Birtərtibli diferensial tənliklər.
Birinci tərtib diferensial tənliyinin ümumi şəkli aşağıdakı kimidir.
şəklində yazmaq olar. Bu törəməyə nəzərən həll edilmiş birinci tərtib diferensial tənlikdir. Bu tənliyi bəzi hallarda ona ekvivalent olan
şəklində yazırlar. Ümumi halda bəzən birinci tərtib diferensial tənlik
M x,
y dx
Nx,
y dy 0
(4)
şəklində tənliklərə deyilir.
Koşi məsələsi.
y
f x, y
diferensial tənliyinin
yxo yo
şərtini ödəyən , yəni
x=xo olduqda y=yo
olan həllinin tapılması məsələsinə birinci tərtib diferensial tənlik ücün Koşi məsələsi deyilir. Həndəsi olaraq Koşi məsələsi tənliyin bütün inteqral əyriləri içərisindən Mo(xo,yo) nöqtəsindən keçən inteqral əyrisinin tapılmasından ibarətdir.
Dəyişənlərinə ayrılan diferensial tənliklər.
Fərz edək ki, M(x,y) və N(x,y) funksiyaları müstəvi üzərində hər hansı D oblastdında təyin edilmiş , kəsilməz funksiyalardır. Yuxarıda qeyd etdik ki, birinci tərtib diferensial tənliyi
(1)
şəklində yazmaq olar.
M x,
y dx Nx,
y dy 0
Tərif . Əgər diferensial tənliyi
(2)
x dx y dy 0
şəklində göstərmək olarsa , onda həmin tənliyə dəyişənlərinə ayrılan
diferensial tənlik deyilir. Burada
x
və x
funksiyaları təyin
oblastlarında kəsilməz funksiyalardır.
(1) Tənliyinin hər iki tərəfini inteqrallasaq
x dx y dy C
(3)
alınır.
Bircins diferensial tənliklər.
Fərz edək ki, funksiyalardır.
f x, y
funksiyası hər hansı D oblastında təyin edilmiş
onda f x, yfunksiyasına n tərtibli bircins funksiya deyilir.
Xüsusi halda n=0 olarsa,
f x, y
sıfır tərtibli bircins funksiya alınır.
Bu halda
f tx, ty
f x, y
alarıq. Əgər sonuncu bərabərlikdə
t 1
x
qəbul etsək,
f x, y
y
f (1, )
x
y
x
alınar. Yəni, sıfır ölcülü bircinsli
funksiya y
x
nisbətindən asılı funksiyadır.
Indi
P x, y dx Q x, y dy 0
-
diferensial tənliyinə baxaq.
Tərif 2. Əgər (1) diferensial tənlikdə P(x,y) və Q(x,y) funksiyaları eyni tərtibli bircins funksiyalar isə , onda bu tənliyə bircins diferensial
tənliklər deyilir. Əgər diferensial tənlik
y
f x, y
şəklində verilmişsə və
ƒ(x,y) sıfır tərtibli bircins funksiya isə , onda həmin tənliyi
y y
x
şəklində yazmaq olar. Ona görədə bəzən bircins diferensial tənlik
dedikdə elə
y y
x
şəklində başa düşülür.
Əgər verilmiş tənlik bircinsli isə, onda
u y x
əvəzləməsinin köməyi
ilə həmin tənliyi dəyişənlərinə ayrılan tənliyə gətirmək mümkündür. Doğrudanda
y u, x
y ux,
y ux u
u ux u ux u u x du u u
dx
buradan
du dx
u u x
bu dəyişənlərinə ayrılmış tənlikdir. Əgər
u u 0
isə, onda hər tərəfi
inteqrallasaq ,
du dx
olar. Əgər F(u) ilə sol tərəfdəki inteqralın
u u x
nəticəsi işarə etsək,
F ( u) ln x ln c
və ya
x ce F u
alarıq. Bu verilmiş
tənliyin ümumi həllidir. Burada lazımdır.
u y x
əvəzləməsini yerinə yazmaq
Birtərtibli xətti diferensial tənliklər.
y Pxy qx
(1)
şəklində tənliklərə xətti diferensial tənliklər deyilir. Burada p(x) və q(x) funksiyaları müəyyən (a, b) intervalında kəsilməz funksiyalardır. Əgər (1) tənliyində q(x)=0 olarsa ,
y
pxy 0
(2)
tənliyinə bircins xətti tənlik deyilir.
