İxtisas:İnformatika Qrup: 489 Şöbə
Qeyri-xətti tənliklərin həlli
Yüklə 63,82 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Nyuton üsulu.
- Müəyyən inteqralın təqribi hesablanması
|
Qeyri-xətti tənliklərin həlli:
Qeyri - xətti f(x)=0 x [ a, b] (1) tənliyinə baxaq, burada f ( x ) – kəsilməz funksiyadır. Tənliyin bir və ya bir neçə həlli ola bilər. Tələb olunur : 1) tənliyin köklərinin varlığını müəyyən etməli; 2 ) köklərin təqribi qiymətini tapmalı. Çox vaxt hər iki məsələ eyni zamanda həll edilir. Köklərin tapılması üçün qeyri – xətti tənliklərin həlli üsulları tətbiq olunur. Ən sadə üsul dixotomiya üsuludur (yarıya bölmə). Tutaq ki, f ( x0 ) f(x1 ) 0; onda [x0,x1] parçasında birdən az olmayaraq köklər var. f(x2) –ni tapaq, burada x2 =( x0 +x1 ) 2 və x3 olaraq x0 və x1 qiymətlərindən eləsini götürək ki, onun üçün, f ( x2 ) f( x3 ) ≤ 0 şərti ödənir. [ x2 , x3] parçasını yenidən yarıya bölək və s. 6 Bölgünü parçanın uzunluğu 2ε- dan kiçik olana qədər davam etdirək, burada ε-kökü təyin etmək üçün dəqiqlikdir. Aydındır ki, proses, vuruğu 1 /2 olan həndəsi silsilə surəti ilə yığılır. Üsulun çatışmazlıqları : başlanğıc [ x0 ; x1] parçasının seçilməsi əvvəlcədən aydın deyil, proses hansı həllə yığılır ( əgər onlar [ x0 , x1] parçasında bir neçədirsə ). İkinci üsul – sadə qeyri-xətti tənliklərin həlli üsuludur. (1) tənliyini x = (2) şəklində yazaq, burada ( x ) –i aşağıdakı üsullardan biri ilə təyin etmək olar : ( x) = x- f ( x ), = const, ( x ) = x + (x) f (x), (x) – [ a, b] parçasında kökü olmayan ixtiyari funksiyadır. Sadə qeyri- xətti tənliklərin həlli üsulu xn+1 = ( xn ), n = 0, 1, 2, ..... (3) düsturu ilə təyin olunur, burada n - qeyri-xətti tənliyin nömrəsi, x0 – verilmiş ixriyari başlağıc yaxınlaşmadır. x = (x) tənliyinin x = x* həllini ( kökünü ) təqribi olaraq ε > 0 nisbi xətası ilə elə tapmaq lazımdır ki, bütün n ≥ n0 üçün xn - x* | ≤ ε | x0 - x* | , n ≥ n0 (ε) (4) bərabərsizliyi odənilsin. {xn} tənliklər ardıcıllığı n şərtində x* limitinə yığılırsa, bu şərt ödənilə bilər: lim xn = x* .(4) şərti n ödənilərsə, onda n = n0 olduqda hesablamaları dayandirmaq olar. Buradan görünür ki, qeyri – xətti tənliklərin yığılması həmçinin surəti, yəni (4) ödənilən minimal tənliklərin sayı n0 ( ε ) haqqında məsələ əsasdır. Fərz edək ki, x0 nöqtəsinin hər hansı 7
(x״) – (x׳׳) | ≤ q | x״ – x ׳| (6) İxtiyari x׳ , x״ üçün q 1 əmsalı ilə : 0 < q < 1 (7) tutaq ki, başlanğıc uyğunsuzluq x0 – ( x0 ) kiçikdir, belə ki, |x0 – ( x0 )| ≤ ( 1 – q ) . (8) Onda aşağıdaki təkliflər doğrudur : Bütün xn ( n =1, 2,.....) qeyri – xətti tənliklər ∆ intervalına daxildir : xn ∆; -{ xn }ardıcıllığı n şərtində (8) tənliyinin həlli olan x* limitinə yığılır. - (2) tənliyinin ∆-da yeganə həlli var. xk ∆ şərti |xk – x0| < (9) deməkdir. (8)-ə görə | x1 – x0 | = | ( x0 ) – x0 | ≤ ( 1 – q ) < alırıq. Yəni k =1, 2,...... üçün (9 ) doğrudur. Fərz edək ki, (9) bütün k = 1, 2,...n üçün doğrudur. Onda ( xn ) və xn+1 = (xn)-i hesablamaq olar. (6)-dan | xk+1 –xk | = | ( xk ) – ( xk-1) | ≤ q | xk – xk-1 |, yəni | xk+1 - xk | ≤ q | xk – xk-1| (10) alınır. Bu bərabərsizliyi ardıcıl tətbiq etməklə, | xk+1 – xk | ≤ qk | x1 – x0 |, k = 1, 2,.....n (11) tapırıq. xn-1 – x0 =( xn+1 – xn )+( xn – xn-1 ) + .....