Harmonik funksiyalar. Tərs funksiya. Kompleks dəyişənli funksiyanın inteqrallanması.
Fərz edək ki, z müstəvisinin D oblastında analitik
funksiyası verilib. Onda -in istənilən tərtibli kəsilməz törəmələri var. I –tərtib törəmələri isə Koşi-Riman şərtlərini ödəyir.
(1)
Buradan Bu bərabərlikləri toplayaraq
(2) alarıq.
Sol tərəfi simvolu ilə işarə edək. (3) Laplas tənliyi adlanır.
simvolu Laplas operatoru adlanır.
D-də II tərtib kəsilməz xüsusi törəmələrə malik və (3) Laplas tənliyini ödəyən U funksiyası D-də harmonik adlanır. Beləliklə biz göstərdik ki, D-də analitik funksiyanın həqiqi hissəsi D-də harmonik funksiyadır.
Əgər (1)-in biribci bərabərliyini y-ə nəzərən diferensiallasaq, II bərabərliyi isə x-ə nəzərən diferensiallasaq və birincini 2-cidən çıxsaq onda alarıq. Yəni analitik funksiyanın xəyali hissəsi də harmonik funksiyalardır.
Lakin funksiyası (u və v D-də harmonik funksiyalardır ) həmişə D-də analitik deyil .U və V D-də Yalnız Koşi-Riman şərtləri ödəndikdə analitikdir.
Misal 1. z müstəvisində analitikdir. Koşi-Riman şərtlərini ödəyir.
Misal 2. və harminikdir. Ancaq Koşi-Riman şərtləri ödənmir, ona görə də analitik deyil.
Doğurdan da
-ə yaxınlaşmasının iki yolunu seçək
onda
halında , yəni
halında , yəni
Beləliklə -in limiti yoxdur və funksiyası müstəvinin istənilən nöqtəsində törəməsi yoxdur.
Tərs funksiya
Fərz edək ki, (1) analitik funksiyası z müstəvisinin D oblastını müstəvisinin G oblastına qarşılıqlı birqiymətli inikas etdirir. Bu o deməkdir ki, üçün (1)-in köməyilə yalnız bir qarşı qoyulyr və hər bir bu qanunla yazılır bir qiyməti uyğun gəlir
G-də birqiymətli (2) təyin edilib və xassəsini ödəyir. Aydındır ki, bərabərliyi doğrudur.
funksiyası funksiyanın tərsi adlanır Əgər onda G-də analitik funksiyadır.
tərs funksiyasının w nöqtəsində törəməsi var və
(3)
G-nin ixtiyari nöqtəsi olduğu üçün, funksiyası G –oblastında analitikdir.
Misal. funksiyası bütün z müstəvisini müstəvisinə qarşılıqlı inikas etdirilir. Bu zaman tərs funksiya şəklində olar.
Dostları ilə paylaş: |