-
Tənliyi dəyişənlərinə ayrılan tənlikdir.
dy pxy
dx
dy pxdx y
Burada hər tərəfi inteqrallayaq
ln y
pxdx ln C
Bu (2) xətti bircins tənliyinin ümumi həllidir.
Misal . 1.
y
xy 0
dy xy ; dy xdx dy xdx ln y
x2
ln C
Bu tənliyin ümumi həllidir.
Misal .2.
y
y sin x 0
dy y sin x; dx
dy sin xdx y
dy sin xdx; y
ln y
cos x ln C
y Cecos x
İkitərtibli xətti diferensial tənliklər.
Sərbəst dəyişəninə, axtarılan funksiyaya onun birinci və ikinci tərtib törəməsinə nəzərən tənliyə ikitərtibli diferensial tənlik deyilir. Bu tənliyi ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq olar
İkitərtibli diferensial tənliyi eyniliyə çevirən x məchulundan və iki
sərbəst ixtiyari
C ve
sabitlərindən asılı olan
y ( x, C , C )
1
1
2
C
2
funksiyasına bu tənliyin ümumi həlli deyilir.
-
tənliyinin ümumi həllindən C1 və C2 ixtiyari sabitlərinin verilmiş
С С 0 , С С0
qiymətlərində alınan
y ( x, C0 , C0 )
həllinə (1)
1 1 2 2 1 2
tənliyinin xüsusi həlli deyilir.
Əgər
F( x, y, y, y) 0
tənliyi yüksək törəməyə nəzərən həll
ediləndirsə, onda bu tənliyi
y
f (x, y, y)
(2)
şəklində göstərmək olar.
Sadə inteqrallanan ikitərtibli diferensial tənliklərə elə tənliklər aiddir ki, (2) bərabərliyinin sağ tərəfində duran funksiya yalnız üç arqumentin birindən asılı olsun.
Tutaq ki, ikitərtibli xətti bircins
y + py + qy = 0 (1)
tənliyi verilmişdir, burada p, q əmsalları sabit ədədlərdir. Bu tənliyin
həlli
y ekx
şəklində axtarılır, burada k axtarılan sabit ədəddir. Onda
y
kekx ,
y k 2 ekx .
Törəmələrin bu qiymətlərini (1) tənliyində yerinə yazaq
ekx( k2+pk+q) = 0,
burada ekx0 olduğundan alırıq ki,
k 2
pk q 0 . (2)
-
2
tənliyinə (1) diferensial tənliyinin xarakteristik tənliyi deyilir. Bu tənlikdən k-nı tapaq
Burada aşağıdakı hallar mümkündür.
-
Əgər (2) xarakteristik tənliyinin k1 və k2 kökləri həqiqi və
müxtəlifdirsə, onda
ek1x və
k2 x
y
e
2
funksiyaları xüsusi
y
1
həllərdir. Deməli, (1) tənliyinin ümumi həlli aşağıdakı düsturla ifadə olunur:
y = C1 ek1x +C2 ek2 x . (4)
-
Əgər (2) xarakteristik tənliyinin kökləri həqiqi və bərabərdirsə
2
2
1
(k1 = k2 ), onda (1) tənliyinin ümumi həlli aşağıdakı düsturla ifadə olunar:
1
y C ek1x
ek1x ( C
(5)
-
1
2
Əgər (2) xarakteristik tənliyinin k1 və k2 kökləri kompleks olarsa ( k1 = +i , k2 = –i), onda (1) tənliyinin ümumi həlli
y
şəklində olur.
ex ( C
cos x C
sinx)
(6)
Toplama teoremi
Teorem.İstənilən A və B hadisələri üçün
PA B PA PB PAB
İsbatı. PA Behtimalı A və B hadisələrindən heç olmasa birinə daxil olan
elementar hadisələrin ehtimalları cəmidir.Bu zaman elementar hadisə eyni zamanda A və B -yə daxil olduqda bir dəfə götürülür.Ona görə də
PA B PA PB
Elementar hadisə eyni zamanda A və B -yə daxil olduqda o, axırıncı bərabərsizliyin sağ tərəfinə iki, sol tərəfinə isə bir dəfə daxil olur.Ona görə də
sağ tərəf sol tərəfdən PAB qədər böyükdür.Beləliklə,
PA B PA PB PAB
EHTİMALIN VURMA DÜSTURU.
