22. Əyrixətli inteqralların inteqrallama yolunun formasından asılı olmaması

8. Tam diferensialına görə funksiyanın tapılması

Tərif. oblastında eyni başlanğıc və eyni qurtaracaq nöqtəsi olan iki və əyrilərini, oblastından kənara çıxmamaqla və uc nöqtələri sürüşməməklə, birinci digərinə kəsilməz deformasiya etdirmək olursa, belə və əyrilərinə homoton əyri deyilir.

Əgər oblastının eyni başlanğıc və eyni son nöqtələrə malik olan iki əyrisi homotondursa, onda oblastına birəlaqəli (birrabitəli) oblast deyilir.

Belə oblastlar sonludursa, yeganə qapalı konturla hüdüdlanır və heç bir deşik (dəlik, yırtıq) saxlamır. Deməli, teorem 2-də baxdığımız əyri homotop əyridir, başqa sözlə, homotop əyri üçün teoremin hökümləri doğrudur.

İsbat edilən teoremlərin gedişindən alınır ki, və funksiyaları və onların və xüsusi törəmələri birəlaqəli oblastında kəsilməz olduqda ifadəsi hər hansı funksiyasının tam diferensialı olması üçün zəruri və kafi şərt

= (*)

bərabərliyinin ödənilməsidir. Beləliklə, (*) münasibətinin ödənilməsi 22 ifadəsinin tam diferensial olması üçün zəruri şərtdir. (*) bərabərliyi ödənildikdə, tam diferensialı ifadəsi olan funksiyasını tapaq. Onda teoremə əsasən (5) şərtini

(6)

şəklində olan funksiya ödənir. Nəhayət, solu artım düsturundan çıxır ki, tam diferensialı eyni olan iki funksiya bir-birindən yalnız sabit toplananla fərqlənir. Nəticədə

(7)

ifadəsinə (5) şərtini ödəyən bütün funksiyalar daxildir. (burada qeyd edilmiş nöqtə isə ixtiyari sabittdir)

(7) bərabərliyindəki inteqral inteqrallama yolundan asılı olmadığı üçün və nöqtələrini birləşdirən xətti istədiyimiz kimi seçə bilərik. Məs: inteqrallama yolunu -də yerləşən üfüqi və şaquli parçalardan ibarət sınıq xətt götürmək əhəmiyyətlidir (münasibdir).

Şəkildəki kimi inteqrallama yolu seçdikdə (7) bərabərliyi

şəklində olacaqdır. İnteqrallama yolunu bu şəkildəki kimi seçsək, (7) bərabərliyi şəklində olar. Bu bərabərliyin hər ikisindəki, funksiyası üçün ibtidai funksiyadır.

Diferensialına görə funksiyanı taparkən aşağıdakı kimi hərəkət etmək münasibdir. Əgər -dirə, onda bu bərabərliklərdən birincisini, -i parametr götürməklə -ə görə, ikincisi -i parametr götürməklə -ə görə inteqrallasaq:

Əgər və funksiyalarını elə seçə bilsək ki, və bərabərliklərinin sağ tərəfləri üst-üstə düşsün, onda belə alınan funksiyası, tam diferensialı olan funksiya ilə üst-üstə düşəcək. Məsələn:

və -in əmsallarını uyğun olaraq və -ə görə inteqrallasaq



olar.

olması üçün

seçə bilərik, onda alarıq.