Mühazirəçi: prof. D. V. Bağırlı ƏDƏBİyyat

VII MÖVZU.Funksiyanın limiti. Əsas xassələri. Sonsuz kicik və böyük funksiyalar. Ədədi ardıcıllıqlar əsas anlayışlar. Limit haqda, e-ədədinin limiti.
1. Funksiyanın limiti. Əsas xassələri.

Tutaq ki, ƒ(x) funksiyası müəyyən a nöqtəsinin ətrafında təyin olunub, yəni a-nöqtəsinin yerləşdiyi intervalda təyin olunub, amma ola bilər funksiya a-nöqtəsində təyin olunmasın.

Tərif. İxtiyari kiçik müsbət ε>o ədədi üçün elə müsbət tapılsa ki, bərabərsizliyini ödəyən bütün x-lər üçün

bərabərsizliyi ödənilir, ona A-ədədinə , -ya yaxınlaşanda limiti deyilir.

ƒ(x) -in a nöqtəsində limiti belə işarə olunur.

və ya

Məntiqi simvollarla tərif belə yazılır.

Limitinin tərifinin mənası ondan ibarətdir ki, a-nöqtəsinə kifayət qədər yaxın bütün

x-lər üçün ƒ(x)-in qiyməti A-ədədindən kifayət qədər az fərqlənir. (mütləq qiymətcə) Həndəsi olaraq nöqtədə limiti ( şəkil-1) göstərilib

Qeyd . Əgər -dan kiçik olmaqla a-ya yaxınlaşdıqda , funksiyası b₁-ədədinə

yaxınlaşırsa bu

Şək.1
kimi yazılır və b₁- ə funksiyasının - nöqtəsindən soldan limiti deyilir.

Əgər -dan böyük olmaqla -ya yaxınlaşdıqda , funksiyası -ədədinə yaxınlaşırsa, -kimi yazılır və -yə funksiyasının nöqtəsindən sağda limiti deyilir. (şək.2)

Şək.2
Əgər sağ və sol limitlər bərabər olarsa , bu elə funksiyanın nöqtəsində limiti olacaq və tərsi də doğrudur, yəni funksiyanın baxılan nöqtədə limiti varsa onda sağ və sol limitlərdə var və onlar bərabərdirlər.

Tərif . Əgər ixtiyari müsbət ε>o ədədi üçün elə ədədi tapılsa ki, x-in bütün qiymətləri üçün bərabərsizliyi ödənilərsə , A-ya -da -in limiti deyilir və



kimi yazılır. (fərz olunur ki, , -ın ətrafında təyin olunub)

Tərif. İxtiyari ε>o ədədi üçün, elə M ədədi var ki, ödəyən bütün x-lər üçün bərabərsizliyi ödənilərsə , A-ya -da - in limiti deyilir və



kimi yazılır.

Tərif. İxtiyari ε>o ədədi üçün, elə M ədədi tapılsa ki, ödəyən bütün

x-lər üçün olarsa A-ya x→-∞-da ƒ(x)-in limiti deyilir və

kimi yazılır.

şəkil.3-də da limitlərin həndəsi təsviri verilib.






(şək.3)
2. Sonsuz kiçik və sonsuz böyük funksiyalar.
Tərif. Əgər olarsa , onda -ə -da sonsuz kiçik funksiya deyilir.

Burada -ədədi və ya ola bilər

Misal. 1. ( - natural ədəddir) funksiyası – da sonsuz kiçikdir. Beləki , olur.

Miasal .2 . funksiyası – da sonsuz kiçikdir. Beləki ,

olur.

Teorem. Əgər funksiyası bir A sabiti ilə α sonsuz kiçik funksiyanın cəmi kimi göstərilirsə

yəni olarsa, (1)

onda olar, (burada , da ola bilər) .və tərsinə olarsa , kimi yazmaq olar.