B hadisəsinin baş verməsi şərtində A hadisəsinin PA/ B şərti ehtimalı
PA / B
PAB PB
düsturu ilə hesablanılır.Buradan, B hadisəsinin P(B) 0 şərtsiz ehtimalı məlum olduqda , A
və B hadisələrinin eyni zamanda baş verməsinin ehtimalını təyin etmək olar:
Fərz edək ki,
A1 ,... An
hadisələri
P A1 0, P A1 A2 0,..., P A1... An 0
şərtlərini ödəyir.Onda aşağıdakı düstur doğrudur:
P A ... A P A P A
/ A PA / A A ...PA / A ...A
Doğrudanda
p A P A / A ... P A
/ A ...A
PA PA1 A2 ....
PA1 A2 ...An
PA A ...A
olar.
1 2 1
n 1 n1
1 P A P A A ... A
1 2 n
1 1 2
n1
TAM EHTİMAL DÜSTURU
Fərz edək ki,
A1,..., An
hadisələri tam sistem təşkil edir.Onda ixtiyari A hadisəsi üçün
n
PA PA/ Bi PBi
i 1
İsbatı.Doğrudanda ehtimalın toplama və vurma düsturlarına əsasən yaza bilərik:
PA PA
n
AB n
PAB PA/ B PB
P
i 1
i
n
i 1
i i i
i 1
BEYES DÜSTURU.
B hadisəsi
Ak k
1,2,..., n
hadisələrindən biri başverdikdə başverir və
sınaq nəticəsində B hadisəsi başvermişdir. Sınaqdan əvvəl
Ak k
1,2,..., n
hadisələrinin
P Ak
ehtimalları və B hadisəsinin
Ak k 1,2,..., n
hadisələrinin hər
birinə görə
PB / Ak
şərti ehtimalları məlumdur. B hadisəsinin baş verməsi Ak
hadisəsinin ehtimalına necə təsir edir?
Bu məsələni həll etmək üçün
P BAk P B P Ak
bərabərliklərindən istifadə edək.
Buradan
/ B PAk PB / Ak
P Ak
/ B
P Ak P B / Ak
P B
bərabərliyi və tam ehtimal düsturuna əsasən
P Ak
/ B
P Ak P B / Ak , k
n
P Ak P B / Ak
k 1
1,2,..., n
münasibəti alınır.Axırıncı bərabərliyə Beyes düsturu deyilir.
Burada baxılan
Ak , k
1,2,..., n
hadisələrinə bəzən fərziyyələr, Beyes
düsturuna isə fərziyyələr teoremi deyilir.Beyes dusturu B hadisəsi başverdikdən
sonra
Ak , k
1,2,..., n
hadisələrinin başverməsi haqında fərziyyələrin
ehtimallarını yenidən qiymətləndirməyə imkan verir.
Şərti ehtimal
Təcrübədə bir çox hallarda A hadisəsinin ehtimalını başqa bir B hadisəsinin baş verməsi şərti daxilində hesablamaq lazım gəlir. Bu cür ehtimala şərti ehtimal deyillir. B hadisəsinin baş verməsi şərtində A hadisəsinin şərti
ehtimalı P A/ B kimi işarə edilir.
Tutaq ki, n elementar hadisədən m -i A hadisəsi, k saydası isə B hadisəsi üçün əlverişlidir.Onda
PA
m , PB k n n
Fərz edək ki, B hadisəsi başverdikdə A hadisəsi üçün əlverişli halların sayı
l dir.Onda kllasik ehtimalın tərifinə A hadisəsinin şərti ehtimalı
P A/ B l
k
olar.Axırıncı bərabərlikdə kəsrin surət və məxrəcini n -ə bölsək, şərti ehtimal
l
üçün
PA/ B= n
k
n
PAB
PB
düsturunu alarıq. AB hadisəsi üçün əlverişli halların sayı
l olduğu üçün l
n
mütləq ehtimaldır.Beləliklə, B hadisəsinin baş verməsi şərtində A
hadisəsnin şərti ehtimalı
P A / B PAB
P B
kimi hesablanılır.
Şərti ehtimalın xassələri.
1. PA/ B 0
2. PA/ 1
3. PA / B PA / B 1
4. P/ B 0
5. A1 A2 olduqda
6. 0 PA/ B 1
PA1 / B PA2 / B
7. P A1 A2 / B P A1 / B P A2 / B P A1 A2 / B
Bernulli_düsturu'>Bernulli düsturu və Bernulli teoremi.
