4-Mavzu. To’liq differensialli tenglama Reja

4-Mavzu. To’liq differensialli tenglama
Reja
1. To’liq differensialli tenglama
2. Integrallovchi ko’paytuvchi
Kalit so’zlar: Differensial tenglama, to’liq differensialli tenglama, integrallovchi ko’paytuvchi, umumiy yechim, maxsus yechim.
1-reja. Agar

tenglamaning chap tomoni sohada biror funksiyaning to’liq differensialidan iborat bo’lsa, y’ani

tenglik o’rinli bo’lsa (1) tenglama sohada to’liq differensialli deyiladi. To’liq differensialli tenglamani ko’rinishda yozish mumkin. Bunga ko’ra uning umumiy yechimi ko’rinihga ega.
Misol. Ushbu tenglamani sohada to’liq differensialli bo’lishini tekshiramiz va umumiy yechimini topamiz. Buning uchun uning chap tomonini differensial ostiga kiritishga harakat qilamiz:


Demak berilgan tenglama sohada to’liq differensialli ekan va uning umumiy yechimi:

Javob:
Har doim ham berilgan tenglamani to’liq differensialli bo’lishini to’g’ridan to’g’ri tekshirish oson kechmaydi. Bu ishda bizga quyidagi teorema qo’l keladi.
Teorema. (1) tenglama sohada to’liq differensialli bo’lishi uchun

ayniyat sohada o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. (1) tenglama to’liq differensialli bo’lsin. U holda (2) ayniyat o’rinli. Ushbu

ayniyatlardan birinchisini bo’yicha ikkinchisini bo’yicha differensiallaymiz:

Bu tengliklarning chap qismlari aynan tengligidan (3) ayniyat o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. (3) ayniyat o’rinli bo’lsin. (2) tenglikni qanoatlantiruvchi funksiya mavjudligini ko’rsatamiz, yanada aniqrog’i bu funksiyani quramiz. Uni quyidagi ko’rinishda qidiraylik:

bunda ihtiyoriy differensiallanuvchi funksiya, . Bu funksiya (4) ayniyatlardan birinchisini qanoatlantirishi ravshan. funksiyani shunday tanlaylikki (4) ning ikkinchi ayniyati ham o’rinli bo’lsin:

Bu erda (3) ayniyatdan foydalanamiz:

Buni (5)ga olib borib qo’ysak izlanayotgan funksiya hosil bo’ladi:

Teorema isbotlandi.
Isbotlangan teoremaga ko’ra (3) tenglik o’rinli bo’lsa (1) tenglamaning umumiy yechimi

formula bilan ifodalanadi. Agar teorema isbotida funksiyani

ko’rinishda qidirganimizda (1) tenglamaning umumiy yechimini

formulasiga ega bo’lar edik.
Misol. Yana tenglamani qaraymiz. Bu erda

Demak (3) shart o’rinli. Umumiy integralni

formuladan foydalanib hosil qilamiz. Javob:
2-reja. Yuqorida ko’rdikki to’liq differensialli tenglamani integrallash juda oson. Bu erda shunday savol tug’iladi: to’liq differensialli bo’lmagan tenglamani to’liq differensialli tenglamaga keltirish mumkinmi?
Agar (1) tenglamani funksiyaga ko’paytirsak hosil bo’lgan

tenglama to’liq differensialli bo’lsa, ni (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi deb ataymiz. (6) tenglamaniny umumiy yechimi (1) tenglama uchun ham umumiy yechim bo’ladi. Demak to’liq differensialli bo’lmagan tenglamani integrallovchi ko’paytuvchisini topa olsak uni integrallay olamiz. Endi (1) tenlamani faqat ga bog’liq integrallovchi ko’paytuvchisini qidiramiz.

tenglama to’liq differensialli bo’lishi uchun tenglik o’rinli bo’lishi zarur va yetarli. Bunga ko’ra:

Bu tenglikni chap tomoni faqat ga bog’liq. Demak yuqoridagi tenglik ma’noga ega bo’lishi, ya’ni (1) tenglama ko’rinishdagi integraloovchi ko’paytuvchiga ega bo’lishi uchun

kasr faqat ga bog’liq bo’lishi zarur va yetarli. Bu holda integrallovchi ko’paytuvchi

formula bilan aniqlanadi.
Yuqoridagiga o’xshash mulohazalar yuritib (1) tenglama ko’rinishdagi integraloovchi ko’paytuvchiga ega bo’lishi uchun

kasr faqat ga bog’liq bo’lishi zarur va yetarliligini hamda integrallovchi ko’paytuvchi

formula bilan topilishini aniqlash mumkin.
Takidlash joizki (1) tenglama integrallovchi ko’paytuvchiga ega bo’lsa tenglamaning mahsus yechimi tenglikni qanoatlantiruvchi funksiyalar orasidan qidiriladi.
Misol. tenglamani qaraylik. Bu yerda

Demak berilgan tenglama

integrallovchi ko’paytuvchiga ega. Berilgan tenglamani ga ko’paytiramiz:

Bu tenglama to’liq differentsiallidir. Uning umumiy yechimini yozamiz:

Berilgan tenglama hususiy yechimga ega, chunki bu funksiya tenglikni va tenglamani o’zini qanoatlantiradi. Qolaversa umumiy yechimda da paydo bo’ladi. Javob: .