David maule

Chapter  2  M athem atics

W ithout  mathematics, it  may  be  possible  to  build  a  very  simple 

house,  road,  or  bridge,  but  greater  understanding  is  needed  for 

more complicated jobs. People realized this at a very early stage of 

human history, and their simple knowledge of numbers grew into 

the skills which allow us to build computers and use the Internet.

Pythagoras

In 525 

B.C.,* 

the King of Persia led his army into Egypt and took 

many  prisoners.  One  of  them  was  a  Greek  mathematician, 

Pythagoras. Pythagoras was sent to Babylon, in modern-day Iraq, 

and there he had the opportunity to study two things which the 

Babylonians  really  knew  about:  mathematics  and  music.  It  is 

possible  that  he  learned  about  right-angled  triangles  from  the 

Babylonians. Some  Babylonian writing, from at least  a thousand 

years before his visit, says:

4 is the height and 5 is the longest side. How wide is it?

Its size is not known.

4 times 4 is 16.

5 times 5 is 25.

16 from 25 leaves 9.

9 is 3 times 3.

So 3 is the width.

But they never formally proved this.

In  mathematics,  the  most  common  system  of counting  uses 

the number  10. We  count up  to  9, then we  use the  1  again  and 

start  changing  the  second  number— 10,  11,  12  ...  From  the 

Sumerians,  who  had  lived  in  the  area  before  3500 

B.C., 

the 

Babylonians had taken a system which used 60.

They  didn’t  have  to  learn  sixty  different  signs. Each  of their 

*   B.C.: 

years before the birth of Christ

6

---

numbers  was  built  up  from just  two, one  for “ 10” and  one  for 

“1.” So  when you  reached  59, you  had  to  write  five “ 10” signs 

and nine “1” signs in a special arrangement, but the Babylonians 

didn’t seem worried by this. The system was good enough to tell 

them  about  amounts  of  building  materials,  the  number  of 

workers necessary for a job, and how many days were needed to 

complete it.

After around five years, Pythagoras left Babylon and returned to 

his home on the Greek island of Samos. There  he started a school 

of mathematics. But the  Samians had a problem with  his teaching 

methods, and they also wanted him to take part in local politics, so 

after two years he moved to Crotone, on the southern coast of Italy.

He  started  another  school  there, which  took  both  male  and 

female  students.  Some  of them  lived  in  the  school  all  the  time. 

They owned nothing and ate  only vegetables. They were  taught 

by Pythagoras himself and believed in certain ideas. One of these 

was that, at its deepest level, nature follows mathematical rules.

The teachings of Pythagoras came from this school. He wrote 

nothing  himself, because  the  school  was  very  secretive. M odern 

mathematics is interested in making up and solving mathematical 

problems. Pythagoras’s school was interested in how mathematics 

worked and what it meant to  prove  something. This was a great 

step  forward from the Babylonians, and the new mathematicians 

thought  of  right-angled  triangles  as  three  connected  squares. 

Together, the areas of the squares on each of the shorter sides are 

the same  as the area of the square  on  the longer side. This could 

easily be proved by cutting up  the two squares and putting them 

together to make the third.

The  Pythagoreans  were  making  good  progress  toward  a 

mathematical  description  of the  world when  they were  stopped 

by a simple problem. If you have a right-angled triangle with two 

sides each of a length of 1, then  l 2 +  l2 =  2, so the length of the 

third side  is V2. But  this  can’t be  given  as  a  whole  number. You

7

---

■ ■

Proving the length of the third side of a right-angled triangle.

can  start with  V2  -   1.4142135623730950488016887242097  ... 

and you can continue forever. So you can only write this number 

as V2. The Pythagoreans then discovered that V3, V5, V6, V7, and 

V8  are  also  not whole  numbers. So, some  of the  relationships  in 

nature couldn’t be written down using numbers. This was a great 

problem for their way of thinking.

