Ta’rif. Tenglikni qanoatlantiruvchi har qanday nolmas ustun A matritsaning λ xos qiymatiga mos xos vektori deyiladi.
AX = λX <=> AX = λEX <=> (A-λE)X = θ bo’lib, oxirgi tenglik koordinatalarda quyidagicha yoziladi:
Xos vektorlarni qurish uchun sistemaning nolmas yechimlarini topish zarur. n ta noma’lumli n ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi nolmas yechimlarga faqatgina sistema determinanti nolga teng bo’lgandagina ega bo’ladi, ya’ni
yoki
anλn + an-1λn-1 + … + a1λ + a0 = 0, bu yerda, an = (-1)n, a0 = detA.
Oxirgi yozilgan tenglamalar A matritsaning xarakteristik tenglamalari, uning ildizlari esa xarakteristik sonlari yoki A matritsaning xos qiymatlari deyiladi.
Misol. matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini toping.
Xarakteristik tenglama tuzamiz va uni yechib, A matritsaning xos qiymatlarini aniqlaymiz:
<=> λ2 - 7λ + 6 = 0 <=> λє{1; 6}
λ1=1 xos qiymatga mos xos vektorlardan birini quramiz:
, ya’ni
λ2=6 xos qiymatga mos xos vektorlardan biri esa:
, .
Matritsaning xarakteristik ko’phadi bazis tanlanishiga bog’liq emas. Ayni bir chiziqli almashtirishga turli bazislarda o’xshash matritsalar mos kelgani uchun, o’xshash matritsalarning xarakteristik ko’phadlari tengdir. Agar x1, x2, …, xk xos vektorlar juft-jufti bilan turli xos qiymatlarga tegishli bo’lsa, ular chiziqli erkli sistemani tashkil etadi.
O’z-o’ziga qo’shma va unitar almashtirishlar.
1. Ikkita unitar almashtirishlarning ko‘paytmasi yana unitar almashtirish bo‘lishini isbotlang.
Yechish. Xuddi shu kabi tenglik ham o‘rinli.
2. Xar qanday unitar almashtirish o‘lchamli Yevklid fazosida skalyar ko‘paytmani saqlashini isbotlang. Va aksincha, skalyar ko‘paytmani saqlovchi xar qanday chiziqli almashtirish unitar almashtirish bo‘lishini ko’rsating.
Yechish. Agar bo‘lsa, u holda
Agar xar qanday va vektorlar uchun bo‘lsa, u holda
Bichiziqli formalarning tengligidan mos almashtirishlar tengligi kelib chiqadi, shuning uchun ya’ni unitar almashtirish.
