Tələbə: Sultanov Əvəz Fakültə: Riyaziyyat və Təbiət elmləri İxtisas

Azərbaycan Respublikasının Elm və Təhsil Nazirliyi
Azərbaycan Dövlət Pedaqoji Universiteti Quba Filialı
“RİYAZİ ANALİZ”
fənni üzrə
SƏRBƏST İŞ_1
Tələbə: Sultanov Əvəz
Fakültə: Riyaziyyat və Təbiət elmləri
İxtisas: Riyaziyyat və İnformatika müəllimliyi
Mövzu: Həqiqi ədədlər çoxluğunun aksiomatik qurulması
Qrup: 2202-B
Kurs: 1
Semestr: 1
Müəllim: Axundova Elnarə

Həqiqi ədədlər çoxluğunun aksiomatik
qurulması.
Natural ədədlərin əks ədədlər çoxluğunu 𝑁 − işarə edək. Natural ədədlər, onların əksi və 0 birlikdə tam ədədlər çoxluğunu əmələ gətirir və Z işarə olunur.
𝑍 = 𝑁 ∪ 𝑁 − ∪ {0}
𝑚 ∈ 𝑍, 𝑛 ∈ 𝑁 olduqda, 𝑚/𝑛 ədədinə rasional ədəd deyilir. Rasional ədədlər çoxluğu Q işarə olunur. Rasional olmayan həqiqi ədədə irrasional ədəd deylir. Həqiqi ədədlər çoxluğu rasional və irrasional ədədlər çoxluğunun birləşməsindən ibarətdir.Həqiqi ədədlər çoxluğunu R ilə işarə edirlər:
R=Q∪İ
Aydındır ki, həqiqi ədədlər çoxluğu rasional ədədlər çoxluğuna nəzərən daha geniş çoxluqdur.Belə bir sual meydana çıxır ki, həqiqi ədədlər çoxluğunu daxilində saxlayan daha geniş çoxluq qurmaq mümkündürmü?
Aksiomatik üsul–elmi nəzəriyyənin qurulma və tədqiqat üsuludur. Əsasən, riyazi nəzəriyyələrə tətbiq olunur. Aksiomatik üsulla qurulmuş elmi nəzəriyyə aksiomatik və ya deduktiv nəzəriyyə adlanır. Riyazi nəzəriyyə aksiomatik üsulla qurulduqda əvvəlcə qurulan aksiomatika üçün ilkin olan anlayışlar verilir. İlkin anlayışlar başqa anlayışlarla izah edilmir və məntiqi əsaslandırılmır. Aksiomatik nəzəriyyənin başqa anlayışları ilkin anlayışlar əsasında məntiqi yolla daxil edilir. Aksiomatik üsula görə baxılan nəzəriyyənin bəzi müddəa və təklifləri qurulan aksiomatik nəzəriyyə üçün doğru elan edilir, isbatsız qəbul olunur və aksiomatik nəzəriyyənin aksiomları adlanır. Aksiomatik nəzəriyyənin qalan hər müddəası aksiomların məntiqi nəticəsi kimi alındıqda doğru hesab edilir. Bu nəzəriyyənin isbat oluna bilən müddəalarına teorem deyilir.
Tutaq ki, A və B çoxluqlarının hər birinin elementləri üçün nizamlılıq münasibəti, toplama və vurma əməlləri təyin olunmuşdur.Tutaq ki, f :A→B inikası A və B çoxluqları arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq ( biyeksiya) yaradır.
Əgər f inikası A çoxluğunda təyin olunmuş nizamlılıq münasibətini, həmçinin toplama və vurma əməllərini saxlayırsa,yəni, ∀ x, y∈A elementləri üçün x< 𝑓(y) bərabərsizliyi , həmçinin f(x+y)=f(x)+f(y) , f(x∙y)=f(x)∙f(y) bərabərlikləri ödənərsə,onda A və B bu çoxluqlarda təyin olunmuş nizamlılıq, toplama və vurma əməllərinə nəzərən izomorf çoxluqlar , f inikası isə A və B çoxluqları arasında izomorfizm adlanır.
Həqiqi ədədlər çoxluğunun aksiomatik qurulmasına baxaq. Nizamlılıq münasibəti, toplama və vurma əməlləri,Arximed xassəsi və tamlıq xassəsi bir yerdə R Həqiqi ədədlər çoxluğunun aksiomlar sistemi kimi qəbul olunur.Həqiqi ədədlərin qalan xassələri bu aksiomlar sisteminin köməyilə isbat olunur.
I qrup aksiomlar. Toplama əməli.
İxtiyari x və y həqiqi ədədlərcütü üçün bu ədədlərin cəmi adlanan və x+y kimi işarə olunan yeganə həqiqi ədəd vardır.Yəni R-də toplama əməli təyin olunmuşdur və aşağıdakı xassələri ödəyir:
1. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 üçü𝑛 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑅 𝑣ə 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
2. ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 üçü𝑛 (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)
3. ∃0 ∈ 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝑅 üçü𝑛 0 + 𝑥 = 𝑥 + 0 = 𝑥
4. ∀𝑥 ∈ 𝑅 üçü𝑛 ∃ − 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0
x,y∈R olduqda x+(-y) ədədi x və y ədədlərinin fərqi adlanır və a-b kimi işarə olunur.
II qrup aksiomlar. Vurma əməli.
İxtiyari x və y həqiqi ədədlər cütü üçün bu ədədlərin hasili adlanan və xy kimi işarə olunan yeganə həqiqi ədəd vardır.Yəni R-də vurma əməli təyin olunmuşdur və aşağıdakı xassələri ödəyir:
1. ∀x, y ∈ R üçün (xy) ∈ R və xy = yx
2. ∀x, y, z ∈ R üçün (xy)z = x(yz)
3. ∃1 ∈ R ∀x ∈ R üçün 1 ∙ x = x ∙ 1 = x
4. ∀x ∈ R, x ≠ 0 üçün ∃x −1 , x ∙ x −1 = 1
5. ∀x, y, z ∈ R üçün x(y + z) = xy + xz
b≠ 0 olduqda a∙ 1 𝑏 ədədi a ədədinin b ədədinə nisbəti adlanır və a:b və ya 𝑎 𝑏 kimi işarə olunur.
III aksiom.Nizamlılıq.
İxtiyari iki müxtəlif 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 ədədləri üçün x< 𝑦 və ya y