2-T e o r e m a. m modul bilan o`zaro tub chegirmalar sinflari to`plami
ko`paytirish amaliga nisbatan abel gruppa tashkil qiladi.
I s o b o t i. G
m
to`plam
m modul bilan o`zaro tub chegirmalarning barcha
sinflari to`plami bo`lsin.
m modul bilan o`zaro tub
chegirmalar sinflarining
ixtiyoriy ikkitasining ko`paytmasi yana modul bilan o`zaro
tub chegirmalar sinfi
bo`ladi.
G
m
dagi
sinflarni
ko`paytirish
amali
kommutativlik
va
assotsiativlikxossalariga ega.
C
1
sinf ko`paytirish amaliga nisbatan neytral element bo`ladi . Ixtiyoriy
C
i
ϵ
G
m
sinf uchun teskari sinf mavjudligini ko`rsatamiz.
G
m
= {
C
1
, C
2
, . . . , C
ϕ(m)
}
bo`lsin. Bunda ϕ (
m) – Эyler funksiyasi.
a
1
, a
2
,
. . . , a
ϕ(
m)
lar
m modul bo`yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi
va
a
i
ϵ
C
i
(
i = 1, ϕ (
m)
) bo`lsin. 1- Teoremaga asosan
a
i
· a
1
,
a
i
· a
2
, . . . ,
a
i
· a
ϕ(
m)
lar ham chegirmalarning keltirilgan sisremasini tashkil qiladi.
Ular orasida m
modul bo`yicha 1
bilan taqqoslanuvchi a
i
a
k
element mavjud, yani
a
i
· a
k
≡ 1(mod
m ) o`rinli. U holda
C
i
· C
k
= C
1
tenglik o`rinli bo`lib,
C
k
sinf
C
i
sinfga teskari sinf bo`ladi. Demak, <
G
m
, · ,
-1
> algebra abel gruppasi ekan.
Ta’rif. <
G
m
, · ,
-1
> gruppa
m modul bilan o`zaro
tub chegirmalar
sinflarining
multiplikativ gruppasi deyiladi.
M i s o l. m = 6 modul bo`yicha
G
6
= {
C
1
, C
5
} to`plam multiplikativ gruppa
bo`ladi. Haqiqatan, ko`paytirish amali quyidagicha aniqlanadi:
C
1
· C
1
= C
1
,
C
1
· C
5
= C
5
,
C
5
· C
5
= C
1
.