Tutaq ki, n sayda asılı olmayan sınaq aparılır və hər bir sınaqda A hadisəsinin baş verməsi ehtimalı sabit p ədədinə, baş verməməsi ehtimalı isə q=1-p ədədinə
bərabərdir.i-ci sınağın nəticəsini
Bi , i 1,2,..., n
ilə işarə edək.Bu ardıcıllığın m
hissəsində A hadisəsi, qalan n-m hissəsində isə A olarsa, belə ardcıllıqların sayı
C
m
n olar.
Sınaqlar asılı olmadıqlarından onların nəticələri – hadisələr də asılı deyillər
və ehtimalların vurulması qaydasına görə belə ardıcıllığın ehtimalı
pm qnm
ədədinə bərabər olar.Onda uyuşmayan (birgə olmayan) hadisələrin ehtimalları haqqında qaydaya görə m-qədər A-dan və n-m qədər A -dən ibarət ardıcıllıqların ehtimalları cəmi
n
n
p m Cm pmqnm
olar.Aparılan n Bernulli sınağında “+” nəticənin baş vermə sayını edək.Beləliklə aşağıdakı nəticəyə gəlirik:
sn ilə işarə
Bernulli düsturu. Tutaq ki, aparılan n Bernulli sınağında müsbət nəticənin
başvermə sayı dir.Bu halda
sn -dir. Hər sınaqda müsbət nəticənin baş vermə ehtimalı isə p-
Psn
pn m
n
m Cm pmqnm q 1
p, m 0,1,2,..., n
pn m
ehtimallarına binomial paylanma deyilir.Bu paylanma m=0,1,..., n
ədədləri ilə
pn m-lər arasında uyğunluq şəklində verilir. (1) ehtimalı
px q n
binomunun ayrılışında
x k -nın əmsalına bərabər olduğuna görə, ona
binomial ehtimal deyilirlər.Binomial ehtimalların çoxluğu binomial paylanma, n və p sabitləri isə onun parametrləri adlanır.
TƏSADÜFÜ KƏMİYYƏT ANLAYIŞI.
Təsadüfü kəmiyyət, baxılan hadisəni keyfiyyət və kəmiyyətcə xarakterizə edən və təsadüfü amillərin təsiri ilə bu və ya digər şəkildə müxtəlif qiymətlər ala bilən kəmiyyətlərdir.Təsadüfü kəmiyyətin hansı qiymət alacağını qabaqcadan qəti demək mümkün deyildir.Onun hər bir sınaqda aldığı qiymətlər müxtəlif səbəb və təsadüflərdən asılı olaraq dəyişir.
Sınağın nəticəsini keyfiyyətcə xarakterizə etmək o deməkdir ki, sınaq zamanı konkret əlamət fakt qeyd olunur və onun nəticəsinin əlamətə malik olub- olmadığı müəyyənləşdirilir.Qeydə alınan bu əlamət hadisə adlanır və deyirlər : “hadisə baş verdi”, ya da “hadisə baş vermədi”.
Sınağın nəticəsini kəmiyyətcə xarakterizə etmək o deməkdir ki, sınaq zamanı hər hansı kəmiyyətin ala biləcəyi qiymətlər müəyyən olunur, belə ki, həmin qiymətləri sınağa qədər təyin etmək mümkün deyildir.Belə kəmiyyətlər təsadüfi adlanır.
Deməli, təsadüfü kəmiyyət sınaq nəticəsində bu və ya digər qiymət ala biləcək dəyişən kəmiyyətdir.
Təsadüfü kəmiyyətin qabaqcadan hansı qiymətləri alacağını qəti demək mümkün deyildir.Təsadüfü kəmiyyətin ancaq ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu göstərilir.Bu qiymətlər sonlu, hesabi və qeyri hesabi çoxluq təşkil edə bilər.
Əgər təsadüfü kəmiyyət sonlu və ya hesabi sayda izolə edilmiş x1 , x2 ,...
qiymətlərini ala bilirsə, ona diskret təsadüfü kəmiyyət deyilir.Təsadüfü
kəmiyyətin ala bildiyi qiymətlər hər hansı sonlu və ya sonsuz intervalı təşkil edirsə, ona kəsilməz təsadüfü kəmiyyət deyilir.
TƏSADÜFÜ KƏMİYYƏTİN PAYLANMA FUNKSİYASI
Təsadüfü kəmiyyətləri ancaq onların ala bildiyi qiymətlər çoxluğunu göstərməklə təyin etmək mümkün deyildir.Belə ki, qiymətlər çoxluğu eyni olan, lakin bu qiymətləri müxtəlif ehtimallarla alan müxtəlif təsadüfü kəmiyyətlər vardır.Buna görə də, təsadüfü kəmiyyətin verilməsi üçün onun ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu və həm də bu qiymətləri hansı ehtimalla aldığı göstərilməlidir.
