V. E. Gmurman "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika". O’qituvchi" Toshkent-1997

1.3 Hodisalar ustida amallar
Tasodifiy hodisalar orasidagi munosabatlarni keltiramiz:
A va B hodisalar yig’indisi deb, A va B hodisalarning kamida bittasida
(ya’ni yoki A yoki B yoki Ava B birgalikda) ro’y berishidan iborat hodisaga aytiladi.
va hodisalar ko’paytmasi deb, va hodisalar ikkalasi ham(ya’ni va birgalikda) ro’y berishidan iborat hodisaga aytiladi.
hodisadan hodisaning ayirmasi deb, hodisa ro’y berib, hodisa ro’y bermasligidan iborat hodisaga aytiladi.
A hodisaga qarama-qarshi hodisa faqat va faqat A hodisa ro’y bermaganda ro’y beradi (ya’ni hodisa A hodisa ro’y bermaganda ro’y beradi). ni A uchun teskari hodisa deb ham ataladi.
Agar A hodisa ro’y berishidan B hodisaning ham ro’y berishi kelib chiqsa A hodisa B hodisani ergashtiradi deyiladi va ko’rinishida yoziladi.
Agar va bo’lsa, u holda A va B hodisalar teng(teng kuchli) hodisalar deyiladi va ko’rinishida yoziladi.
2-misol. A, B va C -ixtiyoriy hodisalar bo’lsin. Bu hodisalar orqali quyidagi hodisalarni ifodalang: D = {uchchala hodisa ro’y berdi}; E = {bu hodisalarning kamida bittasi ro’y berdi}; F = {bu hodisalarning birortasi ham ro’y bermadi}; G = {bu hodisalarning faqat bittasi ro’y berdi}.
Hodisalar ustidagi amallardan foydalanamiz: ; ; .
Demak hodisalarni to’plamlar kabi ham talqin etish mumkin ekan.

Belgilash				To’plamlar nazariyasidagi	Ehtimollar nazariyasidagi talqini
				Talqini
				Fazo (asosiy to’plam)	Elementar hodisalar fazosi,
					muqarrar hodisa
				fazo elementlari	elementar hodisa
A				A to’plam	A hodisa
				A va B to’plamlarning	A va B hodisalar yig’indisi ( A
				yig’indisi, birlashmasi	va B ning kamida biri ro’y
					berishidan iborat hodisa)
				A va B to’plamlarning	A va B hodisalar ko’paytmasi
				Kesishmasi	( A va B ning birgalikda ro’y
					berishidan iborat hodisa)
A\B, A-B				A to’plamdan	A hodisadan B hodisaning
				B to’plamning ayirmasi	ayirmasi( A ning ro’y berishi,
					B ning ro’y bermasligidan iborat
					hodisa)
				Bo’sh to’plam	Mumkin bo’lmagan hodisa
				A to’plamga to’ldiruvchi	A odisaga teskari hodisa( A
		A
					ning ro’y bermasligidan iborat)
				A va B to’plamlar	A va B hodisalar birgalikda
				Kesishmaydi	Emas
				A to’plam B ning qismi	A hodisa B ni ergashtiradi
A = B				A va B to’plamlar ustma-	A va B hodisalar teng kuchli
				ust tushadi

Hodisalar ustidagi amallar quyidagi xossalarga ega;

• 
  ,
  
• 
  
  
• 
  , ;
  
• 
  , ;
  
• 
  , , , ;
  
• 
  , ,
  
• 
  , , ;
  
• 
  
  
• 
  va - De Morgan prinsipi.
  

3-misol.
a) ifodani soddalashtiring.
Yuqoridagi xossalardan foydalanamiz:
Demak, ekan .
b) formulani isbotlang.



Hodisalar algebrasi
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini keltiramiz.
Natijasi tasodifiy bo’lgan biror tajriba o’tkazilayotgan bo’lsin. - tajriba natijasida ro’y berishi mumkin bo’lgan barcha elementar hodisalar to’plami elementar hodisalar fazosi deyiladi; tajribaning natijasi esa elementar hodisa deyiladi.
Agar chekli yoki sanoqli to’plam bo’lsa (ya’ni elementlarini natural sonlar yordamida nomerlash mumkin bo’lsa), u holda uning ixtiyoriy qism to’plami A tasodifiy hodisa (yoki hodisa) deyiladi: .
to’plamdagi A qism to’plamga tegishli elementar hodisalar A hodisaga qulaylik yaratuvchi hodisalar deyiladi.
to’plam muqarrar hodisa deyiladi. - bo’sh to’plam mumkin bo’lmagan hodisa deyiladi.
S - ning qism to’plamlaridan tashkil topgan sistema bo’lsin.
Agar chekli yoki sanoqli to’plam bo’lsa (ya’ni elementlarini natural sonlar yordamida nomerlash mumkin bo’lsa), u holda uning ixtiyoriy qism to’plami A tasodifiy hodisa (yoki hodisa) deyiladi: .
to’plamdagi A qism to’plamga tegishli elementar hodisalar A hodisaga qulaylik yaratuvchi hodisalar deyiladi.
to’plam muqarrar hodisa deyiladi. - bo’sh to’plam mumkin bo’lmagan hodisa deyiladi.
S - ning qism to’plamlaridan tashkil topgan sistema bo’lsin.
Agar

1. 
   , ;
   
2. 
   munosabatdan kelib chiqsa;
   
3. 
   va munosabatdan , kelib chiqsa S sistema algebra tashkil etadi deyiladi.
   
4. 
   Ta’kidlash joizki, , ekanligidan 3 shartdagi va munosabatlardan ixtiyoriy bittasini talab qilish yetarlidir.
   

4-misol. sistema algebra tashkil etadi:
Agar 3 shart o’rniga quyidagilarni talab qilsak munosabatdan kelib chiqsa S Sistema algebra deyiladi. Agar chekli yoki sanoqli bo’lsa, - to’plamning barcha qism to’plamlaridan tashkil topgan hodisalar sistemasi algebra tashkil etadi.