8-Ma’ruza mashg’ulot. Parametr kiritish usuli, to’liq bơlmagan differensial tenglamalar. Lagranj va Klero tenglamalari

1-Misol.



Klero tenglamasi
Lagranj tenglamasining xususiy holi Klero tenglamasidir Lagranj tenglamasida bo’lsa,
(1)
Bu Klero tenglamasining kanonik ko’rinishidir Klero tenglamasining ham differensiallash usulidan foydalanib yechamiz.

Bundan va buni (1) tenglamaga qo’ysak Klero tenglamasining umumiy yechimiga ega bo’lamiz.
Bundan ko’rinadikim Klero tenglamasining umumiy yechimi, ixtiyoriy o’zgarmasga (parametr) bog’liq bo’lgan to’g’ri chiziqlar oilasidan iboratdir.
Endi ni p ga nisbatan yechish mumkin bo’lsin.

U holda (1) dan
(2)
ga ega bo’lamiz. Bu ham Klero tenglamasining yechimi bo’lib, u maxsus yechim bo’lishi mumkin.
Klero tenglamasining umumiy yechimini
(3)
parametr ko’rinishda ham yozish mumkin. (2) yechimni umumiy yechimdan farqi shundaki unda birinchidan o’zgarmas son qatnashmaydi. Ikkinchidan ixtiyoriy o’zgarmas sonning hech qanday qimatida uni hosil qilib bo’lmaydi. (2) yechimga Klero tenglamasining maxsus yechimi deyiladi.
Ma’lumki maxsus yechim
(4)
tenglamalardan ixtiyoriy o’zgarmas ni yo’qotish natijasida hosil bo’ladi. (4) ning ikkinchisi, birinchisining parametr ga nisbatan differensiallashdan hosil bo’lgan.
Differensial geometriyadan ma’lumki bunday amallar yordamida hosil bo’lgan chiziq, bitta parametrga bog’liq bo’lgan

to’g’ri chiziqlar oilasining o’ramasidan iboratdir.
Demak geometrik nuqtai nazaridan Klero tenglamasining maxsus yechimi, uning umumiy yechimini ifodalovchi to’g’ri chiziqlar oilasini uramasidan iboratdir
2-Misol
Tenglamaning umumiy yechimi.

Bu maxsus yechimdir.
Asosiy adabiyotlar
1. Saloxiddinov M.S. Nasriddinov G.N. Oddiy differensial tenglamalar. Toshkent,”O’zbekiston”,1994.
2. Понтрягин Л.С. Обыкновенние дифферциальные уравнения. М.Наука, 1969.
3. Степанов В.В.Курс диффренциалных уравнений. М. Гиз.Физ-мат. литература.1958
4. Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчиление. М. Наука.
5.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М. наука, 1979 (5 –е издание).


Qo’shimcha
1. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.1991.314 с
2. Богданов Ю.С. Лекции по дифференциальным уравнениям. Минск, “Высшая школа”, 1977.
3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. из-во Моск.Ун-та.1984.ta.1984.
4. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М Наука,1987.
5. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М Наука.1980.
6.Самойленко А.М. и др. Дифференциальные уравнения примеры и решения задач.М.,1989.384с
7. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциалных уравнений. М.1967.565 с.
8. Амелькин В.В. Дифференциальное уравнение в прложениях. М. Наука. 1987.
9. Пономарев К.К. Составление и решение дифференциальных уравнений инж.тех задач. М. Изд. Министерства просвещения РСФСР,1962.