+ ( x2 – x1 ) + ( x1 – x0 ) olduğunu nəzərə alsaq, | xn+1 – x0 | ≤ ( qn – qn-1 +......+q + 1) |x1 – x0 | < yəni xn+1 ∆, (8) -ə görə (9) bərabərsizliyi k = 1 üçün doğrudur, onda k = 2, 3,...... üçün də doğrudur. 8
İndi xn+m – xn = ( xn+m – xn+m-1 ) + (xn+m-1 – xn+m-2 ) + .....+ (xn+2 – xn+1 ) + ( xn+1 – xn ) fərqinə baxaq və onu qiymətlədirək : | xn+m – xn | ≤ (qm-1 + qm-2 +........+q+1) | xn+1 - xn | ≤ qn | x1 – x0 | yəni n və m = 1, 2..... olduqda | xn+m – xn | 0. Buradan Koşi kriteryasına görə { xn } yığılır: lim xn = x* ∆. Sonra (3) – də n şərtində limitə n keçərək yəqin edirik ki, x* (2) tənliyinin həllidir : x* = (x*). Bu kök yeganədir. Doğrudan da tutaq ki, iki müxtəlif x׳ və x״ kökləri var, deməli x׳= ( x׳ ), x״ = ( x״ ). Onda | x- – x׳ |, yəni | x״ – x׳ | < | x״ – x׳ | , bu mümkün deyil. n+1 = xn+1 - x* xətası üçün | 𝔃n+1 | = | ( xn ) – (x*) | ≤ q | xn - x* | = q |𝔃n ׳ ≤ qn+1 | 𝔃0 |, yəni sadə qeyri – xətti tənliklər üsulu həndəsi silsilə surətilə yığılır. (4) bərabərsizliyi ödənilən tənliklər sayı qn ≤ ε, yəni, n0 (ε)=[ In / In ], (13) burada [a], a > 0 ədədinin tam hissəsidir. Qeyd: Əgər (x) – in ∆- da törəməsi varsa, onda (6) o halda ödənilir ki, | ׳ (x) | ≤ q, x ∆ (14) olsun. Nyuton üsulu. Bu üsul xn+1 = xn – f׳( xn )≠0, n = 0, 1, 2,..... (15) düsturu ilə təyin olunur. Əgər 9 0 = f ( x* ) = f ( xn ) + ( x* - xn ) f׳ ( xn )+ ( x* - xn ), 0 ≤ ≤ 1 (16) Ayrılışında axırıncı həddi atsaq, x* - y xn+1 – ilə əvəz etsək bu düstur alınır : 0 = f (xn ) + f׳ ( xn )( xn+1 – xn ) , burada x* , f ( x )= 0 tənliyinin dəqiq həllidir. Nyuton üsulunu, həmçinin toxunanlar üsulu, yaxud xəttiləşdirmə üsulu da adlandırırlar. Onun həndəsi interpretasiyası y = f (x) əyrisinin xn < xn+1 olduqda x [ xn, xn+1 ] - ə uyğun ( xn > xn+1 olduqda x [ xn+1 , xn] -ə uyğun ) hissəsi x = xn nöqtəsindən çəkilmiş toxunanla əvəz edilir. f (x)= x – f ( x ) / f׳ ( x ) (17) olan (3) sadə iterasiya üsulu kimi baxmaq olar. Nyuton üsulu a > 0 ədədindən kvadrat kök almaq, yəni x2 =a yaxud f ( x ) – x2 – a = 0 tənliyini həll etmək misalı üzərində aydınlaşdıraq. (15) düsturunu tətbiq etsək xn+1 = ( xn + ), n = 0, 1,... alarıq. Tutaq ki, a = 2. x0 = 1 seçərək, x1 = 1,5, x𝔃 = 1,417, x3 = 1,414.... tapırıq, yəni xətti-tənliklər çox surətlə yığılır. Qeyri xətti – tənliklərin yığılma surətini qiymələndirək, fərz edək ki, (1) tənliyinin x* həqiqi kökü var. ∆0 = ( x* - 0 , x* + 0 ) , 0 > 0. 