xətti- cəbri tənliklər sistemi.....................................4
Qeyri-xətti tənliklərin həlli.......................................6
Müeyyen inteqralın təqribi hesablanması............11
Trapesiyalar düsturu..............................................14
Simpson funksiyası.................................................15

Ədəbiyyat........A.A Samarski – Ədədi üsullara giriş.

19