Euclid

Around two hundred years after Pythagoras, a man called Euclid 

lived in Alexandria, Egypt. Although his home was  there, he was 

Greek. He certainly traveled to Greece, and it is probable that he 

spent  some  time  studying  with  Plato  in  Athens.  W hen  he 

returned  to Alexandria, he  started  a  school  of mathematics  and 

wrote a great book on the subject, the  Elements. This was still in

---

use in some schools in the twentieth century, and it has been said 

that  after  the  Bible,  it  has  been  more  studied,  translated,  and 

reprinted than any other book.

Many of the ideas in the  Elements didn’t start with Euclid. He 

wanted  to  bring  all  knowledge  of  mathematics  together  in  a 

single  book.  He  also  introduced  a  new  way  of  thinking,  by 

proving an idea, then using this  to  help  prove another one. This 

sounds simple enough to us today, but it was the beginning of the 

method of proving ideas that we still use.

The Romans

After  the  Babylonians,  the  Egyptians,  and  the  Greeks,  the 

Romans ruled the western world. They understood mathematics 

well  enough,  but  they  weren’t  very  interested  in  it.  Imagine  a 

Rom an  engineer  who  has  to  build  a  wooden  bridge  across  a 

small  river. The  Romans  took  their measurements  from parts of 

the  body— the  length  of a  finger, a  hand, a  foot  and, for longer 

distances,  a  double  step.  The  bridge  will  be  forty-four  double 

steps  long  and  four  double  steps  wide.  The  pieces  of wood  to 

make the road are each two double steps long and one foot wide. 

There  are five  feet to  each double  step. So  to  reduce  everything 

to Roman feet, you simply write

(44 

X 

5) 

X 

(4 

X 

5) 

( 2 x 5 )

Unfortunately,  you  have  to  use  Rom an  numbers,  so  it  will 

actually look like this:

(XLIV 

x V )   X 

(IV 

XV)

(II XV)

O f course,  Romans  didn’t  do  it  this  way.  Numbers  were  only 

used  for  writing  down  the  answer.  Instead,  they  used  a  simple

9

---

machine  or a  counting board  and within a  few  seconds  got the 

answer of CDXL  (440).

Roman engineers were highly skilled. They built roads, water 

systems, bath houses, and great buildings. But for them, as for the 

Babylonians,  mathematics  was  a  way  of  improving  their 

buildings,  not  improving  their  minds.  Pure  mathematics, which 

began in Greece, wasn’t reborn in Rome, but in the Middle East.

Al-Khwarizmi

For counting, we  use  nine  numbers. Each  of these  numbers  can 

have  a  different  value  according  to  its  position— so  the  “1”  in 

“ 100” isn’t the same  as the “ 1” in “ 10.” This idea began in  India 

around the year 500, and from there it moved to the Arab world. 

Around  786,  a  man  called  Al-Khwarizmi  was  born  in 

Uzbekistan. Later he  worked  in  a  school  in  Baghdad, and  there 

he  wrote  a book  about  using  Indian  numbers. W hen  this  book 

was translated into Latin, it introduced the idea into Europe.

Al-Khwarizmi is also known as “the father of algebra.” In fact, 

the  word  algebra  comes  from  al-jabr,  part  of the  Arabic  title  of 

another  book  by Al-Khwarizmi.  In  this  book, he  describes  two 

important ideas about equations. First, you can move things from 

one  side  to the other, which makes  equations  easier to solve: for 

example 4x2  =  12x — 2x2 becomes 6.\'2  =  12x  (so x =  2). He also 

showed  that you  can  make  an  equation  easier  by  taking  away  the 

same amount from each side: for example, x 2 + 4x + 40 = 1 lx  + 30 

can be reduced to x 2 +  10 = 7x (so x — 5).

Although  Romans  did  little  to  add  to  our  understanding  of 

these  new  ideas,  the  ideas  became  more  widely  known  when 

they  were  written  in  the  Rom an  language,  Latin. W hen  the 

works  of  Pythagoras,  Euclid,  and  Al-Khwarizmi  appeared  in 

Europe in Latin translation, they helped to move human progress 

forward.

10

---