10 Hesab edəcəyik ki, (17) funksiyası ∆0 – da iki dəfə diferensiallanandır və ikinci törəməsi məhduddur. | ״ ( x ) | ≤ 2q (18) Burada q > 0 sabitdir. Müəyyən inteqralın təqribi hesablanması [a, b] parçasında kəsilməyən f(x) funksiyasının ibtidai funksiyası F(x) məlum olduqda b ∫f(x)dx (1) a inteqralını Nyuton - Leybnisin b ∫f(x)dx=F(b)-F(a) a düsturu ilə hesablamaq olar. Lakin kəsilməyən funksiyanın ibtidai funksiyasını həmişə tapmaq mümkün olmur və ya ibtidai funksiya qeyri-elementar funksiya olur. Buna görə də (1) inteqralını təqribi hesablamaq lazım gəlir. Bir çox praktiki məsələlərin həllində inteqral altı funksiya ancaq cədvəl şəklində verilir. Belə hallarda da (1) inteqralı təqribi hesablanmalı olur. Verilmiş müəyyən inteqralın təqribi hesablanma düsturuna kvadratur düstur deyilir. Müəyyən inteqralın ən sadə təqribi hesablanma düsturları, yəni kvadratur düsturları onun tərifinə əsasən alınır. 11 Bu düsturların bir neçəsini burada göstərək. [a, b] parçasını xk=a+k∙(a+b)∕n (k=0, 1, . . ., n) nöqtələri vasitəsi ilə n bərabər hissəyə ayırsaq, onda b n-1x k+1 ∫f(x)dx =∑ ∫ f(x)dx (2) a k=0 xk 1. Düzbucaqlılar düsturu. Yenə d [a, b] parçasını xk=a+k(b-a)/n (k=0, n) nöqtələri vasitəsi ilə n bərabər hissəyə bölək və f(x) funksiyasının bu nöqtələrdəki qiymətlərini uyğun olaraq y0=f(x0), y1=f(x1),...., yn=f(xn) ilə işarə edək. Bu halda n-in böyük qiymətlərində xk ∫f(x)dx ≈ yk ∙ ∆xk (3) xk təqribi bərabərliyini götürmək olar. Burada ∆xk = xk+1 – xk = b-a (k=0, 1, . . . , n-1) n (3) təqribi bərabərliklərini tərəf-tərəfə toplasaq, onda b n-1 ∫f(x)dx ≈ (b-a)/n ∑ yk (4) a k=0 təqribi bərabərliyini alarıq. Buna (1) müəyyən inteqralının təqribi hesablanması üçün düzbucaqlılar düsturu deyilir. (3) təqribi bərabərliyi əvəzinə xk xk ∫f(x)dx ≈ yk+1 ∙ ∆xk, ∫f(x)dx ≈ f(xk+xk+1) ∆x xk xk 12 və sair kimi təqribi bərabərliklər götürsək, onda düzbucaqlılar düsturu uyğun olaraq b n-1 ∫f(x)dx ≈ (b-a)/n ∑ yk+1 b n-1 ∫f(x)dx ≈ (b-a)/n ∑ yk f((xk+xk+1)/2) (5) a k=0 və sair kimi olar. (4) düzbucaqlılar düsturunun sağ tərəfindəki ifadə f(x) funksiyasının inteqral cəmidir. Buna görə də n-1 b lim (b-a)/n [∑yk] = ∫f(x)dx n→∞ k=0 a olar. Deməli (4) düzbucaqlılar düsturunun mütləq xətası b n-1 Rn= ∫f(x)dx- (b-a)/n (∑ yk) (6) a k=0 n→∞ kiçilən kəmiyyətdir. Bunun tərtibi haqqında nə demək olar? f(x) funksiyasının [a, b] parçasında bir tərtibli məhdud törəməsi olduqda │Rn│≤ M1(b-a)2/2n (7) Bərabərsizliyi doğru olar. Burada M1=sup │f ' (x)│ a≤x≤b (7) bərabərsizliyini isbat etmək üçün Laqranj düsturundan alınan │f(x) –f(xk)│=│f'(ε) (x-xk)│≤ M1│x-xk│ Bərabərsizliyindən istifadə edək bu halda 13
xk xk+1 ∫f(x)dx - yk ∆xk │=│ ∫ [f(x)-f(xk)]dx│ ≤ xk xk xk+1 ≤ M1 ∫ (x-xk)dx=M1(∆xk)2/2=M1(b-a)2/2n2 xk olar. Onda (7) xətası üçün tələb olunan b n-1 n-1 xk+1 │Rn│= │∫f(x)dx-(b-a)/2 (∑ yk)│=│∑ ( ∫ f(x)dx-yk∆xk)│≤ a k=o k=0 xk n-1 xk+1 n-1 ≤│∑ ( ∫ f(x)dx-yk∆xk)│≤M1(b-a)2/2n2 ∑ ∙ 1= M1(b-a)2/2n k=0 xk k=0 düsturu alınır. Yüklə 63,82 Kb. Dostları ilə paylaş:
|