Tema: Funksiya differensiali

2-tariyp. Eger f (x) funksiya x=x0 noqatda chekli f' (x0) tuwındına iye bolsa, ol halda f (x) funksiya x=x0 noqatda differensiallanuvchi dep ataladı.


Differensial formasınıń invariantligi


Aytaylik y=f (x) funksiya x noqatda differensiallanuvchi bolsın. Differensialning tariypiga kóre dy=yx'x, yamasa erkli ózgeriwshiniń arttırıwın dx sıyaqlı jazıwǵa keliskenimizni itibarǵa alsaq, dy=yx'dx edi.
Endi x erkli ózgeriwshi emes, bálki t erkli ózgeriwshiniń differensiallanuvchi funksiyası bolsın : x= (t). Ol halda y=f ( (t)) =g (t) funksiya t ózgeriwshiniń quramalı funksiyası hám dy=yt'dt teńlik orınlı boladı. Lekin yt'=yx'xt'dt hám dx=xt'dt larni itibarǵa alsaq, dy=yx'dx formulaǵa iye bolamız, yaǵnıy differensialning aldınǵı kórinisine qaytamız.
Sonday etip, differensial forması ózgermadi, yaǵnıy funksiya differensialining forması x erkli ózgeriwshi bolǵanda da, erksiz (aralıq ) ózgeriwshi bolǵanda da birdey kóriniste boladı : differensial tuwındı hám tuwındı qaysı ózgeriwshi boyınsha olinayotgan bolsa sol ózgeriwshi differensiali kóbeymesine teń boladı. Bul qasiyet differensial kórinistiń invariantligi dep ataladı. Sonı aytıp ótiw kerekki, bul qasiyette tek differensial formasınıń saqlanıwı haqqında gáp baradı. Eger x erkli ózgeriwshi bolsa, ol halda dx=x; x erksiz ózgeriwshi bolsa, ol halda, ulıwma alǵanda, dxx boladı.
Mısal. berilgen. 1) erkli x erkli ózgeriwshi bolǵanda hám 2) x=t5+t2-3 bolǵanda dy ni esaplań.
Sheshiw. 1)
2) Differensial formasınıń invariantlik ózgesheliginen paydalansak, bolip, Ga iye bolamız

Mısallar

1. Tariypdan paydalanıp tómendegi funksiyalardıń x noqatda differensiallanuvchi ekenligin kórsetiń hám differensialini tabıń:
a) y=x³-2, b) y=x-3x², c) y=5+6x-x², d) y=3x³
2. Agar a) y=x⁷, x=1, x=0,1; b) y=2/x, x=2, x=-0,1 bolsa, (1.1) formuladagi A ham (x) lerni tabin.
3. Ushbu
f(x)=
Funksiyanıń sanlar o'qida úzliksiz ekenligin, lekin 0 hám 2 noqatlarda differensiallanuvchi emesligin tastıyıqlang.
4. Sanlar o'qida úzliksiz, lekin kórsetilgen noqatlarda differensiallanuvchi bolmaǵan funksiyalarǵa mısallar keltiriń:
a) x=3; b) x=-1, x=5; c) x=-2, x=0, x=2.
5. Tómendegi funksiyalardıń birinshi hám ekinshi tártipli differensial- larini tabıń:
a) y=4x³-3x²+7; b) y=(2- )²; c) y=x³ - ; d) y=e^-x+lnx;
6. Usi f(x)=2x²+ -5 Funksiyanıń x=8 noqatda dx=0, 1 bolǵandaǵı differensialini esaplań.
7. Differensial járdeminde tómendegi funksiyalardıń berilgen noqatlar daǵı ma`nisin ámeliy esaplań:
1) y= , a) x=65; b) x=125,1324; 2) y=sinx, a) x=29⁰, b) x=359⁰.
8. Radiusı R=8 sm bolǵan sharning radiusı 0, 2 sm ga uzaytırılsa, sharning kólemi tahminan qanshaǵa ózgeredi?

Joqarı tártipli tuwındılar. Joqarı tártipli tuwındı túsinigi

Shama menen oylayıq, qandayda bir (a, b) de tuwındına iye f (x) funksiya anıqlanǵan bolsın. Ayqınki, f' (x) tuwındı (a, b) de anıqlanǵan funksiya boladı. Sonday eken, payda bolǵan funksiyanıń tuwındı, yaǵnıy tuwındınıń tuwındı haqqında sóylew múmkin. Eger f' (x) funksiyanıń tuwındı ámeldegi bolsa, onı f (x) funksiyanıń ekinshi tártipli tuwındı dep ataladı hám y’’, f’’(x), Simvollarning biri menen belgilenedi. Sonday etip, tariyp boyınsha y’’(x)=(y’)’ eken.
Soǵan uqsas, eger ekinshi tártipli tuwındınıń tuwındı ámeldegi bolsa, ol úshinshi tártipli tuwındı dep ataladı hám y’’’, f’’’(x), Sıyaqlı belgilenedi. Sonday eken, tariyp boyınsha y’’’=(y’’)’.
Berilgen funksiyanıń tórtinshi hám t.b. tártip degi tuwındıları tap soǵan uqsas anıqlanadı. Ulıwma f (x) funksiyanıń (n-1)-tártipli f (n-1) (x) tuwındınıń tuwındına onıń n-tártipli tuwındı dep ataladı hám y⁽ⁿ⁾, f⁽ⁿ⁾(x), Simvollarning biri menen belgilenedi. Sonday eken, tariyp boyınsha n-tártipli tuwındı y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’ Rekkurent (qaytma) formula menen esaplanar eken.
Mısal. y=x⁴ Funksiya berilgen. y’’’ esaplan.
Sheshiw. y’=4x³, y’’=12x², y’’’=24x, demek y’’’(2)=242=48.
Joqarıda aytılǵanlardan, funksiyanıń joqarı tártipli, mısalı, n- tártipli tuwındıların tabıw ushın onıń barlıq aldınǵı tártipli tuwındıların esaplaw zárúrligi kelip shıǵadı. Biraq ayırım funksiyalardıń joqarı tártipli tuwındıları ushın ulıwma nizamlıqtı tabıw hám odan paydalanıp formula keltirip shıǵarıw múmkin.
Mısal jol menende birpara elementar funksiyalardıń n-tártipli tuwındıların tabamız.
1) y=x^ (x>0, R) Funksiya ushın y (n) ni tabamız. Onıń ushın onıń tuwındıların izbe-iz esaplaymiz: y’= x^-1, y’’=(-1) x^-2, . . .
Bunda