Bu məqsədlə təsadüfü kəmiyyətin paylanma funksiyasına baxılır.
Istənilən həqiqi x üçün x çoxluğu -cəbr olan F sisteminə daxil olduğundan, onun
ehtimalı təyin olunmuşdur.Bu ehtimala - X təsadüfü kəmiyyətinin x -dən kiçik qiymət alması hadisəsinin ehtimalına həmin kəmiyyətin paylanma funksiyası deyilir və
kimi işarə edilir.
F x P X
x
Son
Riyaziyyat fənnindən imtahan sualları
-
Matris anlayışı
-
Bircinsli diferensial tənliklər 3.Tərs funksiyanın törəməsi
-
Müəyyən inteqral
-
Determinantın tərifi
-
Vektor anlayışı
-
Dəyişənləri əvəz etməklə inteqrallama
-
Vurma teoremi
-
Diferensialın mexaniki mənası
-
Adi diferensial tənliklər
-
Bayes düsturu
-
Qeyri-müəyyən inteqral
-
Funksiyanın törəməsi
-
Matrislərin cəmi
-
Vektorlar üzərində əməllər
-
İkitərtibli sabit əmsallı qeyri-bircins xətti diferensial tənliklər
-
Ehtimalın klassik tərifi
-
Nyuton-Leybnis düsturu
-
İnteqrallar cədvəli
-
Matrislərin fərqi və ədədə vurulması
-
Matrisin ranqı
-
Vektorların skalyar hasili
-
Tam ehtimal
-
Hissə-hissə inteqrallama üsulu
-
Koşi məsələsi
-
Törəmənin həndəsi mənası
-
Tərs matris
-
Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri
-
Təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası
-
Skalyar hasilin koordinatlarla ifadəsi
-
Determinantın xassələri
-
Birtərtibli deferansıal tənliklər
-
Dəyişənlərinə ayrılan tənliklər
-
İki matrisin hasili
-
Vektorların skalyar hasilinin xassələri
-
Tərs funksiyanın törəməsi
-
Vektorial hasilin koordinatlarla ifadəsi
-
Minor və cəbri tamamlayıcılar
-
Müəyyən inteqralda dəyişənin əvəz edilməsi
-
Vurma teoremi
-
Qeyri-müəyyən inteqral
-
Birtərtibli xətti tənliklər
-
Təsadüfi kəmiyyətlər haqqında anlayış
-
Kramer qaydası.
-
Vektorların qarışıq hasili.
-
Törəmənin mexaniki mənası.
-
Müəyyən inteqralda hissə-hissə inteqrallama
-
Şərti ehtimal.
-
Vektorların vektorial hasili.
-
Funksiyanın diferensialı.
-
Cəmin törəməsi
-
Təsadüfi hadisələr haqqında anlayış.
-
Müəyyən inteqralın xassələri.
-
İkitərtibli diferensial tənliklər.
-
Loqarifmik funksiyanın törəməsi.
-
Vekorial hasilin xassələri.
-
Təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu.
-
Hasilin törəməsi.
-
Xətti tənliklər sisteminin matris şəkli.
-
Xətti tənliklər sisteminin Qauss üsulu ilə həlli.
-
Qarışıq hasilin xassələri.
-
Üstlü funksiyanın törəməsi.
-
Təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi
-
Ikitərtibli sabit əmsallı bircins xətti diferensial tənliklər
-
Mürəkkəb funsiyanın törəməsi.
-
Qarışıq hasilin kordinantlarla ifadəsi.
-
Nisbətin törəməsi.
-
Diferensialın həndəsi mənası.
-
Üstlü-mürəkkəb funksiyanın törəməsi.
İstifadə olunan ədəbiyyatlar
1.R.Məmmədov “Ali riyaziyyat kursu” 1-ci hissə, 2-ci hissə, 3-cü hissə.
2.Y.Ş.Səlimov, C.A. İsmayılov, H.B.Hüseynov, Ə.M.Musayev “ Ali riyaziyyatdan testlər” 3.M.S.Alməmmədov, N.A.Mikayılov, T.N.Quluzadə ”Ali Riyaziyyat” 1-ci və 2-ci hissə.
Dostları ilə paylaş: |